第03講 探索三角形全等的條件（7種題型）（解析版）-八年級數(shù)學(xué)

第03講探索三角形全等的條件（7種題型）1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL”定理.2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.一、全等三角形判定1——“邊角邊”1.全等三角形判定1——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.二、全等三角形判定2——“角邊角”全等三角形判定2——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.三、全等三角形判定3——“角角邊”1.全等三角形判定3——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.四、全等三角形判定4——“邊邊邊”全等三角形判定4——“邊邊邊”三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.五．直角三角形全等的判定——“HL”1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．六、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.七．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．八．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應(yīng)用一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．題型一、全等三角形的判定1——“邊角邊”

例1、已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求證：BC＝DE．【思路點撥】由條件AB＝AD，AC＝AE，需要找夾角∠BAC與∠DAE，夾角可由等量代換證得相等.【答案與解析】證明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形對應(yīng)邊相等）【總結(jié)升華】證明角等的方法之一：利用等式的性質(zhì)，等量加等量，還是等量.【變式】如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三點共線，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），連接AE、CD，試確定AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD證明：延長AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（對頂角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD例2、如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD．【思路點撥】延長AD到點E，使AD＝DE，連接CE．通過證全等將AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時也構(gòu)造出了2AD．利用三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.【答案與解析】證明：如圖，延長AD到點E，使AD＝DE，連接CE．在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（SAS）．∴AB＝CE．∵AC＋CE＞AE，∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．【總結(jié)升華】證明邊的大小關(guān)系主要有兩個思路：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊．要證明AB＋AC＞2AD，如果歸到一個三角形中，邊的大小關(guān)系就是顯然的，因此需要轉(zhuǎn)移線段，構(gòu)造全等三角形是轉(zhuǎn)化線段的重要手段．可利用旋轉(zhuǎn)變換，把△ABD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CED，也就把AB轉(zhuǎn)化到△CEA中，同時也構(gòu)造出了2AD．若題目中有中線，倍長中線，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形是一種重要方法．例3、已知，如圖：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求證：AB＝CD－BD．【思路點撥】在DC上取一點E，使BD＝DE，則△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再證出EC＝AE即可．【答案與解析】證明：在DC上取一點E，使BD＝DE∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE在△ABD和△AED中，AAEDCB∴△ABD≌△AED（SAS）．∴AB＝AE，∠B＝∠AED．又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．【總結(jié)升華】此題采用截長或補短方法.上升到解題思想，就是利用翻折變換，構(gòu)造的全等三角形，把條件集中在基本圖形里面，從而使問題加以解決．如圖，要證明AB＝CD－BD，把CD－BD轉(zhuǎn)化為一條線段，可利用翻折變換，把△ABD沿AD翻折，使線段BD運動到DC上，從而構(gòu)造出CD－BD，并且也把∠B轉(zhuǎn)化為∠AEB，從而拉近了與∠C的關(guān)系.【變式】已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），求證：∠B＋∠D＝180°.【答案】證明：在線段AE上，截取EF＝EB，連接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE和△CFE中，∴△CBE和△CFE（SAS）∴∠B＝∠CFE∵AE＝（AB＋AD），∴2AE＝AB＋AD∴AD＝2AE－AB∵AE＝AF＋EF，∴AD＝2（AF＋EF）－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，即AD＝AF在△AFC和△ADC中∴△AFC≌△ADC（SAS）∴∠AFC＝∠D∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.題型二、全等三角形的判定2——“角邊角”例4、已知：如圖，E，F(xiàn)在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求證：AE＝CF．【答案與解析】證明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF與△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個三角形；

(2)證明這兩個三角形全等；

(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等．【變式】（2022?長安區(qū)一模）已知：點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再證明BC＝EF，然后根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠B=∴△ABC≌△DEF（ASA）．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．例5、如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點F；然后證明：當(dāng)AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時，DE＝BF.【思路點撥】通過已知條件證明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，則可證△DAE≌△BCF【答案與解析】 證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE與△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF【總結(jié)升華】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個三角形；(2)證明這兩個三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等．【變式】已知：如圖，在△MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.【答案】證明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN題型三、全等三角形的判定3——“角角邊”例6.（2021秋?蘇州期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【分析】由等角對等邊可得AC＝AD，再由平行線的性質(zhì)可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，從而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】證明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE與△CAB中，∠DAE=∴△ADE≌△CAB（AAS）．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關(guān)鍵是由已知條件得出相應(yīng)的角或邊的關(guān)系．例7、已知：如圖，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求證：AD＝AC．【思路點撥】要證AC＝AD，就是證含有這兩個線段的三角形△BAC≌△EAD.【答案與解析】證明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【總結(jié)升華】我們要善于把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等．【變式】已知：如圖，，，是經(jīng)過點的一條直線，過點、B分別作、，垂足為E、F，求證：.【答案與解析】證明：∵，∴∴∵∴∴在和中∴≌（）∴【總結(jié)升華】要證，只需證含有這兩個線段的≌.同角的余角相等是找角等的好方法.題型四、全等三角形的判定4——“邊邊邊”例8、已知：如圖，△RPQ中，RP＝RQ，M為PQ的中點．求證：RM平分∠PRQ．【思路點撥】由中點的定義得PM＝QM，RM為公共邊，則可由SSS定理證明全等.【答案與解析】證明：∵M為PQ的中點（已知），∴PM＝QM在△RPM和△RQM中，∴△RPM≌△RQM（SSS）．∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形對應(yīng)角相等）．即RM平分∠PRQ.【總結(jié)升華】在尋找三角形全等的條件時有的可以從圖中直接找到，如：公共邊、公共角、對頂角等條件隱含在題目或圖形之中.把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)和判定.【變式】已知：如圖，AD＝BC，AC＝BD.試證明：∠CAD＝∠DBC.【答案】證明：連接DC，在△ACD與△BDC中∴△ACD≌△BDC（SSS）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形對應(yīng)角相等）例9、如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求證：∠BAD＝∠CAE.【答案與解析】證明：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形對應(yīng)角相等）.【總結(jié)升華】把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì).要證∠BAD＝∠CAE，先找出這兩個角所在的三角形分別是△BDA和△CAE，然后證這兩個三角形全等.題型五．直角三角形全等的判定“HL”例10.如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【分析】由“HL”可證Rt△ABD和Rt△CDB．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD=BCBD=DB∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故選：A．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．【變式1】．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法解決此題．【解答】解：補充條件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：AB＝DE．【點評】本題主要考查直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根據(jù)全等三角形的判定解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中∠DFE=∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案為：AB＝ED（答案不唯一）．【點評】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定方法解答．題型六．全等三角形的判定與性質(zhì)例11．（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．【分析】（1）由“AAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD⊥BD，AE⊥EC，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BOC＝140°，∴∠OBC＝∠OBC＝20°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1】．如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．【分析】連接BD，利用邊邊邊證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】證明：連接BD，在△ABD與△CBD中，AD=CDAB=CB∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，此題主要利用邊邊邊判定三角形全等．【變式2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得結(jié)論．【解答】證明：在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型7．全等三角形的應(yīng)用例12．如圖，要測量河兩岸相對兩點A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點E，垂足為點D．（DE≠CD）（1）線段的長度就是A、B兩點間的距離（2）請說明（1）成立的理由．【分析】（1）根據(jù)題意確定DE＝AB；（2）根據(jù)已知條件得到兩個三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論即可．【解答】解：（1）線段DE的長度就是A、B兩點間的距離；故答案為：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟練掌握全等三角形的判定方法并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式】為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個可行？（2）請說明方案可行的理由．【分析】（1）甲同學(xué)作出的是全等三角形，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等測量的，所以是可行的；（2）甲同學(xué)利用的是“邊角邊”，乙同學(xué)的方案只能知道兩三角形的兩邊相等，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【解答】解：（1）甲同學(xué)的方案可行；（2）甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：在△ABD和△CBD中，只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD與△CBD全等，故方案不可行．【點評】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解決問題的關(guān)鍵．一．選擇題（共8小題）1．（2022秋?南京期末）已知：如圖，AC＝DF，BC＝EF，下列條件中，不能證明△ABC≌DEF的是（）A．AC∥DF B．AD＝BE C．∠CBA＝∠FED＝90° D．∠C＝∠F【分析】根據(jù)三角形的判定定理，結(jié)合題目所給條件進行判定即可．【解答】解：A、由AC∥DF可得∠A＝∠FDB，再加上條件AC＝DF，BC＝EF，不能證明△ABC≌DEF，故此選項正確；B、AD＝BE可得AB＝DE，再加上條件AC＝DF，BC＝EF，可利用SSS定理證明△ABC≌DEF，故此選項錯誤；C、∠CBA＝∠FED＝90°可利用HL定理證明△ABC≌DEF，故此選項錯誤；D、∠C＝∠F可利用SAS定理證明△ABC≌DEF，故此選項錯誤；故選：A．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．2．（2022秋?啟東市校級月考）不能判定兩個直角三角形全等的條件是（）A．兩個銳角對應(yīng)相等 B．兩條直角邊對應(yīng)相等 C．斜邊和一銳角對應(yīng)相等 D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做題時要結(jié)合已知條件與全等的判定方法逐一驗證．【解答】解：A、全等三角形的判定必須有邊的參與，故本選項錯誤，符合題意；B、符合判定SAS，故本選項正確，不符合題意；C、符合判定AAS，故本選項正確，不符合題意；D、符合判定HL，故本選項正確，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查直角三角形全等的判定方法，判定兩個直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．3．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一個條件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．∠ABD＝∠BAC【分析】根據(jù)已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分別判斷各個選項中的條件能否使得△ABC≌△BAD即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，∴若添加條件AC＝BD，無法判定△ABC≌△BAD，故選項A符合題意；若添加∠C＝∠D，則△ABC≌△BAD（AAS），故選項B不符合題意；若添加AD＝BC，則△ABC≌△BAD（SAS），故選項C不符合題意；若添加∠ABD＝∠BAC，則△ABC≌△BAD（ASA），故選項D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．4．（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，已知AB＝AD．下列條件中，不能作為判定△ABC≌△ADC條件的是（）A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠ACB＝∠ACD【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL進行分析即可．【解答】解：A、AB＝AD，BC＝DC，再加上公共邊AC＝AC能判定△ABC≌△ADC，故此選項不符合題意；B、AB＝AD，∠BAC＝∠DAC再加上公共邊AC＝AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此選項不合題意；C、AB＝AD，∠B＝∠D＝90°再加上公共邊AC＝AC能判定△ABC≌△ADC，故此選項不合題意；D、AB＝AD，∠ACB＝∠ACD再加上公共邊AC＝AC不能判定△ABC≌△ADC，故此選項合題意；故選：D．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．5．（2022秋?揚州期中）一塊三角形玻璃樣板不慎被小強同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強經(jīng)過仔細的考慮認為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認為下列四個答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了 C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、3或3、4去均可【分析】帶1、4可以用“角邊角”確定三角形；帶3、4也可以用“角邊角”確定三角形．【解答】解：帶3、4可以用“角邊角”確定三角形，帶1、4可以用“角邊角”確定三角形，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用；確定一個三角形的大小、形狀，可以用全等三角形的幾種判定方法．做題時要根據(jù)實際問題找條件．6．（2022秋?宿豫區(qū)期末）如圖，小明和小麗用下面的方法測量位于池塘兩端的A、B兩點的距離；先取一個可以直接到達點A的點C，量得AC的長度，再沿AC方向走到點D處，使得CD＝AC；然后從點D處沿著由點B到點A的方向，到達點E處，使得點E、B、C在一條直線上，量得的DE的長度就是A、B兩點的距離．在解決這個問題中，關(guān)鍵是利用了△DCE≌△ACB，其數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．ASA或AAS【分析】直接利用全等三角形的判定方法，進而分析得出答案．【解答】解：由題意可得：AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠ABC＝∠DEC，∠BAC＝∠EDC，故由AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠ABC＝∠DEC或AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，∠BAC＝∠EDC都可以得出△DCE≌△ACB，故其數(shù)學(xué)依據(jù)是ASA或AAS．故選：D．【點評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．7．（2022秋?高郵市期末）如圖，已知∠1＝∠2，若用“AAS”證明△ACB≌△BDA，還需加上條件（）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA【分析】根據(jù)圖形找出公共邊AB＝BA，再根據(jù)全等三角形的判定定理AAS得出即可．【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ACB≌△BDA，故本選項不符合題意；B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本選項不符合題意；C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本選項符合題意；D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．8．（2022秋?邳州市期末）如圖，AB＝AC，點D、E分別在AB、AC上，補充一個條件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．【解答】解：A．∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABE≌△ACD，故本選項不符合題意；B．AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABE≌△ACD，故本選項不符合題意；C．AB＝AC，BE＝CD，∠A＝∠A，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABE≌△ACD，故本選項符合題意；D．∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC，AB＝AC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABE≌△ACD，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．二．填空題（共4小題）9．（2022秋?泗洪縣期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補充條件AB＝DE，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法解決此題．【解答】解：補充條件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案為：AB＝DE．【點評】本題主要考查直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?啟東市校級月考）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜邊直角邊（H．L．）”直接證明Rt△ABC≌Rt△DEF，則還需補充條件：BC＝EF．【分析】此題是一道開放型題目，根據(jù)直角三角形的全等判定解答即可．【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案為：BC＝EF【點評】本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，題目比較典型，難度適中．11．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是AB＝DC或AC＝DB，理由是“HL”（填簡稱）．【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法，即可解答．【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故答案為：AB＝DC或AC＝BD，HL．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是邊BC上的中線，AD＝2，則△ACB的面積是6．【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，證△ADC≌△EDB（SAS），得BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，再由勾股定理的逆定理證∠EAB＝90°，即可解決問題．【解答】解：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，∵D為BC的中點，∴CD＝BD，在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝5，∠CAD＝∠E，又∵AE＝2AD＝4，AB＝3，∴BE2＝AE2+AB2，∴△ABE是直角三角形，∠EAB＝90°，則S△ACB＝2S△ABD＝2××2×3＝6，故答案為：6．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）13．（2022秋?泗陽縣期中）王強同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．【分析】（1）根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)進行解答．【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由題意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：兩堵木墻之間的距離為20cm．【點評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．14．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，點B、C、E、F在同一條直線上，AF、DE相交于點G，∠B＝∠C＝∠AGD＝90°，BF＝CD．求證：AF＝DE．【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠A＝∠GEF，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵∠B＝∠EGF＝90°，∴∠A+∠AFB＝∠GEF+∠AFB＝90°，∴∠A＝∠GEF，在△ABF和△ECD中，，∴△ABF≌△ECD（AAS），∴AF＝DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?蘇州期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．【分析】（1）利用中點性質(zhì)可得BD＝CD，由平行線性質(zhì)可得∠DBE＝∠DCF，再由對頂角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可證得結(jié)論；（2）由題意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性質(zhì)可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較小，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）過點D作DE∥AC交AB于點E，求證：AE＝DE．【分析】（1）根據(jù)SSS證明三角形全等即可；（2）欲證明AE＝DE，只要證明∠EAD＝∠ADE即可．【解答】（1）證明：在Rt△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS）；（2）證明：∵△ADB≌△ADC，∴∠DAB＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．17．（2022秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BD＝CD．試說明BE＝CF．【分析】先證明△AED≌△AFD，得出AE＝AF，再證明△ABD≌△ACD得出AB＝AC，從而得出BE＝CF．【解答】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°．∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD．∴AE＝AF，DE＝DF．∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD（HL）．∴BE＝CF．解法二：利用角平分線的性質(zhì)定理，可以直接證明DE＝DF，不需要全等三角形的性質(zhì)證明．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用全等證明另外的三角形全等是常用方法，注意掌握應(yīng)用．一、單選題1．下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對4個選項逐個分析，然后即可得出答案．【詳解】A、兩邊分別相等，但是不一定是對應(yīng)邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；B、一條邊和一銳角對應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；D、有一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．2．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列條件能得到△ABC≌△DEF的是（）A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8【答案】C【分析】顯然題中使用ASA證明三角形全等，，需要保證，可以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定∠F．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，故選C．【點睛】這道題考查的是全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角分別相等．清楚三角形全等判定的含義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，，，如果根據(jù)“”判定，那么需要補充的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即邊角邊對應(yīng)相等，只需找出一對對應(yīng)邊相等即可，進而得出答案．【詳解】解：需要補充的條件是BF=CE，∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故選：D．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)健．4．如圖，OC平分∠AOB，D、E、F分別是OC、OA、OB上的點，則添加下列哪個條件不能使△ODE與△ODF全等（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：∵OP是∠AOB的平分線，∴∠AOP=∠BOP，而OP是公共邊，A：添加DE=DF符合“邊邊角”，不能判定△ODE≌ODF；B：添加OE=OF，可以利用“SAS”判定△ODE≌ODF；C：添加∠ODE=∠ODF，可以利用“ASA”判定△ODE≌ODF；D：∠AED=∠BFD，可知∠OED=∠OFD，可以利用“AAS”判定△ODE≌ODF；故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知AC＝BD，添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可一一判斷；【詳解】在△ABC與△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，A、SSA無法判斷三角形全等，故本選項符合題意；B、根據(jù)HL即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；C、根據(jù)SAS即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；D、根據(jù)SSS即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，關(guān)鍵在于熟練靈活的使用各個判定方法；6．用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】我們可以通過其作圖的步驟來進行分析，作圖時滿足了三條邊對應(yīng)相等，于是我們可以判定是運用SSS，答案可得．【詳解】解：作圖的步驟：①以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點D、C；②任意作一點O′，作射線O′B′，以O(shè)′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′B′于點C′；③以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點D′；④過點D′作射線O′A′．所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；作圖完畢．在△OCD與△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，顯然運用的判定方法是SSS．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，則CF＝_____．【答案】3【分析】先利用線段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)BC=EF，再結(jié)合線段和差求出FC可得答案．【詳解】解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，故答案為：3．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，線段和差,解題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC=EF．8．如圖所示，點O為AC的中點，也是BD的中點，那么AB與CD的關(guān)系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要證明△AOB≌△COD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵點O為AC的中點，也是BD的中點，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，∴AB//CD,即AB與CD的關(guān)系是平行且相等，故答案為：平行且相等．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．9．如圖，，點、、、在同一條直線上，、交于點，，則的度數(shù)是______°．【答案】60【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DFE=∠ACB=30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=30°，∵∠AMF是△MFC的一個外角，∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，故答案為：60．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，△ACD是等邊三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，則∠BAE＝_____°．【答案】125【分析】先證明，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到所求角中兩角的和，最后與等邊三角形內(nèi)角相加就得到結(jié)果．【詳解】解：是等邊三角形，，在與中，故答案為125．【點睛】這道題考察的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的概念．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握這些相關(guān)知識點．11．在△ABC和△DEF，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有__________組【答案】3【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL結(jié)合選項進行判定．【詳解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，可根據(jù)SSS判定△ABC≌△DEF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可根據(jù)SAS判定△ABC≌△DEF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可根據(jù)ASA判定△ABC≌△DEF；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，不能判定△ABC≌△DEF；能使△ABC≌△DEF的條件共有3個，故答案為：3．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．12．如圖，已知，平分，且于點D，則________．【答案】12【分析】如圖，延長BD交AC于點E，根據(jù)已知證得，則得，由三角形的面積公式得，，即可證明，從而可以解答本題．【詳解】解：如圖，延長BD交AC于點E，∵平分，，∴，．∵，∴．∴．∴，．∴．即．∵，∴．故答案為：12．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，明確題意，利用三角形全等證明是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點B的坐標(biāo)為（1，5），則A點的坐標(biāo)是_____．【答案】（-7，3）【分析】先作輔助線、，通過導(dǎo)角證明，再證明，得到AD的長度(A的縱坐標(biāo)長度)、DC長度(加上OC得到A橫坐標(biāo)長度)，根據(jù)A點所在象限的符號，確定A點坐標(biāo)．【詳解】如圖，過點A作于點D，過點B作于點E點C的坐標(biāo)為(-2，0)，點B的坐標(biāo)為(1，5)OC=2，OE=1，BE=5在和中，A點的坐標(biāo)是(-7，3)．【點睛】本題考查了全等三角形的證明(在兩個三角形中，如果有兩組對應(yīng)角，和其中一組對應(yīng)角的對邊分別相等，那么這兩個三角形全等)．14．如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________【答案】2＜AD＜4【分析】此題要倍長中線，再連接，構(gòu)造全等三角形．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC與△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：6-2＜AE＜6+2，∴2＜AD＜4，故AD的取值范圍為2＜AD＜4．【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此題的關(guān)鍵．三、解答題15．如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再結(jié)合已知條件運用“ASA”證得△ABF≌△DCE，最后運用全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵AB//CD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴AF＝DE．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意證得△ABF≌△DCE是解答本題的關(guān)鍵．16．已知和位置如圖所示，，，．（1）試說明：；（2）試說明：．【分析】（1）根據(jù)題意利用SAS可證明△ABD≌△ACE，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)△ABD≌△ACE可知∠B=∠C，然后由等量代換得出∠BAN=∠CAM，從而利用ASA可證明△ABN≌△ACM，從而利用全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵，∴，∵△ADB≌△AEC，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，，、分別平分、，與交于點O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．【答案】（1）120°；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=60°，從而得到∠AOB；（2）在AB上截取AE=AC，證明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再證明∠C+∠D=180°，從而推出∠BEO=∠D，證明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可證明AC+BD=AB．【詳解】解：（1）∵AD，BC分別平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是截取AE=AC，利用全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．18．如圖①，平分，可得．（1）如圖②，平分，參照圖①，過點D作于點交的延長線于點F，求證：；（2）如圖③，在四邊形中，，過點D作，垂足為點E，若，則的值是多少？（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）2a【分析】（1）證明△DFC≌△DEB，可得DB=DC；（2）連接AD，作DF⊥AC于F，證明△DFC≌△DEB，得到DF=DE，CF=BE，再證明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到AF=AE，再根據(jù)線段的和差可得AB=AC．【詳解】解：（1）作