數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：直線方程的概念與直線的斜率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2直線的方程2.2.1直線方程的概念與直線的斜率5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前）1。過(guò)點(diǎn)P（1,3）和Q（0,5)的直線的斜率為()A.2B?！?C。D.解析:由于直線上有兩已知點(diǎn)，故用斜率公式求之.由斜率公式知k==-2.答案：B2。與y軸平行的一條直線,其傾斜角為α,則α等于（)A.0°B。45°C。90°D。不存在解析：在平面直角坐標(biāo)系中作出任一條與y軸平行的直線，這條直線與x軸相交且可以看成是由x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的,由傾斜角的定義可知，這條直線的傾斜角為90°。答案：C3。若直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線l傾斜角的范圍是______________.解析：如圖，直線過(guò)第二、四象限,可知直線l的傾斜角為鈍角,其范圍是90°＜α＜180°.答案：90°＜α＜180°10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中)1.過(guò)點(diǎn)P(—2,m）和點(diǎn)Q(m，4)的直線的斜率為1，則m的值為（)A.1B.4C。1或3解析：由斜率公式，有1=,得m+2=4-m?！鄊=1。答案:A2.若兩直線l1、l2的傾斜角分別為α1、α2，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A。若α1<α2，則兩直線的斜率k1<k2B。若α1=α2,則兩直線的斜率k1=k2C。若兩直線的斜率k1〈k2，則α1<α2D.若兩直線的斜率k1=k2，則α1=α2解析：斜率與傾斜角滿足k=tanα且α∈［0，π）,因?yàn)棣痢剩?,）時(shí)，k＞0；α∈(,π)時(shí),k＜0;當(dāng)α=時(shí)，k不存在，對(duì)于選項(xiàng)A,可取α1為銳角、α2為鈍角,這時(shí)k1＞k2；對(duì)于選項(xiàng)B，可取α1=α2=90°；對(duì)于C可取k1=-1,k2=1，可知α1＞α2.所以可以排除A、B、C,選D。答案：D3。已知P1（x1,y1)，P2（x2，y2）,當(dāng)x1=x2且y1≠y2時(shí)，直線P1P2的斜率為_(kāi)____________,傾斜角為_(kāi)____________；當(dāng)x1≠x2且y1=y2時(shí)，直線P1P2的斜率為_(kāi)____________，傾斜角為_(kāi)____________。解析：本題考查直線的兩種特殊情況，傾斜角為0°和傾斜角為90°時(shí)兩點(diǎn)的特征，即對(duì)于兩點(diǎn)P1(x1,y1），P2（x2，y2）,當(dāng)x1=x2且y1≠y2時(shí),直線P1P2的斜率不存在，傾斜角為90°；當(dāng)x1≠x2且y1=y2時(shí)，直線P1P2的斜率為0,傾斜角為0°。答案：不存在90°00°4.若三點(diǎn)A（2，2)，B(a,0）,C(0,4)共線，則a的值等于_____________。解析：由題意可得kAB=a=4.答案：45。求坐標(biāo)軸的兩條角平分線所在直線的斜率.解：在l1上取兩點(diǎn)O(0，0）、A（1，1),可得l1的斜率k1==1；在直線l2上取兩點(diǎn)O(0，0）、B（1，—1）,可得l2的斜率k2==—1。所以兩條直線的斜率分別為1和-1。30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1。已知直線l1的斜率為0,且直線l1⊥l2,則直線l2的傾斜角為（)A.0°B。90°C。135°D。180°解析：因?yàn)閘1的斜率為0,其傾斜角為0°，所以l2的傾斜角為90°,可作圖后利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決.答案:B2。過(guò)點(diǎn)M（-2,a）和N（a，4）的直線的斜率等于1,則a的值為（）A。1B。4C。1或3解析：根據(jù)公式k=列出關(guān)于斜率a的方程1=a=1。答案：A3。直線l的斜率k=2,又過(guò)一點(diǎn)（3，2),則直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（)A.(0，4）B。(4,0）C.(0,—4)D。(—2,1）解析：因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),不可能都求出來(lái)，可用逆推驗(yàn)證法,即檢驗(yàn)選項(xiàng)中哪一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)(3,2）連線的斜率為2.答案：C4.若直線l沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位,再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來(lái)的位置，那么直線l的斜率是（)A。B.—3C。D。3解析：直線l向左平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位與原直線重合，說(shuō)明(-3，1)恰是直線的方向向量，所以直線的斜率是.答案：A5。直線l經(jīng)過(guò)（0,0）、（1，3),則直線l的斜率為_(kāi)____________。解析:由斜率公式知k==3.答案：36.若A（1,—1)、B(3,3)、C（5,a)三點(diǎn)在一條直線上,則a=_____________.解：三點(diǎn)在一條直線上，則任意兩點(diǎn)連線的斜率相等；或由兩點(diǎn)確定的直線必過(guò)第三個(gè)點(diǎn)，由斜率相等代入點(diǎn)坐標(biāo)可得結(jié)果.∵kAB=，kBC=.又A、B、C三點(diǎn)在一條直線上,∴kAB=kBC?！?2.∴a=7.答案：77。已知直線l1、l2、l3的斜率分別是k1、k2、k3,如圖2—2-1，則k1、k2、k3的大小關(guān)系是___________(由小到大寫出）.圖2-2—1解析：由圖中直線傾斜角的大小可知l1的傾斜角為鈍角,所以k1＜0;l2、l3的傾斜角均為銳角，且l2的傾斜角較大，所以k2＞k3＞0.∴k1＜k3＜k2.答案：k1＜k3＜k28.若三點(diǎn)A（2，2）,B(a,0），C(0,b）（ab≠0）共線，則的值等于______________。解析:由題意知a≠2,所以kAB==kAC=4=(2—a)（2-b)ab=2(a+b)=.答案：9.已知A（3，4),在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B，使直線AB的斜率等于2，把直線方程寫成一次函數(shù)形式，并求出B點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)所求直線方程為y=kx+b，∵k=2，A（3,4)在直線上，∴4=2×3+b,解得b=—2?！嘀本€方程為y=2x—2.如果B在x軸上，則可設(shè)B(x0，0),代入直線方程解得x0=1，即B（1,0)；如果B在y軸上,則可設(shè)B(0,y0)，代入直線方程解得y0=-2，即B(0,-2).10.求過(guò)點(diǎn)A（-2,n）、B(n,4)兩點(diǎn)的直線斜率.解析：由于直線AB可能和x軸垂直，傾斜角為,斜率不存在,所以需要對(duì)n分類討論，當(dāng)n≠—2時(shí)可直接利用斜率公式，當(dāng)n=—2時(shí),直接寫出斜率不存在。解:①當(dāng)n=-2時(shí),過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線斜率不存在;②當(dāng)n≠—2時(shí)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線斜率k=.綜上所述,n=—2時(shí)，斜率不存在;n≠-2時(shí)，斜率k=。11.（1)已知直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且與以A(1，1）、B(3，-1）為端點(diǎn)的線段相交，試通過(guò)作圖探索出直線l的斜率范圍。(2)已知直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且與以A（1,1）、B（—3,-1）為端點(diǎn)的線段相交，試通過(guò)作圖探索出直線l的斜率范圍.試比較(1)和（2)兩小題的結(jié)果有什么不同,你能從中總結(jié)出什么規(guī)律來(lái)嗎？解:（1)如圖（1），當(dāng)直線l繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和線段AB相交時(shí)，即從OB旋轉(zhuǎn)到OA的過(guò)程中斜率由負(fù)(kOB）到正(kOA)連續(xù)增大，因?yàn)閗OB=,kOA==1,所以直線l的斜率k的范圍是≤k≤1.（1)（2)如圖(2),當(dāng)直線l繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和線段AB相交時(shí)，即從OA旋轉(zhuǎn)到OB的過(guò)程中斜率從kOA開(kāi)始逐漸增加到正無(wú)窮大,這時(shí)l與y軸重合,當(dāng)l再旋轉(zhuǎn)下去時(shí)，斜率從負(fù)無(wú)窮逐漸增加到kOB，因?yàn)閗OB=，kOA==1,所以直線