2025湖南高三學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷試題（含答案）

-2025學(xué)年湖南省高三下學(xué)期普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬卷一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．已知集合A={?2,?1,0,1}，集合B={1,2,3,4}，函數(shù)f:A→B的值域?yàn)镃（其中f:x→y=x+1,x∈A），那么A．1,2,3 B．2,3,4 C．0,1,2,3 D．1,2,3,42．若復(fù)數(shù)z滿足方程z=(z+1)i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)的一個必要不充分條件為（）A．f(0)=0 B．f(?2)=f(2) C．f(?x)=f(x) D．f(|x|)=f(x)4．已知P(2,m)是拋物線C：x2=2py（A．(1,0) B．(2,0) C．5．設(shè)O是△ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，M是平面內(nèi)一動點(diǎn)，若MB?MC?OM?A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心6．現(xiàn)有6幅不同的風(fēng)景畫，2幅不同的人物畫，3幅不同的水彩畫，從這些畫中選1幅布置房間，則不同的選法共有（）A．11種 B．18種 C．30種 D．36種7．函數(shù)y=3A．1 B．π C．2 D．2π8．已知定義在R上的函數(shù)fx恒大于0，對?x，y∈R，都有fx+2y=4fA．f0=1C．k=12024fk是奇數(shù) 二、多選題（共4小題，每題5分，共20分）9．隨著互聯(lián)網(wǎng)的飛速發(fā)展，網(wǎng)上購物已成為了流行的消費(fèi)方式．某網(wǎng)店第三季度的服裝產(chǎn)品的銷售總額和其中某款服裝的銷售額占當(dāng)月服裝產(chǎn)品銷售總額的百分比如圖所示：下列結(jié)論錯誤的是（）A．該款服裝這3個月的銷售額逐月遞減B．該款服裝這3個月的銷售總額為23.69萬元C．該款服裝8月份和9月份的銷售額相同D．該款服裝8月份和9月份的銷售總額大于7月份的銷售額10．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，O為底面圓心，母線SA與SB互相垂直，△SAB的面積為2，SA與圓錐底面所成的角為30A．圓錐的高為1 B．圓錐的體積為3πC．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為3π D．二面角S?AB?O的大小為11．以下選項(xiàng)中的兩個圓錐曲線的離心率相等的是（）A．x24?y22=1C．x24+y22=112．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°A．直三棱柱的側(cè)面積是4+2B．直三棱柱的外接球表面積是8πC．三棱錐E?AA1OD．AE+EC1三、填空題（共4小題，每題5分，共20分）13．曲線y=(x2?x)ex14．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345P0.10.20.4m0.1若Y＝2X－3，則P(Y=5)的值為．15．已知有4名男生6名女生，現(xiàn)從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為．16．若對任意x>0，x3+5x2+4x≥a四、解答題（共6小題，每題70分）17．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2acos（1）求B；（2）從下面三個條件中選擇兩個作為已知條件，求a與c的值．條件①b＝7；條件②△ABC的面積為1534；條件③18．記等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn；等比數(shù)列{bn}的公比為q，前n項(xiàng)和為T（1）求d和q；（2）若a1＝1，q＞0，cn＝?19．橢圓x2a2+y（1）求橢圓方程；（2）若直線l：y=kx?3與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N.若滿足AM=AN，求直線20．設(shè)f(x)=（1）求函數(shù)f(（2）若方程f(x)21．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期.一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）[0(2(4(6(8(10(12人數(shù)501502003002006040附：K2=nP(0.050.0250.010k3.8415.0246.635（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果四舍五入為整數(shù)）；（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過8天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期≤8天潛伏期>8天總計(jì)50歲以上（含50）10050歲以下65總計(jì)200（3）以這1000名患者的潛伏期超過8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過8天的概率，每名患者的潛伏期是否超過8天相互獨(dú)立.為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過8天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？22．如圖所示，圓錐的高PO=4，底面圓O的半徑為R，延長直徑AB到點(diǎn)C，使得BC=R，分別過點(diǎn)A、C作底面圓O的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是切線CE與圓O的切點(diǎn)．（1）證明：平面ACE⊥平面POD；（2）若平面PAB與平面PDE所成銳二面角的余弦值為155，求該圓錐的體積V

答案解析部分1．【答案】A【知識點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；交集及其運(yùn)算2．【答案】C【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義【解析】【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，

因?yàn)閦=(z+1)i，所以a+bi=(a+bi+1)i=?b+(a+1故答案為：C．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，結(jié)合已知條件利用復(fù)數(shù)相等，求得a3．【答案】B【知識點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數(shù)的奇偶性【解析】【解答】解：由題意得，對于選項(xiàng)A：若設(shè)函數(shù)為f(x)=x2+1，則f(0)=1，故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可以得到f故答案為：B.

【分析】利用特殊函數(shù)可判斷A選項(xiàng)，偶函數(shù)的定義結(jié)合必要不充分條件可得判斷BCD選項(xiàng).4．【答案】C【知識點(diǎn)】拋物線的定義；拋物線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解：因?yàn)镻(2,m)為拋物線x2=2py上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|=2，

所以2pm=4m+p2=2，解得5．【答案】A【知識點(diǎn)】平面向量減法運(yùn)算；向量加法的三角形法則；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算6．【答案】A【知識點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理【解析】【解答】解：分為三類：從風(fēng)景畫中選，有6種不同的選法；從人物畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有3種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6+2+3=11種不同的選法.故答案為：A【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)行解答.7．【答案】A【知識點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】解：y=3sin2πx+cos2πx=2(故函數(shù)的最小正周期為T=2π故答案為：A.【分析】先利用兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡函數(shù)，再由正弦型函數(shù)的最小正周期公式求解即可.8．【答案】D【知識點(diǎn)】函數(shù)的最大（小）值；函數(shù)的奇偶性；奇偶函數(shù)圖象的對稱性；函數(shù)的周期性【解析】【解答】A、因?yàn)?x，y∈R都有fx+2y=4fx?f2yB、當(dāng)y=?x時(shí)，f?x=4fxC、當(dāng)x=0，y=12時(shí)，f1取y=12，fx+1則k=12024fkD、設(shè)函數(shù)fx=2故答案為：D.

【分析】根據(jù)已知條件取特殊值即可判斷ABC；設(shè)函數(shù)fx9．【答案】A,B,D【知識點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法【解析】【解答】由題意可知該款服裝7月份、8月份、9月份的銷售額分別是12萬元，6萬元，6萬元，則這3個月的銷售總額為24萬元，A，B，D錯誤，符合題意，C正確，不符合題意．故答案為：ABD

【分析】根據(jù)服裝產(chǎn)品的銷售總額和其中某款服裝的銷售額占當(dāng)月服裝產(chǎn)品銷售總額的百分比的條形統(tǒng)計(jì)圖和折線圖，即可求出結(jié)果.10．【答案】A,C,D【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面所成的角；二面角及二面角的平面角【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)镾O與底面垂直，OA為底面圓的一條半徑則SO⊥OA.

所以SA與圓錐底面所成的角為∠SAO=30°,又SA⊥SB，

所以三角形SAB的面積為12SA·SB=12SA2=2，解得SA=2，

所以該圓錐的高為SO=SA·sin30°=2x12=1，故A正確；

對于B，該圓錐的底面半徑為OA=SAcos30°=2×32=3，

故該圓錐的體積為V=13π·OA2·SO=13π32×1=π，故B錯誤：

對于C，設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為θ，底面圓周長為2πxAO=3π，

則θ=23πSA=23π2=11．【答案】C,D【知識點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；拋物線的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解：對于A，雙曲線x24?y因?yàn)閏2=a2+b2，c>0，所以c=a2+b因?yàn)閏2=a2?b2，c>0，所以c=a2?b2=2，所以，橢圓x2因?yàn)閏2=a2+b2，c>0，所以c=a2+b因?yàn)閏2=a2+b2，c>0，所以c=a2+b2=6，所以，雙曲線y2因?yàn)閏2=a2?b2，c>0，所以c=a2?b因?yàn)閏2=a2?b2，c>0，所以c=a2?對于D，拋物線y2+4x=0的離心率為e=1，拋物線x2+2y=0的離心率為e=1，

所以，拋物線y2

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線離心率求解方法和橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式、雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，再由比較法找出兩個圓錐曲線的離心率相等的選項(xiàng).12．【答案】A,B,D【知識點(diǎn)】棱柱/棱錐/棱臺的側(cè)面積、表面積及應(yīng)用；球內(nèi)接多面體；錐體的體積公式及應(yīng)用13．【答案】y=e(x?1)【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【解析】【解答】解：由y=(x2?x)ex得y'=2x?1ex+x2?xex=14．【答案】0.2【知識點(diǎn)】分布的意義和作用；離散型隨機(jī)變量及其分布列【解析】【解答】由分布列的性質(zhì)，可得0.1+0.因?yàn)閅=2X?3，可得P(故答案為：0.2

【分析】首先由分布列的性質(zhì)即可求出m的取值，然后由題意代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。15．【答案】1【知識點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；排列、組合的實(shí)際應(yīng)用16．【答案】(?∞【知識點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；基本不等式【解析】【解答】解：x3+5x2+4x≥ax2恒成立，則a≤x+4x+5在0，+∞上恒成立，

只需滿足a≤(x+4x+5)min故答案為：(?∞,【分析】問題轉(zhuǎn)化為a≤x+4x+5在0，+∞上恒成立，即a≤17．【答案】（1）解：由2acosBsin即cosB=?12，因?yàn)锽∈（2）解：選擇①②：由(1)得sinB=32，由②得1因?yàn)閎=7，所以由余弦定理得b2=a2+解得a=5,c=3或故a與c的值分別為5，3或3，5．選擇①③：由余弦定理得b2=a2+又a+c=8，解得a=5,c=3或選擇②③：由(1)得sinB=32，由(2)得1又a+c=8，解得a=5,c=3或故a與c的值分別為5，3或3，5．【知識點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）由題意，利用正弦定理化簡求解即可；（2）選擇①②，由三角形的面積公式和余弦定理求解即可；選擇①③，利用余弦定理求解即可；選擇②③，由余弦定理結(jié)合a+c=8求解即可；18．【答案】（1）解：由已知條件可得：b1q2=4a1…①由①②消去b1q2由①③得：q2所以3q2?4q?4=0，得q=2所以d=1，q=2或（2）解：當(dāng)q>0時(shí)，q=2，則b1所以an所以cc2n?1{cn}的前2nS==(=2+=【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)而解方程組得出公差和公比的值。

（2）利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，再結(jié)合并項(xiàng)求和的方法得出數(shù)列{19．【答案】（1）解：由一個頂點(diǎn)為A0，3，離心率e=45，可得b=3，ca（2）解：由AM=AN知點(diǎn)A在線段由y=kx?3x225+y由k≠0，得方程的Δ=設(shè)Mx1，y1、N則x1+x所以y0=kx因?yàn)閗≠0，所以直線AP的斜率為k1由AP⊥MN，得?25k2+1825k即有直線l的方程為y=±7【知識點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.（1）先根據(jù)橢圓的一個頂點(diǎn)可以求出b的值，再根據(jù)離心率可得到c、a的關(guān)系，根據(jù)橢圓的關(guān)系式a2=b（2）先聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理可得：x1+x2=150k9+25k2，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出線段MN的中點(diǎn)P20．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)由f'(x所以函數(shù)f(x)（2）解：由（1）知，當(dāng)f'(x)>0時(shí)，x<?2或x>4函數(shù)f(x)在x=?2處取得極大值f(?2顯然當(dāng)?27<a<9時(shí)，直線y=a與函數(shù)f(所以方程f(x)【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)公式【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求其導(dǎo)函數(shù)，最后令f'（2）由（1）求得函數(shù)的極小、極大值，再利用三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出a的取值范圍即可.21．【答案】（1）解：平均數(shù)x=1×=6580（2）解：由題設(shè)知：潛伏期天數(shù)在[0，潛伏期天數(shù)在(8，故200人中潛伏期在[0，8]上有140人，在列聯(lián)表如下：

潛伏期≤8天潛伏期>8天總計(jì)50歲以上（含50）752510050歲以下6535100總計(jì)14060200∴K故在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，不能認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).（3）解：由題知，一名患者潛伏期超過8天的概率為3001000設(shè)20名患者中潛伏期超過8天的人數(shù)為X，則X～B(20，∴P(X=k)=C20k由題意得，P(X=k)?P(X=k+1)即C化簡得7(k+1)?3(20?k)，3(21?k)?7k∴k=6，即潛伏期超過8天的人數(shù)最有可能是6.【知識點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想；二項(xiàng)分布【解析】【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法，即可求出這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值x；

(2)由表知，潛伏期天數(shù)在[0，8]的頻率為0.7，潛伏期天數(shù)在(8，14]的頻率為0.3，由此補(bǔ)充完整2X2列聯(lián)表，再根據(jù)K2的參考公式計(jì)算其觀測值，并與附表中的數(shù)據(jù)對比，即可作出判斷；

(3)設(shè)20名患者中