《空間向量基本定理》專題精講_第1頁
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高中數(shù)學精編資源2/2《空間向量基本定理》專題精講空間向量基本定理:(1)定理如果三個向量不共面,那么對任意一個空間向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得.(2)基底我們把定理中的叫做空間的一個基底,都叫做基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.(3)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用表示.(4)空間向量的正交分解由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量,均可以分解為三個向量,使,像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進行正交分解.注意:(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達式也有可能不同.(2)一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.(3)由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.典例1已知是空間的一個基底,且,且判斷能否作為空間的一個基底.思路:本題考查空間基底的概念,在理解空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底的概念的基礎(chǔ)之上,通過分析計算進行判定.解析:設(shè),則,即,∴此方程組無解.即不存在實數(shù),使得,所以不共面.所以能作為空間的一個基底.典例2在棱長為2的正方體中,分別是的中點,點在棱上,且.(1)證明:;(2)求與所成角的余弦值.思路:本題考查空間基底的應用,利用空間的正交基底向量表示其他向量,經(jīng)過分析計算、推理驗證最終得到所要證明的結(jié)

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