2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.2空間向量的基本定理學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGEPAGE13．1.2空間向量的基本定理1.了解共線向量的概念、向量與平面平行的意義．2.理解共線向量定理、共面對量定理、空間向量分解定理．3．會用適當(dāng)?shù)幕妆硎酒渌蛄浚?．共線向量定理兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)x，使a＝xb．2．共面對量定理3．空間向量分解定理假如三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝p＝xa＋yb＋zc，這時a，b，c叫做空間的一個基底，記作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算．()(2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線，則這兩個向量不是共面對量．()(3)若a∥b，則存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.()(4)空間中隨意三個向量肯定是共面對量．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知λ∈R，則下列命題正確的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|＞0答案：C3．若e1，e2不共線，則下列各組中的兩個向量a，b共線的是()A．a(chǎn)＝e1－e2，b＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2B．a(chǎn)＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝2e1－3e2C．a(chǎn)＝eq\f(1,3)e1－eq\f(1,2)e2，b＝2e1－3e2D．a(chǎn)＝e1＋e2，b＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,2)e2答案：C4．空間的隨意三個向量a，b，3a－2b，它們肯定是()A．共線向量B．共面對量C．不共面對量D．既不共線也不共面對量答案：B共線向量的判定如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1D1，AB的中點(diǎn)，E在AA1上且AE＝2EA1，F(xiàn)在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，推斷eq\o(ME,\s\up6(→))與eq\o(NF,\s\up6(→))是否共線？【解】由已知可得，eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝－eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(C1C,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FN,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→)).所以eq\o(ME,\s\up6(→))＝－eq\o(NF,\s\up6(→))，故eq\o(ME,\s\up6(→))與eq\o(NF,\s\up6(→))共線．在本例中，若M、N分別為AD1，BD的中點(diǎn)，證明eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(D1C,\s\up6(→))共線．證明：連接AC，則N∈AC且N為AC的中點(diǎn)，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，由已知得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1C,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(D1C,\s\up6(→))共線．eq\a\vs4\al()推斷向量a，b共線的方法有兩種(1)定義法即證明a∥b，先證明a，b所在基線平行或重合．(2)利用“a＝xb?a∥b”推斷a，b是空間圖形中的有向線段，利用空間向量的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合詳細(xì)圖形，化簡得出a＝xb，從而得a∥b，即a與b共線．如圖所示，ABCD、ABEF都是平行四邊形，且不共面，M、N分別是AC、BF的中點(diǎn)，推斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？解：因?yàn)閑q\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．共面對量的判定已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外的一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)推斷eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)推斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．【解】(1)由已知，得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三個向量的基線又有公共點(diǎn)M，所以M、A、B、C共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．eq\a\vs4\al()共面對量定理可用來證明四點(diǎn)共面，也可以證明線線平行，在本題中的一般結(jié)論是若eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，則M、A、B、C四點(diǎn)共面．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，應(yīng)用向量共面定理證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．證明：分別連接并延長PE，PF，PG，PH交對邊于M，N，Q，R.如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R為所在邊的中點(diǎn)，順次連接M，N，Q，R，所得四邊形為平行四邊形，且有eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up6(→)).因?yàn)镸NQR為平行四邊形，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MR,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PF,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up6(→))))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PH,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up6(→))))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).所以由共面對量定理得E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．空間向量分解定理的應(yīng)用如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，試用向量a、b、c表示向量eq\o(GH,\s\up6(→)).【解】由題意知eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(b＋c)，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)(b＋c)，所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)(b＋c)＝－eq\f(1,3)a，即eq\o(GH,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a.eq\a\vs4\al()用基底表示向量時，(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算．(2)若沒給定基底時，首先選擇基底．選擇時，要盡量使所選的基向量能便利地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．已知空間四邊形OABC，點(diǎn)M、N、P分別是OA，BC，OC的中點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，試用a、b、c表示eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→)).解：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)．1．共線向量定理包含兩個命題，特殊是對于兩個向量a，b，若存在實(shí)數(shù)x，使a＝xb(b≠0)?a∥b，可以作為以后證明線線平行的依據(jù)，但必定在a(或b)上有一點(diǎn)不在b(或a)上．2．線面平行與四點(diǎn)共面問題(1)證明線面平行，據(jù)題設(shè)選擇平面內(nèi)兩個不共線向量(一組基底)，該線所對應(yīng)向量用平面內(nèi)不共線向量(基向量)表示成a＝xb＋yc形式，又線不在平面內(nèi)，即證線面平行．(2)空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).滿意這個關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿意這個關(guān)系式．這個充要條件常用以證明四點(diǎn)共面．3．空間隨意三個不共面的向量a、b、c皆可構(gòu)成空間向量的一個基底，因此，基底有多數(shù)個，所以基底的選擇范圍很廣，但在詳細(xì)的題目或幾何體中往往選擇具有特殊關(guān)系的三個不共面對量作為基底．向量共線與共面不具有傳遞性，如a∥b，b∥c，那么a∥c就不肯定成立．因?yàn)楫?dāng)b＝0時，雖然a∥b，b∥c，但a不肯定與c共線．1．已知空間向量a，b不共線，p＝ka＋b，q＝a－k2b，若p，q共線，則k的值是()A．0 B．1C．－1 D．2解析：選C．若p，q共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)x，使p＝xq，即ka＋b＝xa－xk2b?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝x,1＝－xk2))?k＝－1.2．已知{a，b，c}是空間向量的一個基底，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是()A．a(chǎn) B．bC．a(chǎn)＋2b D．a(chǎn)＋2c解析：選D．構(gòu)成基底的條件是三個向量不共面，故只有D選項(xiàng)滿意條件．3．對于不共面的三個向量a，b，c，假如xa＋yb＋zc＝0，則x＝________，y＝________，z＝________．答案：0004．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間基底的向量組有________．解析：如圖所示，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA′,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則x＝eq\o(AB′,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD′,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).由圖知，A，B′，C，D′四點(diǎn)不共面，故向量x，y，z也不共面．同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．所以，可以作為空間基底的向量組有②③④.答案：②③④[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．對于空間的隨意三個向量a，b，2a－b，它們肯定是()A．共面對量B．共線向量C．不共面對量D．既不共線也不共面對量解析：選A．因?yàn)?a－b可用a，b線性表示，所以2a－b與a，b肯定共面．2．設(shè)空間四點(diǎn)O，A，B，P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則()A．P∈ABB．P?ABC．點(diǎn)P不肯定在直線AB上D．以上都不對解析：選A．由共線向量定理知，P，A，B三點(diǎn)共線，故A正確．3．在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，O′是上底面的中心，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AO′,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a＋b＋c解析：選B．如圖，連接A′C′，則eq\o(AO′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′O′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.4．在下列條件中，使M與A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))解析：選C．因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M與A，B，C必共面．5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－neq\o(AA1,\s\up6(→))，則m，n的值分別為()A．eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)解析：選A．由于eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2)，故選A．6．非零空間向量e1，e2不共線，使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k＝________．解析：若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))所以k＝±1.答案：±17．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}為基底，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝________．解析：因?yàn)锽E＝3ED，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))8．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________．解析：因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))答案：1－19．已知空間的一個基底{a，b，c}，p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，試推斷p、m、n是否共面？解：假設(shè)p、m、n共面，因m與n不共線，故存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)滿意p＝xm＋yn，則3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因?yàn)閍、b、c不共面，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,－x＋y＝2，,x－y＝1.))而此方程組無解，所以p不能用m、n表示，即p、m、n不共面．10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.因?yàn)閑q\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[B實(shí)力提升]11．如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝()A．－1 B．0C．eq\f(1,3) D．1解析：選C．因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).12．正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0(λ∈R)，則λ＝________．解析：如圖，連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，易知EFeq\o(\s\do3(),\s\up4(∥))eq\f(1,2)A1D，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)13．已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別為PC，PD上的點(diǎn)，且M分PC成定比2，N為PD的中點(diǎn)，求滿意eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實(shí)數(shù)x，y，z的值．解：法一：如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(EM,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(EN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→)).連接AC，則eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))不共面．所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).法二：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AP,\s\up6(→))不共面，所以x＝－eq\f(2,3)