2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)第一、二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓與的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切2.若直線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.3.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯密碼的概率分別是，，則密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.4.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.5.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中能作為基底的是（）A B.C. D.6.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A B. C. D.7.某手機(jī)信號(hào)檢測(cè)設(shè)備的監(jiān)測(cè)范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機(jī)以每分鐘的速度從設(shè)備正東的處沿西偏北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng)約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘8.如圖，在四面體中，平面平面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，，若平面，則（）A B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有四個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒內(nèi)都有3個(gè)水晶崽崽，其中三個(gè)盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍(lán)色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個(gè)盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個(gè)盲盒，設(shè)事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）A與不互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A.為質(zhì)數(shù)B.直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為11.已知圓與直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則C.若，則D.若，從點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，互斥，則________，________.13.若點(diǎn)在圓的外部，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.若過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，則__________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線，圓.（1）證明：直線與圓相交.（2）記直線與圓的交點(diǎn)為，求AB的最小值.16.某社團(tuán)為統(tǒng)計(jì)居民運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為，，，，，六個(gè)小組（所調(diào)查的居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機(jī)抽樣的方法從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在，這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運(yùn)動(dòng)心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，D是棱AC的中點(diǎn)，E為棱BC上一動(dòng)點(diǎn).（1）判斷是否存在點(diǎn)E，使平面.（2）是否存在點(diǎn)E，使平面平面?若存在，求此時(shí)與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求AB；（3）若曲線與軸的交點(diǎn)為，直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)第一、二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓與的位置關(guān)系為（）A相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切【正確答案】D【分析】計(jì)算兩圓圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑．兩圓圓心距為，所以圓與圓內(nèi)切．故選：D.2.若直線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】利用兩直線平行的判定方法列出方程，求解后檢驗(yàn)即得.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?當(dāng)時(shí)，重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.故選：C.3.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯密碼的概率分別是，，則密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算得解.【詳解】甲乙都沒有破譯密碼的概率,所以根據(jù)對(duì)立事件概率公式可知，密碼被成功破譯的概率,故選：D4.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算方法求得正確答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為．故選：A5.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)中能作為基底的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理判斷各選項(xiàng)向量是否共面即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以共面，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋怨裁?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以共面，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椴淮嬖趚，y，使得，所以不共面，故D正確．故選：D6.空間內(nèi)有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示求出，利用空間向量法求解點(diǎn)線距即可.【詳解】因?yàn)?，所以的一個(gè)單位方向向量為.因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離為.故選：A7.某手機(jī)信號(hào)檢測(cè)設(shè)備的監(jiān)測(cè)范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一名人員持手機(jī)以每分鐘的速度從設(shè)備正東的處沿西偏北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng)約為（）A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線及圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式及圓的弦長(zhǎng)公式求解即得.【詳解】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東、正北方向分別為軸、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線，即，圓，記從處開始被監(jiān)測(cè)，到處監(jiān)測(cè)結(jié)束，點(diǎn)到直線的距離為，則，所以被監(jiān)測(cè)的時(shí)長(zhǎng)為分鐘.故選：C8.如圖，在四面體中，平面平面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，，若平面，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量，利用它們數(shù)量積為0求解即可.【詳解】連接，由為等邊三角形，則，又平面平面，交線，平面，所以平面，又平面，所以,因?yàn)闉榈妊切危堑闹悬c(diǎn)，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則．因?yàn)槠矫?，所以，解得．故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有四個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒內(nèi)都有3個(gè)水晶崽崽，其中三個(gè)盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍(lán)色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個(gè)盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個(gè)盲盒，設(shè)事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）A.與不互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立【正確答案】ACD【分析】由互斥事件，獨(dú)立事件，以及各個(gè)事件的概率關(guān)系逐一判斷即可；【詳解】對(duì)于A，和可以同時(shí)發(fā)生，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ACD.10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A.為質(zhì)數(shù)B.為直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為【正確答案】BCD【分析】對(duì)于ABC：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解即可；對(duì)于D：分析可知幾何體為三棱臺(tái)，且與該三棱臺(tái)的底面垂直，結(jié)合臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以不是質(zhì)數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，所以為直角三角形，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以與所成角的正弦值為，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)已知6個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)可得幾何體為三棱臺(tái)，且與該三棱臺(tái)的底面垂直，，所以幾何體的體積為，D正確.故選：BCD.11.已知圓與直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列說法正確的是（）A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則C.若，則D.若，從點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值是【正確答案】BC【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可判斷A錯(cuò)誤；由圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可得直線過圓心，圓心坐標(biāo)代入直線方程可得選項(xiàng)B正確；由題意可知的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，選項(xiàng)C正確；由切線得垂直，根據(jù)勾股定理表示切線長(zhǎng)，可知當(dāng)最小時(shí)，切線長(zhǎng)最小，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求解可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑.∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，故A不正確.B.若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線經(jīng)過圓的圓心，∴，解得，故B正確.C.若，則圓心到直線的距離，∴，故C正確.D.若，從點(diǎn)向圓引切線，設(shè)一個(gè)切點(diǎn)為，連接，則，如圖所示，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最小值，即，故D不正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，互斥，則________，________.【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)互斥事件概率計(jì)算公式來求得正確答案.【詳解】依題意，，互斥，所以.故；13.若點(diǎn)在圓的外部，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】結(jié)合圓的定義、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可得解.【詳解】由題意可得，解得，故正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.14.若過圓外一點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，則__________．【正確答案】2或4【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，利用，即可求出答案.【詳解】如圖，記圓的圓心為與交于點(diǎn)，圓的半徑為r，由題意可得，，所以，即，解得或16，即或4，經(jīng)檢驗(yàn)，都滿足題意．故2或4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線，圓.（1）證明：直線與圓相交.（2）記直線與圓的交點(diǎn)為，求AB的最小值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）求出直線所過定點(diǎn)，判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可推理得證.（2）利用圓的性質(zhì)求出最短弦長(zhǎng).【小問1詳解】直線：，令，解得，則直線過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，而，因此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，所以AB的最小值為.16.某社團(tuán)為統(tǒng)計(jì)居民運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為，，，，，六個(gè)小組（所調(diào)查的居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)均在內(nèi)），得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求出圖中m的值，并估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)；（2）按分組用分層隨機(jī)抽樣的方法從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在，這兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運(yùn)動(dòng)心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率.【正確答案】（1），2.4h（2）.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，再利用中位數(shù)的計(jì)算公式直接計(jì)算；（2）根據(jù)分層抽樣等比例的性質(zhì)直接計(jì)算人數(shù)，再根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由，解得.因?yàn)?，所以中位?shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，得，即估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為2.4h.【小問2詳解】由題知，平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在，內(nèi)的頻率分別為0.5，0.1，則應(yīng)從平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在，內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人.記時(shí)間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，記時(shí)間段內(nèi)的1人為M，則從這6人中選出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，2人來自不同分組的基本事件，，，，，共5個(gè)，所以這2人來自不同分組的概率為.17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，.（1）判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）和不垂直，理由見詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件可設(shè)，計(jì)算出，的值，從而證明到，再由可證平面；所以建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量和，將判斷直線是否垂直轉(zhuǎn)化為判斷向量是否垂直，即可得證.（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分別求出平面與平面的法向量，利用公式計(jì)算可得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】和不垂直，理由如下：設(shè)，則，在中，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，所以，從而，所以在直角中，，，又因?yàn)?，所以，所以在中，滿足，故為直角三角形，則；又因?yàn)?，，所以平面；因?yàn)?，所以，所以，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，；所以，，，，，所以，，所以，所以不成立，故和不垂直.【小問2詳解】由（1）可知，，，所以平面，故為平面的一個(gè)法向量；又，，設(shè)平面的法向量，所以，即，取，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，D是棱AC的中點(diǎn)，E為棱BC上一動(dòng)點(diǎn).（1）判斷是否存在點(diǎn)E，使平面.（2）是否存在點(diǎn)E，使平面平面?若存在，求此時(shí)與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）存在（2）存在，且與平面所成角的正弦值為【分析】（1）以為原點(diǎn)，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)