數(shù)學(xué)期中聯(lián)考-江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效.3.本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的概念運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，若，即，可得，解?故選：B.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集、補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以，則.故選：A3.在中，，，則（）A.30° B.45° C.60° D.135°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性可知，即，結(jié)合兩角和差公式求即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，可知，則，且，所以.故選：B.4.函數(shù)的極大值為（）A. B.0 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解以及，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷極大值點(diǎn)代入，從而求出極大值.【詳解】解：，令，則，令，則或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值.故選：D5.在三棱錐中，，與平面所成角的大小為，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，可證平面平面，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可知點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段內(nèi)，即，即可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，且，平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，且平面平面，由面面垂直的性質(zhì)可知：點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在直線上，且，可知點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段內(nèi)，又因?yàn)榕c平面所成角的大小為，則，可知為等邊三角形，所以.故選：C.6.曲線與的交點(diǎn)中，與y軸最近的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先構(gòu)造關(guān)于x的三角方程，利用輔助角公式求得x的值，進(jìn)而求得與y軸最近的點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】由，可得，即，則，則，即，故取最小值時(shí)，.故選：B7.在中，，，，.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為基底表示向量，因?yàn)?，則，建立與的等量關(guān)系，求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，則，解得：，.故選：C8.在正四棱柱中，，P是線段上靠近C的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)C與直線垂直的平面將正四棱柱分成兩部分，則較大部分與較小部分的體積比為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】分別取，，對應(yīng)三等分點(diǎn)，，，利用空間向量證明共面，再通過向量數(shù)量積證明平面，最后采用割補(bǔ)法求解出較小部分的體積，從而體積比可求.【詳解】分別取靠近的三等分點(diǎn)，取靠近的三等分點(diǎn)，取靠近的三等分點(diǎn)，連接，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，所以，所以，所以，且不共線，所以共面，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，且，所以平面，較小部分的幾何體如下圖所示，其體積為，由正四棱柱結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易知平面，平面，所以，所以較大部分體積，所以較大部分與較小部分的體積比為，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵一方面是確定平面與正四棱柱各條棱的交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)和空間向量運(yùn)算能更高效說明線面垂直，另一方面是采用割補(bǔ)法求解幾何體的體積，將復(fù)雜幾何體轉(zhuǎn)化為簡單幾何體再去計(jì)算.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在空間中，設(shè)是三條直線，，，是三個(gè)平面，則下列能推出的是（）A.，B.，，C.，，，D.，，，【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A和C，可以在正方體中，通過取平面和直線，滿足條件，但得不到，從而判斷出A和C的正誤，選項(xiàng)B和D，利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷出選項(xiàng)B和D的正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，如圖，在正方體中，取直線為，直線為，直線為，顯然有，，但，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，由線面平行的性質(zhì)可知，選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，如圖，在正方體中，取平面為，平面為平面，平面為，顯然滿足，，又，，且，即相交，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋瑒t，又，則，，又，顯然有，所以，又，，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為1 B.是曲線的對稱中心C.在上單調(diào)遞減 D.的最小正周期為【答案】ABD【解析】【分析】對于A：結(jié)合余弦函數(shù)的值域分析判斷；對于B：根據(jù)對稱性的定義分析判斷；對于C：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)題意結(jié)合最小正周期的定義分析判斷.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)镽，對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，且，所以的最大值為1，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，即，所以是曲線y=fx的對稱中心，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，且在上連續(xù)不斷，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，由選項(xiàng)B可知，可得，即，則，可知為的一個(gè)周期，若，則，可得，當(dāng)，則，，此時(shí)，可知對任意，，即，所以不為的一個(gè)周期；綜上所述：的最小正周期為，故D正確；故選：ABD.11.設(shè)為上的增函數(shù)，滿足：，，則（）A. B.為奇函數(shù)C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，通過賦值，即可求解；選項(xiàng)B，由，得到，進(jìn)而得到，而又由可得，得到，即可判斷選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)條件得，，再利用，得到當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合的單調(diào)性，即可求解；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到，從而有，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，令，得到，又，令，得到，所以，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，得到，所以，又，所以，又由可得，所以，又的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，令，得到，由選項(xiàng)A知，又由選項(xiàng)B知，且為奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不存在，使成立，當(dāng)，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，則（其中表示不超過的最大整數(shù)），所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，令，則，由，得到，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由選項(xiàng)B知，又為上的增函數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C和D，選項(xiàng)C，關(guān)鍵在于結(jié)合條件得到當(dāng)時(shí)，，再利用的單調(diào)性，當(dāng)，有（其中表示不超過的最大整數(shù)），即可求解；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系得到，結(jié)合條件，得到，即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為，則______，______.【答案】①.2②.##【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等圖象性質(zhì)易得結(jié)果.【詳解】由題意，周期，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得，則，解得，又，所以故答案為：2；.13.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的兩點(diǎn)A，B滿足，線段的中點(diǎn)M在x軸上，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直可得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)，則，若，則，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)M在x軸上，則，可得，即，則，解得，即或，即可得或，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.故答案為：.14.已知圓O的半徑為2，點(diǎn)A，B在圓O上，點(diǎn)C在圓O內(nèi)，且，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】將分別表示為，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義表示出，再分析的夾角即可求解出的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，且.（1）求A；（2）若的面積為，周長為6，試判斷的形狀.【答案】（1）（2）等邊三角形【解析】【分析】（1）利用正弦定理和誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值即可求得A的值；（2）利用三角形面積公式和余弦定理求得的三邊長，進(jìn)而判斷出的形狀.【小問1詳解】由正弦定理，可化為又中，,則上式可化為，又中，，則，則上式可化為，即，則，又，則，故【小問2詳解】由，可得，又由，可得，則可化為，整理得，又由，則，可化為，解之得，則，解之得，則的形狀為等邊三角形.16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，記P在l上的射影為H.（1）能否為正三角形?若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；（2）設(shè)C在點(diǎn)P處的切線與l相交于點(diǎn)Q，證明：.【答案】（1）能，或；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得HP中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為1，且，即可得答案；（2）由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得C在點(diǎn)P處的切線方程，后可表示出Q坐標(biāo)，后驗(yàn)證，可證明結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)Px0,y0又由題可得的焦點(diǎn)為F0,1，準(zhǔn)線為.則P在l上的射影H為.要使為正三角形，則應(yīng)滿足HP中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為1，且.即，即當(dāng)或時(shí)，能使為正三角形；【小問2詳解】由題可得滿足.注意到，則點(diǎn)處的切線斜率為：，則相應(yīng)切線為：.代入，可將切線方程化簡為：.令，可得.又，則，得，又，則.17.如圖，在三棱錐中，平面，D是的中點(diǎn)，平面平面，且.（1）求點(diǎn)A到平面的距離；（2）求平面與平面的夾角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作于點(diǎn)，證明平面，求出得解；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)垂直于的為軸，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的一個(gè)法向量，利用向量法求解.【小問1詳解】如圖，作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問2詳解】由（1），平面，平面，所以，又平面，平面，所以，又平面，，所以平面，又，，所以，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)垂直于的為軸，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，，D0,1,0，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，，又平面，且，設(shè)平面與平面的夾角為，，.所以平面與平面的夾角的正弦值為.18.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，求a；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若在上單調(diào)遞增，求a取值范圍.【答案】（1）（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，代入原點(diǎn)運(yùn)算求解即可；（2）構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性和最值，即可分析證明；（3）分類討論的符號(hào)，可知f′x≥0在上恒成立，構(gòu)建，結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)分析證明.【小問1詳解】因?yàn)?，則，則，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，若切線過原點(diǎn)，則，解得.【小問2詳解】若，則，構(gòu)建，則，令，則?'x即恒成立，則?x在R上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，?0>0，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以.【小問3詳解】若在上單調(diào)遞增，當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)，則在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)，由（1）可知：，則f′x≥0在上恒成立，設(shè)，則，且，則，解得，若，可知在上單調(diào)遞增，則，可知Fx在上單調(diào)遞增，則，符合題意；綜上所述：a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．19.如果數(shù)列，，，…，（）是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和都能被3整除，那么稱數(shù)列，，，…，是數(shù)列.（1）寫出所有滿足的數(shù)列；（2）證明：存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無窮個(gè)；（3）對任意給定的，都存在，，，使得數(shù)列，，，，是數(shù)列，求整數(shù)t的最小值.【答案】（1）1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7.（2）證明見解析；（3）13.【解析】【分析】（1）由所給信息，找到滿足題意的數(shù)列即可；（2）即證明存在無窮多個(gè)整數(shù)，使能被3整除；（3）將正整數(shù)集合按被3除余數(shù)分為3類，分類討論所屬集合，確定，，所屬集合，并寫出相應(yīng)的數(shù)列，后由可確定最小值，即可得答案.【小問1詳解】由題可得，令，為使任意連續(xù)三項(xiàng)的和都能被3整除，則或；令，則；令，則不存在滿足題意；，則.綜上，滿足的數(shù)列為：1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7；【小問2詳解】證明：設(shè)這樣的數(shù)列對應(yīng)的公比為，則相應(yīng)的四項(xiàng)，從小到大排列為.要使任意連續(xù)三項(xiàng)的和都能被3整除，則能被3整除，即被3整除即可.考慮集合，當(dāng)時(shí)，一定能被3整除，因中元素有無窮多個(gè)，則存在數(shù)列等比數(shù)列，