立體幾何中的共點(diǎn)、共線、共面問題

共點(diǎn)、共線、共面一、共線問題證明點(diǎn)共線，常常采用以下兩種方法：①轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，然后根據(jù)公理3證得這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；②證明多點(diǎn)共線問題時(shí)，通常是過其中兩點(diǎn)作一直線，然后證明其他的點(diǎn)都在這條直線上．1．如圖1，正方體中，與截面交點(diǎn)，交點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．證明：連結(jié)，平面，且平面，是平面與平面的公共點(diǎn)．又平面．平面．也是平面與平面的公共點(diǎn)．是平面與平面的交線．為與截面的交點(diǎn)，平面平面，即也是兩平面的公共點(diǎn)．，即三點(diǎn)共線．2．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線（在同一條直線上）．

分析：先確定一個(gè)平面，然后證明相關(guān)直線在這個(gè)平面內(nèi)，最后證明四點(diǎn)共線．

證明∵AB//CD，AB，CD確定一個(gè)平面β．

又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ，

即E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)．

同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)．∵兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線，

∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線．

點(diǎn)

評：在立體幾何的問題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，先證明這些點(diǎn)都是某兩平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論．二、共點(diǎn)問題證明線共點(diǎn)，就是要證明這些直線都過其中兩條直線的交點(diǎn)．解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證該點(diǎn)也在其他直線上．1.如圖2，已知空間四邊形分別是的中點(diǎn)，分別是上的點(diǎn)，且，求證：相交于同一點(diǎn)．錯(cuò)解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),∥BD,EF=BD,又,GH∥BD,GH=BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,,F分別是AD.AC與FH交于一點(diǎn).直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)正解：證明：分別是的中點(diǎn)，，且．又，，且． ，且．四邊形是梯形，其兩腰必相交，設(shè)兩腰相交于一點(diǎn)，平面平面，平面平面，又平面平面．故相交于同一點(diǎn)．2.已知平面α，β，且α∩β＝．設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求證：AB，CD，共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）．

分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點(diǎn)M，只要證明M在上，而是兩個(gè)平面α，β的交線，因此，只要證明M∈α，且M∈β即可．證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的兩條腰．

∴AB，CD必定相交于一點(diǎn)，

設(shè)AB∩CD＝M．

又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈α∩β．

又∵α∩β＝，∴M∈，

即AB，CD，共點(diǎn)．

點(diǎn)

評：證明多條直線共點(diǎn)時(shí)，與證明多點(diǎn)共線是一樣的．三、共面問題 證明空間的點(diǎn)、線共面問題，通常采用以下兩種方法：①根據(jù)已知條件先確定一個(gè)平面，再證明其他點(diǎn)或直線也在這個(gè)平面內(nèi)；②分別過某些點(diǎn)或直線作兩個(gè)平面，證明這兩個(gè)平面重合．1.設(shè)分別為正方體的的中點(diǎn)，求證：共面．證明：如圖3，連結(jié)．分別為的中點(diǎn)，．．分別為的中點(diǎn)，．四邊形為平行四邊形．．．因此，直線可確定一個(gè)平面．同理，由可知，直線確定一個(gè)平面．過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，與重合，即．同理可證． 因此，共面．2.已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面．

分析：弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義：四條直線不共點(diǎn)，包括有三條直線共點(diǎn)的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交．在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個(gè)平面，再證明所有的直線都在這個(gè)平面內(nèi)．證明1o若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn)

A

∴直線d和A確定一個(gè)平面α．又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，

則A，E，F(xiàn)，G∈α．

∵A，E∈α，A，E∈a，

∴aα．

同理可證bα，cα．

∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi)．

2o當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖．

∵這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個(gè)平面α．

設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)H，K，則H，K∈α．又∵H，K∈c，∴cα．

同理可證dα．∴a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)．點(diǎn)

評：證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)．本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況．因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義．立體幾何中的共點(diǎn)、共線、共面問題一、共線問題例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，求證：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi)；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上(如圖).例2.點(diǎn)P、Q、R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y(jié).求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線.例3.二、共面問題例4.直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點(diǎn)為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.例5.證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點(diǎn).求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內(nèi)例6.已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分別是兩條異面直線l1和l2上的任意三點(diǎn)，M、N、R、T分別是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中點(diǎn).求證：M、N、R、T四點(diǎn)共面.例7.在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點(diǎn)，且滿足＝＝＝＝k.(1)求證：M、N、P、Q共面.(2)當(dāng)對角線AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形時(shí)，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共點(diǎn)問題例8.三個(gè)平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點(diǎn)或兩兩平行.1、(1)證明：∵AA1∩BB1＝O,∴AA1、BB1確定平面BAO，∵A、A1、B、B1都在平面ABO內(nèi)，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi).(2)分析：欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上，可根據(jù)公理2，證明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.2證明：如圖，設(shè)AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且BC∩B1C1＝Q∴Q∈PR,即P、R、Q在同一直線上.3解析：∵A、B、C是不在同一直線上的三點(diǎn)∴過A、B、C有一個(gè)平面又4解析：證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個(gè)平面，證明其余的直線在這個(gè)平面里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證明這些平面重合.證明∵a∥b,∴過a、b可以確定一個(gè)平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可證nα.∵b∥c,∴過b,c可以確定平面β，同理可證mβ.∵平面α、β都經(jīng)過相交直線b、m,∴平面α和平面β重合，即直線a、b、c、m、n共面.5、解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理1.先證某兩線確定平面α，然后證其它直線也在α內(nèi).證明：圖①中，l1∩l2＝P，∴l(xiāng)1,l2確定平面α.又l1∩l3＝A,l2∩l3＝C,∴C,A∈α.故l3α.同理l4α.∴l(xiāng)1,l2,l3,l4共面.圖②中，l1,l2,l3,l4的位置關(guān)系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結(jié)論成立.6、證明如圖，連結(jié)MN、NR，則MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直線上(否則，根據(jù)三線平行公理，知l1∥l2與條件矛盾).∴MN、NR可確定平面β，連結(jié)B1C2，取其中點(diǎn)S.連RS、ST，則RS∥l2，又RN∥l2，∴N、R、S三點(diǎn)共線.即有S∈β，又ST∥l1，MN∥l1，∴MN∥ST，又S∈β，∴STβ.∴M、N、R、T四點(diǎn)共面.7解析：(1)∵＝＝k∴MQ∥BD，且＝∴＝＝∴MQ＝BD又＝＝k∴PN∥BD，且＝∴＝＝從而NP＝BD∴MQ∥NP，MQ，NP共面，從而M、N、P、Q四點(diǎn)共面.(2)∵＝，＝∴＝＝,＝∴MN∥AC，又NP∥BD.∴MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角.∵M(jìn)NPQ是正方形，∴∠MNP＝90°∴AC與BD所成的角為90°，又AC＝a，BD＝b，＝＝∴MN＝a又MQ＝b,且MQ＝MN，b＝a，即k＝.說明：公理4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點(diǎn).已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求證：a、b、c相交于同一點(diǎn)，或a∥b