2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課時作業(yè)31.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則含解析新人教A版選修2-2

PAGEPAGE4課時作業(yè)3幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．給出下列結(jié)論：①(cosx)′＝sinx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3)；③若y＝eq\f(1,x2)，則y′＝－eq\f(1,x)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq\f(1,2x\r(x))其中正確的個數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3解析：(cosx)′＝－sinx，所以①錯誤；sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②錯誤；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝eq\f(0－x2′,x4)＝eq\f(－2x,x4)＝－2x－3，所以③錯誤；所以④正確．2．函數(shù)y＝sinx·cosx的導(dǎo)數(shù)是(B)A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinx D．y′＝cosx·sinx解析：y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.3．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2013(x)＝(C)A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：因為f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx,f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循環(huán)周期為4，因此f2013(x)＝f1(x)＝cosx.4．對隨意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為(B)A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝x4－1解析：由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4項，然后將x＝1代入選項中驗證可得．5．已知曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點的橫坐標為(A)A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析：因為y′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，所以依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)，解得x＝3(x＝－2不合題意，舍去)．6．曲線y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))處的切線的斜率為(B)A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)解析：y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得導(dǎo)數(shù)值為eq\f(1,2)，即為所求切線的斜率．7．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切，則a的值為(A)A．1 B．±1C．－1 D．－2解析：設(shè)切點為(x0，y0)，則y0＝3x0＋1，且y0＝axeq\o\al(3,0)＋3，所以3x0＋1＝axeq\o\al(3,0)＋3①.對y＝ax3＋3求導(dǎo)得y′＝3ax2，則3axeq\o\al(2,0)＝3，axeq\o\al(2,0)＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋4lnx，若存在滿意1≤x0≤3的實數(shù)x0，使得曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線與直線x＋my－10＝0垂直，則實數(shù)m的取值范圍是(B)A．[5，＋∞) B．[4,5]C．[4，eq\f(13,8)] D．(－∞，4)解析：f′(x)＝x＋eq\f(4,x)，當1≤x0≤3時，f′(x0)∈[4,5]，又k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4,5]．二、填空題9．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，則x＝1.解析：f′(x)－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1，即2x2－x－1＝0.解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1，又x>0，∴x＝1.10．若曲線y＝kx＋lnx在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝－1.解析：y′＝k＋eq\f(1,x)，由題意知，y′|x＝1＝0，即當x＝1時，k＋eq\f(1,x)＝k＋1＝0，解得k＝－1.11．設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝2.解析：由f(ex)＝x＋ex，可得f(x)＝lnx＋x，得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(1)＝1＋1＝2.三、解答題12．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(2)y＝eq\f(1＋cosx,x2)；(3)y＝(4x－x)(ex＋1)．解：(1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).(2)y′＝eq\f(1＋cosx′·x2－1＋cosxx2′,x4)＝eq\f(－xsinx－2cosx－2,x3).(3)法1：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln4＋4xex＋4xln4－ex－xex－1＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.法2：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln4－1)(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln4＋4x－1－x)＋4xln4－1.13．已知點P是曲線y＝ex上任一點，求點P到直線y＝x的最小距離．解：設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(x0，y0)，該切點即為與y＝x距離最近的點，如右圖，則在點P(x0，y0)處的切線的斜率為1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex.∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)，利用點到直線的距離公式得d＝eq\f(|0－1|,\r(12＋－12))＝eq\f(\r(2),2).故點P到直線y＝x的最小距離為eq\f(\r(2),2).——實力提升類——14．已知A、B、C三點在曲線y＝eq\r(x)上，其橫坐標依次為1、m、4(1<m<4)，當△ABC的面積最大時，m的值等于eq\f(9,4).解析：如圖，在△ABC中，邊AC是確定的，要使△ABC的面積最大，則點B到直線AC的距離應(yīng)最大，可以將直線AC作平行移動，明顯當直線與曲線相切時，距離達到最大，即當過B點的切線平行于直線AC時，△ABC的面積最大．f′(m)＝eq\f(1,2\r(m))，A點坐標為(1,1)，C點坐標為(4,2)，∴kAC＝eq\f(2－1,4－1)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2\r(m))＝eq\f(1,3)，∴m＝eq\f(9,4).15．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx