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2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線中的證明、探索性問題考點一證明問題例1(2024福建漳州一模)已知過點F1(-1,0)的直線l與圓F2:(x-1)2+y2=16相交于G,H兩點,線段GH的中點為E,過線段GF1的中點F且平行于EF2的直線交GF2于點P,記點P的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)若A,B為軌跡C上的兩個動點且均不在y軸上,點M滿足(λ,μ∈R),其中O為坐標(biāo)原點,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①點M在軌跡C上;②直線OA與OB的斜率之積為-;③λ2+μ2=1.(1)解

如圖,由題意可知,圓F2:(x-1)2+y2=16的圓心為F2(1,0),半徑r=4,由題意可知,直線GH斜率不為0,即P不在x軸上,因為E為GH的中點,則GH⊥EF2,又因為FP∥EF2,則GH⊥FP,即FP為線段GF1的中垂線,則|PG|=|PF1|,可得|PF1|+|PF2|=|PG|+|PF2|=|GF2|=4>2=|F1F2|,由橢圓定義可知,點P的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,且不包含長軸的兩端點,則a=2,c=1,可得(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)雙曲線C的左、右兩個頂點分別為A1,A2,T為直線l:x=1上的動點,且T不在x軸上,直線TA1與C的另一個交點為M,直線TA2與C的另一個交點為N,直線MN與x軸的交點為P,直線l與MN的交點為Q,證明:則lMN:x=my+4,所以點P坐標(biāo)為(4,0).考點二探索性問題且左焦點F到漸近線的距離為

.過點F作直線l1,l2分別交雙曲線E于A,B和C,D,且線段AB,CD的中點分別為M,N.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l1,l2斜率的乘積為-,試探究:是否存在定圓T,使得直線MN被圓T截得的弦長恒為4?若存在,請求出圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在,請說明理由.(2)如圖,由(1)知F(-3,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線l1:y=k1(x+3),l2:y=k2(x+3),則kMT=kNT,所以M,T,N三點共線.綜上,直線MN過定點T(2,0).所以存在定圓T:(x-2)2+y2=4,使得直線MN被圓T截得的弦長恒為4.此時直線MN:x=2也經(jīng)過點(2,0).故直線MN過定點T(2,0).所以存在定圓T:(x-2)2+y2=4,使得直線MN被圓T截得的弦長恒為4.(1)求橢圓C的方程;(2)直線l與橢圓C交于不同的M,N兩點,且直線OM,MN,ON的斜

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