2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率§3模擬方法-概率的應(yīng)用教師用書教案北師大版必修3

PAGE1-§3模擬方法——概率的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.記住幾何概型的概念和特點(diǎn)．(重點(diǎn))2．駕馭幾何概型的計(jì)算方法和步驟，精確地把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．了解模擬方法的基本思想，會(huì)利用這種思想解決某些詳細(xì)問題，如求某些不規(guī)則圖形的近似面積等．(難點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)幾何概型的概念和特點(diǎn)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過幾何概型的計(jì)算公式解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．模擬方法模擬方法是一種特別有效而且應(yīng)用廣泛的方法，所以我們經(jīng)常借助模擬方法來估計(jì)某些隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率，用模擬方法可以在短時(shí)間內(nèi)完成大量的重要試驗(yàn)．2．幾何概型向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形態(tài)、位置無關(guān)，即P(點(diǎn)M落在G1)＝eq\f(G1的面積,G的面積)，則稱這種模型為幾何概型．幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比．3．幾何概型的特點(diǎn)與概率計(jì)算公式(1)幾何概型的特點(diǎn)：①試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本領(lǐng)件)有無限多個(gè)．②每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．(2)幾何概型的概率計(jì)算公式：在幾何概型中，事務(wù)A的概率的計(jì)算公式如下：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).(3)計(jì)算步驟：①推斷是否是幾何概型，尤其是推斷等可能性；②計(jì)算基本領(lǐng)件空間與事務(wù)A所含的基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的幾何度量(長度、面積或體積)n和m.這是計(jì)算的難點(diǎn)；③利用概率公式P(A)＝eq\f(m,n)計(jì)算．思索：幾何概型與古典概型有何區(qū)分？[提示]幾何概型與古典概型的異同點(diǎn)類型異同古典概型幾何概型不同點(diǎn)(基本事務(wù)的個(gè)數(shù))一次試驗(yàn)的全部可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本領(lǐng)件)有有限個(gè)一次試驗(yàn)的全部可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本領(lǐng)件)有無限多個(gè)相同點(diǎn)(基本領(lǐng)件發(fā)生的等可能性)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果(即基本領(lǐng)件)發(fā)生的可能性大小相等1．用隨機(jī)模擬方法求得某幾何概型的概率為m，其實(shí)際概率的大小為n，則()A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．m是n的近似值D[隨機(jī)模擬法求其概率，只是對(duì)概率的估計(jì)．]2．在半徑為2的球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，則|OP|＞1的概率為()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,2)A[問題相當(dāng)于在以O(shè)為球心，1為半徑的球外，且在以O(shè)為球心，2為半徑的球內(nèi)任取一點(diǎn)，所以P＝eq\f(\f(4,3)π×23－\f(4,3)π×13,\f(4,3)π×23)＝eq\f(7,8).]3．在長為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)P，并以線段AP為邊作正方形，這個(gè)正方形的面積介于25cm2與49cm2之間的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(4,5)B[∵25＜S＜49，∴5＜AP＜7，∴P(25＜S＜49)＝eq\f(7－5,10)＝eq\f(1,5).]4．在1000mL水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3mL水樣放到顯微鏡下視察，則發(fā)覺草履蟲的概率是________．eq\f(3,1000)[由幾何概型知，P＝eq\f(3,1000).]與長度有關(guān)的幾何概型【例1】(1)某公共汽車站每隔5min有一輛汽車通過，乘客到達(dá)汽車站的任一時(shí)刻都是等可能的，乘客候車時(shí)間不超過3min的概率是________．(2)一只螞蟻在三邊邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為________．(1)eq\f(3,5)(2)eq\f(1,2)[(1)法一設(shè)上一輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，線段T1T2的長度為5，記T是線段T1T2上的點(diǎn)，且TT2的長等于3，記等車時(shí)間不超過3min為事務(wù)A，事務(wù)A(候車時(shí)間不超過3min)發(fā)生即當(dāng)點(diǎn)落在線段TT2上，記D＝T1T2＝5，d＝TT2＝3，所以P(A)＝eq\f(d,D)＝eq\f(3,5).即候車時(shí)間不超過3min的概率為eq\f(3,5).法二簡單推斷這是一個(gè)幾何概型問題，如圖所示．記A為“候車時(shí)間不超過3min”，以x表示乘客來到車站的時(shí)間，那么每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果可以表示為x，假定乘客到車站后第一輛汽車來到的時(shí)刻為t，依據(jù)題意，乘客必在(t－5，t]內(nèi)來到車站，故D＝{x|t－5＜x≤t}，欲使乘客候車時(shí)間不超過3min必需滿意t－3≤x≤t，所以d＝{x|t－3≤x≤t}，所以P(A)＝eq\f(d,D)＝eq\f(3,5).(2)如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，則△ABC的周長為3＋4＋5＝12.某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率P＝eq\f(DE＋FG＋MN,BC＋CA＋AB)＝eq\f(3＋2＋1,12)＝eq\f(1,2).]假如試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為實(shí)際意義上的線段長度，這種模型稱為長度型的幾何概型.可按下列公式來計(jì)算其概率：PA＝eq\f(事務(wù)A構(gòu)成的區(qū)域長度,全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度).eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點(diǎn)x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率為()A．1 B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，射線OT為60°角的終邊，在隨意角集合中任取一個(gè)角，則該角終邊落在∠xOT內(nèi)的概率是________．(1)C(2)eq\f(1,6)[(1)令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的圖像是開口向上的拋物線，與x軸的交點(diǎn)為(－1,0)，(2,0)，圖像在x軸下方，即f(x0)≤0的x0的取值范圍為x0∈[－1,2]，所以P＝eq\f(2－－1,5－－5)＝eq\f(3,10).(2)因?yàn)樵陔S意角集合中任取一個(gè)角，則該角終邊落在∠xOT內(nèi)對(duì)應(yīng)的角度為60°，而整個(gè)角集合對(duì)應(yīng)的角度為圓周角，所以該角終邊落在∠xOT內(nèi)的概率P＝eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).]與體積有關(guān)的幾何概型【例2】一只小蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)面的距離均大于1，稱其為“平安飛行”，求蜜蜂“平安飛行”的概率．[解]依題意，在棱長為3的正方體內(nèi)隨意取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到各面的距離均大于1，則滿意題意的點(diǎn)區(qū)域?yàn)椋何挥谠撜襟w中心的一個(gè)棱長為1的小正方體．由幾何概型的概率公式，可得滿意題意的概率為P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).1．假如試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好視察角度，精確找出基本領(lǐng)件所占的體積及事務(wù)A所占的體積．其概率的計(jì)算公式為：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的體積).2．解決此類問題肯定要留意幾何概型的條件，并且要特殊留意所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中任取一點(diǎn)M，則滿意∠AMB＞A.eq\f(π,24) B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,8) D.eq\f(π,6)A[在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中任取一點(diǎn)M，滿意∠AMB＞90°的區(qū)域的面積是半徑為1的球的eq\f(1,4)，體積為eq\f(1,4)×eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(π,3)，∴所求概率為eq\f(\f(π,3),8)＝eq\f(π,24)，故選A.]與面積有關(guān)的幾何概型[探究問題]1．幾何概型的概率計(jì)算與構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域形態(tài)有關(guān)嗎？提示：幾何概型的概率只與它的長度(面積或體積)有關(guān)，而與構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域形態(tài)無關(guān)．2．在幾何概型中，假如A為隨機(jī)事務(wù)，若P(A)＝0，則A肯定為不行能事務(wù)；若P(A)＝1，則A肯定為必定事務(wù)，這種說法正確嗎？提示：不正確．若隨機(jī)事務(wù)所在的區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，明顯它不是不行能事務(wù)．假如一個(gè)隨機(jī)事務(wù)所在的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必定事務(wù)．【例3】假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30～7：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間是7：00～8：00.問你父親在離開家前能拿到報(bào)紙(稱為事務(wù)A)的概率是多少？[解]如圖，送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間是6：30～7：30的任一時(shí)刻，父親離開家去工作的時(shí)間是7：00～8：00的任一時(shí)刻，假如在直角坐標(biāo)系內(nèi)以x軸表示報(bào)紙送到的時(shí)間，y軸表示父親離開家的時(shí)間，因?yàn)閳?bào)紙送到的時(shí)間和父親離開家的時(shí)間都是隨機(jī)的，所以隨機(jī)試驗(yàn)的全部結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的隨意一點(diǎn)．事務(wù)A(父親離開家前能拿到報(bào)紙)發(fā)生需x≤y，即正方形內(nèi)陰影部分，事務(wù)A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件．μA＝12－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8)，μn＝1,所以P(A)＝eq\f(μA,μn)＝eq\f(7,8).在探討射擊、射箭、投中、射門等實(shí)際問題時(shí)，常借助于區(qū)域的面積來計(jì)算概率的值.此時(shí)，只需分清各自區(qū)域特征，分別計(jì)算其面積，以公式PA＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域面積,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積)計(jì)算事務(wù)的概率即可.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．(1)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)(2)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)(1)B(2)B[(1)不妨設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，所以黑色部分的面積為eq\f(π,2)，故此點(diǎn)取自黑色部分的概率為eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B.(2)易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積為6，陰影部分的面積為eq\f(3,2)，故所求概率為eq\f(1,4).]1．幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事務(wù)是等可能發(fā)生的概率模型．2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目．3．留意理解幾何概型與古典概型的區(qū)分．4．理解如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).1．思索辨析(1)從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率概型是幾何概型． ()(2)從區(qū)間[－10,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到大于等于1且小于等于5的數(shù)的概率模型是幾何概型． ()(3)從一個(gè)邊長為4cm的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P離中心不超過1cm的概率模型是幾何概型． ()(4)幾何概型中每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等． ()[解析](1)×，是古典概型．(2)√，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個(gè)，且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．(3)√，符合幾何概型的特征．(4)√，由幾何概型的特點(diǎn)可知．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．在500mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2mL水樣放到顯微鏡下視察，則發(fā)覺草履蟲的概率為()A．0B．0.002C．0.004D．1C[由幾何概型公式得：P＝eq\f(2,500)＝0.004.]3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°的終邊上，任做一條射線OA，射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率為________．eq\f(1,6)[記B＝{射線OA落在∠xOT內(nèi)}，∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝eq\f(60°,360°)＝