復(fù)習(xí)課（第2課時平面解析幾何）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第2課時平面解析幾何復(fù)習(xí)課人教B版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊知識梳理構(gòu)建體系知識網(wǎng)絡(luò)

要點梳理

1.點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的距離公式是怎樣的?2.直線的傾斜角是如何定義的?其范圍如何?提示:一般地,給定平面直角坐標系中的一條直線,如果這條直線與x軸相交,將x軸繞著它們的交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角就是直線的傾斜角.直線與x軸平行或重合時,規(guī)定其傾斜角為0°.傾斜角的取值范圍是[0,π).3.直線的斜率公式是什么?直線的傾斜角θ與斜率k有何關(guān)系?4.試寫出傾斜角為θ的直線l的一個方向向量和一個法向量.提示:方向向量a=(cos

θ,sin

θ),法向量b=(-sin

θ,cos

θ).5.直線的方程有哪些形式?請完成下表.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式截距,斜率y=kx+b與x軸不垂直的直線點斜式過一點,斜率y-y0=k(x-x0)兩點式過兩點與兩坐標軸均不垂直的直線截距式在x軸、y軸上的截距不過原點,且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式—Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直線6.怎樣判斷兩條直線平行或垂直?提示:(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1∥l2?k1=k2.特別地,當(dāng)直線l1,l2的斜率都不存在時,l1與l2平行.(2)兩條直線垂直若兩條直線l1,l2的斜率都存在,設(shè)為k1,k2,則l1⊥l2?k1·k2=-1.當(dāng)一條直線的斜率為零,另一條直線的斜率不存在時,兩條直線垂直.7.點到直線的距離公式和兩條平行直線之間的距離公式是什么?8.圓的定義及其方程是怎樣的?完成下表.9.怎樣判斷點與圓的位置關(guān)系?提示:平面內(nèi)的一點M(x0,y0)與圓:(x-a)2+(y-b)2=r2之間的位置關(guān)系如下:(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2?點M在圓外;(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2?點M在圓上;(3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2?點M在圓內(nèi).10.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系?完成下表.設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離為d,由消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.名稱幾何法代數(shù)法相交d<rΔ>0相切d=rΔ=0相離d>rΔ<011.怎樣判斷圓與圓的位置關(guān)系?提示:設(shè)兩個圓的半徑分別為R,r,R>r,圓心距為d,則有兩個圓外離?d>R+r;兩個圓外切?d=R+r;兩個圓相交?R-r<d<R+r;兩個圓內(nèi)切?d=R-r;兩個圓內(nèi)含?d<R-r.12.橢圓的定義中應(yīng)注意哪幾點?提示:(1)動點在平面內(nèi).(2)動點與兩定點F1,F2的距離的和等于常數(shù).(3)常數(shù)大于|F1F2|.13.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì).請完成下表.14.雙曲線的定義中應(yīng)注意哪幾點?提示:(1)動點在平面內(nèi).(2)動點與兩定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù).(3)非零常數(shù)小于|F1F2|.15.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì).請完成下表.16.拋物線的定義中應(yīng)注意哪幾點?提示:(1)動點在平面內(nèi).(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等.(3)定點不在定直線上.17.拋物線的標準方程和幾何性質(zhì).請完成下表.18.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.請完成下表.直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去y得方程ax2+bx+c=0.名稱方程特征交點個數(shù)位置關(guān)系直線與橢圓a≠0,Δ>02相交a≠0,Δ=01相切a≠0,Δ<00相離直線與雙曲線a=01相交a≠0,Δ>02相交a≠0,Δ=01相切a≠0,Δ<00相離名稱方程特征交點個數(shù)位置關(guān)系直線與拋物線a=01相交a≠0,Δ>02相交a≠0,Δ=01相切a≠0,Δ<00相離19.弦長公式是什么?【思考辨析】

判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若直線的斜率為tanα,則傾斜角為α.(

)(2)斜率相等的兩條直線的傾斜角一定相等.(

)(3)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(

)(4)當(dāng)不重合的直線l1和l2的斜率都存在時,一定有k1=k2?l1∥l2.(

)(5)若兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于-1.(

)(6)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù)),若直線l1⊥l2,則A1A2+B1B2=0.(

)×√√√×√(7)(x-2)2+(y-1)2=a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心,a為半徑的圓.(

)(8)圓x2+2x+y2+y=0的圓心是

.(

)(9)若直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.(

)(10)橢圓的離心率e越大,橢圓就越接近于圓.(

)(11)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲線是橢圓.(

)(12)方程

=1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.(

)(13)平面內(nèi)到一個定點F的距離與到一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(

)××√×√××專題歸納核心突破專題整合

專題一

直線方程的幾種形式【例1】

求過點(a,0),(0,b)和(1,7)三點,且a,b均為正整數(shù)的直線的方程.分析:先確定a,b之間的關(guān)系,再確定a,b的值,最后求出直線方程.即b+7a=ab,可化為(a-1)(b-7)=7.因為a,b均為正整數(shù)

,所以有兩組解,求直線方程時,依據(jù)條件選擇合適的方程形式求解.無特殊要求時,最后一般將直線方程化為一般式.【變式訓(xùn)練1】

已知在△ABC中,A,B的坐標分別為(-1,2),(4,3),AC的中點M在y軸上,BC的中點N在x軸上.(1)求點C的坐標;(2)求直線MN的方程.專題二

兩條直線的位置關(guān)系【例2】

已知直線l的方程為3x+4y-12=0,求直線l'的方程,使l'滿足:(1)過點(-1,3),且與l平行;(2)過點(-1,3),且與l垂直.解:(1)(方法一)設(shè)直線l'的斜率為k.∵直線l'與直線l平行,∴k=-.又l'過點(-1,3),∴直線l'的方程為y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.(方法二)由l'與l平行,可設(shè)l'的方程為3x+4y+m=0.將點(-1,3)的坐標代入解得m=-9.故直線l'的方程為3x+4y-9=0.(2)(方法一)設(shè)直線l'的斜率為k.∵直線l'與直線l垂直,又l'經(jīng)過點(-1,3),∴直線l'的方程為y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.(方法二)由l'與l垂直,可設(shè)l'的方程為4x-3y+n=0.將點(-1,3)的坐標代入解得n=13.故直線l'的方程為4x-3y+13=0.過點A(x0,y0),且與直線Ax+By+C=0平行或垂直的直線方程的求法有兩種:(1)先求斜率(斜率存在時),再用點斜式求直線方程;(2)設(shè)出含未知數(shù)m的一般式方程,用待定系數(shù)法求出m,得到直線方程.【變式訓(xùn)練2】

求過直線l1:3x+4y-2=0與直線l2:2x+y+2=0的交點,且平行于直線5x+4y=0的直線方程.設(shè)與直線5x+4y=0平行的直線方程為5x+4y+c=0(c≠0),將點(-2,2)的坐標代入得5×(-2)+4×2+c=0,解得c=2.故所求直線方程為5x+4y+2=0.專題三

求圓的方程【例3】

已知圓經(jīng)過點(4,2)和(-2,-6),該圓與坐標軸的四個截距之和為-2,求圓的方程.解:設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因為圓經(jīng)過點(4,2)和(-2,-6),設(shè)圓在x軸上的截距為x1,x2,它們是方程x2+Dx+F=0的兩個根,則x1+x2=-D.設(shè)圓在y軸上的截距為y1,y2,它們是方程y2+Ey+F=0的兩個根,則y1+y2=-E.由已知,得-D+(-E)=-2,即D+E-2=0.③聯(lián)立①②③,解得D=-2,E=4,F=-20.故所求圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0.利用待定系數(shù)法求圓的方程是常用方法,所設(shè)方程的形式可由已知條件決定.若由已知條件能較容易地求出圓心和半徑,則可設(shè)圓的標準方程;若已知條件涉及圓過幾個點,則可設(shè)圓的一般方程.專題四

直線與圓的位置關(guān)系【例4】

已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P,Q兩點,O為原點,且OP⊥OQ,求實數(shù)m的值.在求解直線與圓相交的有關(guān)問題時,需要檢驗所求參數(shù)的值是否滿足直線與圓相交,此處檢驗過程容易被忽略.【變式訓(xùn)練4】

已知圓C的圓心與點(-2,1)關(guān)于直線y=x+1對稱,直線3x+4y-11=0與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=6,則圓C的方程為

.

答案:x2+(y+1)2=18專題五

圓與圓的位置關(guān)系【例5】

已知圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系;(2)若兩圓相交,求公共弦所在直線的方程;(3)若兩圓相交,求公共弦的長度.解:(1)將兩圓方程化為標準方程,得C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10.故r1-r2<|C1C2|<r1+r2,故兩圓相交.(2)將兩圓方程相減,得公共弦所在直線方程為x-2y+4=0.判斷兩圓的位置關(guān)系,常用幾何法,即用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系,一般不用代數(shù)法.根據(jù)兩圓位置關(guān)系解決有關(guān)問題時,一定要分清是內(nèi)切還是外切,內(nèi)含還是外離,搞清兩圓之間的關(guān)系后,再利用其他條件求解.【變式訓(xùn)練5】

已知兩個圓C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直線l:x+2y=0,求經(jīng)過圓C1和C2的交點,且與直線l相切的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x-4y+4+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0,解得λ=1或λ=-1(舍去).故所求圓的方程為x2+y2-x-2y=0.專題六

圓錐曲線的定義及應(yīng)用【例6】

設(shè)F1,F2分別為雙曲線

=1的左、右焦點,A1,A2分別為這個雙曲線的左、右頂點,P為雙曲線右支上的任一點,求證:以A1A2為直徑的圓既與以PF2為直徑的圓外切,又與以PF1為直徑的圓內(nèi)切.證明:如圖,易知以A1A2為直徑的圓的圓心為O,半徑為a,令M,N分別是PF2,PF1的中點,連接OM,ON,橢圓、雙曲線、拋物線都有嚴格的定義,充分理解定義是應(yīng)用定義的前提.【變式訓(xùn)練6】

已知動點M到定點A(1,0)與到定直線l:x=3的距離之和等于4,求動點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.解:設(shè)M(x,y),作MN⊥l于點N,當(dāng)x≥3時,上式化簡為y2=-12(x-4);當(dāng)x<3時,上式化簡為y2=4x.故點M的軌跡方程為y2=-12(x-4)(x≥3)和y2=4x(x<3),其軌跡是兩條拋物線.專題七

圓錐曲線的標準方程【例7】

焦點為(0,±3),且與雙曲線

-y2=1有相同的漸近線的雙曲線方程為

.

1.已知圓錐曲線的類型,求圓錐曲線方程的關(guān)鍵是根據(jù)已知的幾何條件或代數(shù)條件,列出方程或方程組,求出圓錐曲線方程中的系數(shù)(待定系數(shù)法).2.當(dāng)動點隨另一個在已知曲線上運動的點而變化時,建立兩個動點坐標之間的關(guān)系,代入已知曲線方程得出圓錐曲線方程(代入法).【變式訓(xùn)練7】

若拋物線y2=2px的焦點與橢圓

的右焦點重合,則該拋物線的標準方程為

.

答案:y2=8x專題八

圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例8】

設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點,且與雙曲線C的一條對稱軸垂直,直線l與雙曲線C交于A,B兩點,|AB|為雙曲線C的實軸長的2倍,則雙曲線C的離心率為(

)答案:B求離心率的主要方法有:(1)定義法:利用平方關(guān)系以及e=,已知a,b,c中任意兩個求e.(2)方程法:建立a與c的齊次關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求離心率e.答案:B專題九

直線與圓錐曲線的關(guān)系【例9】

已知橢圓C:,且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程;(2)過橢圓右頂點A的兩條斜率乘積為-的直線分別交橢圓于M,N兩點,試問:直線MN是否過定點?若過定點,請求出此定點;若不過,請說明理由.所以直線MN的方程為y=kx,過定點(0,0).當(dāng)直線MN的斜率不存在時,M,N為短軸兩端點,顯然也符合題意,所以直線MN恒過定點(0,0).關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合題,一般利用“設(shè)而不求”的方法求解.注意判別式Δ和根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運用.高考體驗

考點一

直線與圓的位置關(guān)系1.(2021·北京高考)已知圓C:x2+y2=4,直線l:y=kx+m,則當(dāng)k的值發(fā)生變化時,直線l被圓C所截的弦長的最小值為2,則m的取值為(

)答案:C2.(2021·全國甲高考)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是(

)A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切答案:ABD3.(2021·全國乙高考)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點A(4,0),B(0,2),則(

)A.點P到直線AB的距離小于10B.點P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)∠PBA最小時,|PB|=3D.當(dāng)∠PBA最大時,|PB|=3解析:如圖,記圓心為M,半徑為r,則M(5,5),r=4.答案:ACD考點二

橢圓及其幾何性質(zhì)

解析:設(shè)橢圓C的右頂點為B,由于P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對稱,所以直線BP與AQ的斜率互為相反數(shù).設(shè)直線AP的斜率為kAP,直線BP的斜率為kBP,答案:A5.(2021·全國乙高考)已知F1,F2是橢圓C:的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(

)A.13 B.12 C.9 D.6解析:由題意知|MF1|+|MF2|=2a=6,則|MF1|·|MF2|≤9,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時,等號成立.故|MF1|·|MF2|的最大值為9.故選C.答案:C答案:C7.(2021·全國甲高考)已知F1,F2為橢圓C:的兩個焦點,P,Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,則四邊形PF1QF2的面積為

.

答案:8解析:由題意,可知直線的斜率一定存在,且大于0.由直線過點F1,可設(shè)直線的方程為y=k(x+c)(k>0),9.(2021·北京高考)已知橢圓E:(a>b>0)過點A(0,-2),以四個頂點圍成的四邊形的面積為4.(1)求橢圓E的標準方程;(2)過點P(0,-3)的直線l的斜率為k,交橢圓E于不同的兩點B,C,直線AB,AC交y=-3于點M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范圍.(2)由題意知,直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx-3,B(x1,y1),C(x2,y2).得(5k2+4)x2-30kx+25=0.由Δ=400(k2-1)>0,得k>1或k<-1.所以-3≤k≤3.又k<-1或k>1,所以-3≤k<-1或1<k≤3.故k的取值范圍為[-3,-1)∪(1,3].考點三

雙曲線及其幾何性質(zhì)10.(2021·全國甲高考)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為

.

11.(2022·全國甲高考)若雙曲線y2-=1(m>0)的漸近線與圓x2+y2-4y+3=0相切,則m=

.

(1)求C的方程;(2)設(shè)點T在直線x=上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.考點四

拋物線及其幾何性質(zhì)13.(2021·全國乙高考)已知O為坐標