近世代數(shù)初步習(xí)題答案與解答

?近世代數(shù)初步?

習(xí)題答案與解答

引論章

一、知識(shí)摘要

1.A是非空集合,集合積AxA={(a.b):訴4}至曲的一個(gè)映射就稱為A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算

(二元運(yùn)算或運(yùn)算).

2.設(shè)G非空集合，在G上有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，稱作乘法，即對G中任意兩個(gè)元素a,b,有唯一確定

的元素c與之對應(yīng),c稱為a與b的積，記為c=ab.假設(shè)這個(gè)運(yùn)算還滿足：GG,

(i)ab=ba.

(2)(ab)c=a(bc),

(3)存在單位元e滿足ea=ae=a,

(4)存在deG,使得。a'=a'a=e.稱為。的一個(gè)逆元素.

那么稱G為一個(gè)交換群.

⑴假設(shè)G只滿足上述第2、3和4條,那么稱G為一個(gè)群.

(ii)假設(shè)G只滿足上述笫2和3條,那么稱G為一個(gè)幺半群.

(iii)假設(shè)G只滿足上述第2條,那么稱G為一個(gè)半群.

3.設(shè)F是至少包含兩個(gè)元素的集合，在F上有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，稱作加法，即對F中任意兩個(gè)元

素a,b,有唯一確定的元素c與之對應(yīng),c稱為a與b的和，記為c=a+b.在F上有另一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，稱

作乘法.即對F中任意兩個(gè)元素a.b.有唯一確定的元素d與之對應(yīng).d稱為a與b的積、記為d=ab.

假設(shè)這兩個(gè)運(yùn)算還滿足：

I.F對加法構(gòu)成交換群.

II.F*=F\{0}對乘法構(gòu)成交換群.

III.F,a(b+c)=ab+ac.

就稱F為一個(gè)域.

4.設(shè)R是至少包含兩個(gè)元素的集合，在R上有加法和乘法運(yùn)算且滿足：

I.R對加法構(gòu)成交換群(加法單位元稱為零元，記為0;加法單位逆元稱為負(fù)元).

II.R*=R\{0}對乘法構(gòu)成幺半群(乘法單位元常記為1).

III.Va,cGR,a(b+c)=ah+ac,(b+c)a=ba+ca.

就稱R為一個(gè)環(huán).

消去律：^a,b,ceG,ab=acnb=cQ.ba=can5=c.

6.R是環(huán)wR,a豐0,若有beR,b=0且必=0(或a=0),那么稱。是R中的一個(gè)左(右)

零因子.

7.廣義結(jié)合律:半群S中任意n個(gè)元ai,a2,…,a”的乘積a團(tuán)…an在次序不變的情況下可以將它

們?nèi)我饨Y(jié)合.

8.群G中的任意元素a及任意正整數(shù)n,定義：

an=aa...a,a0=e,a~"=,

”個(gè)“個(gè)

那么由廣義結(jié)合律知XfaeG,Vm,n￡Z,有

m

="(小r=a-.

(在加法群中可寫出相應(yīng)的形式.)

9.關(guān)于數(shù)域上的行列式理論、多項(xiàng)式理論(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解

唯?性定理等)、線性方程組理論、矩陣運(yùn)算及理論、線性空間及線性變換理論在一般域F上都

成立.

二、習(xí)題解答

1、⑴否，(2)否，13)是，(4)是。

注：因?yàn)榧螦上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算對應(yīng)了集合AXA到A的一個(gè)映射。此類題由此直接判

斷。

2、證明由于在Fz上的任一和式中，只要有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)1,其結(jié)果永遠(yuǎn)是I。而a+b與

b+a；a+(b+c)與(a,b)+c中1,0出現(xiàn)的次數(shù)分別相同，它們的和就分別相等，故F?中加法交換

律和結(jié)合律成立。

由于ab和ba；a(be)和(ab)c中如有0出現(xiàn)，其積為零，否那么其積為1,故這兩對積

分別相等，于是F?中乘法交換律和結(jié)合律成立。

對a(b+c)和ab+ac,假設(shè)a=0,這兩式子都為零：假設(shè)a=l,這兩式子都為b+c,對這兩

種情形兩式子都相等，故F2中乘法對加法的分配律成立。

注：此類題根據(jù)所定義的運(yùn)算法那么直接驗(yàn)證。

3、⑴對a+b=a=a+O用加法消去律,得b=0。

(2)由于[(-a)-b]+a+b=(-a)+[-b+(a+b)]=(-a)+a=0,由負(fù)元的定義知(-a)-b=-(a+b).

⑶在(2)中將b換為?b,就得?(a?b)=(-a)+b。

(4)對a-b=c兩邊加上b,左邊=(a-b)+b=a,右邊=c+b,故a=c+b。

⑸a?O+a=a-0+a?l=a(0+1)=a，用加法消去律得a?0=0。

(6)(-a)b+ab=(-a+a)h=0?b=0,故-ab=(-u)b,將上式a,b互換就得

ah=a(-b)。

(7)a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac.

注：此題直接根據(jù)環(huán)上的兩個(gè)運(yùn)算的性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。

m〃nn〃

4+…+%)Z鳥"

J=17=17=1y=i;=i

〃.n

=2哂.+…=2。

j=\j=\/=l；=1

注：此題直接根據(jù)環(huán)上“乘法對加法的分配律"來證明。

(i)加+〃=0,但m,n不為零，不妨設(shè)m為正整數(shù)。4%-"為m個(gè)a及m個(gè)的乘

機(jī)由廣義結(jié)合律知。%一"=1=/=0

(ii)假設(shè)m,n中有零，不妨設(shè)m=0,那么左邊二a""=a"=。％〃=右邊.

(iii)m,n皆為正整數(shù)，那么aE與an/n皆為m+n個(gè)a的枳，由廣義結(jié)合律知它們相等。

mn1

假設(shè)m,n皆為負(fù)整數(shù)，那么am+n與aa皆為-(m+n)個(gè)a的乘積，由廣義結(jié)合律知它們相等。

(iv)m,n中有正有負(fù)，且〃z+〃工0,不妨設(shè)m與m+n為異號(hào)。那么由：iii)

腔+%-”>=小">”'=/,兩邊再乘上卜參看⑴),那么

以上已證明了4"二//及(/'尸=L

再由=丁當(dāng)〃〉(X時(shí))；

(一“)個(gè)(-”)個(gè)(-”)個(gè)

，--八----S/------4------,,-----------A----------、

an,n=a(-rn)(-n)=a-m-m=々一切???1"'=…(々"')T

=(",(當(dāng)〃〈麗)；

又6產(chǎn)°=1=(4。)°.

這就證明了

假設(shè)a,b交換，當(dāng)m=0時(shí),顯示有an'bm=(ab)m.當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),aW”與("戶都是m個(gè)a,m

個(gè)b的乘枳，由廣義結(jié)合律知它們相等，當(dāng)m為負(fù)整數(shù)時(shí)，amb~m=(abYn,即

(廠)7(3"尸=((四尸)，左邊又是(廠產(chǎn)尸故廠方=("戶

注：此題根據(jù)廣義結(jié)合律和群中元素的方累的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證.

6.參照中學(xué)數(shù)學(xué)中對二項(xiàng)定理的證明，根據(jù)環(huán)上的運(yùn)算性質(zhì)及〃力的交換性直接證明.

(修出…七”「)=0處…*_必”<>2…婷=1,故

(卬生…%)?/…七％]

…%,T=1，那么任意，，《(叫…/…?！?)=1,故每個(gè)《有逆元素.

注：直接根據(jù)逆元的定義和廣義結(jié)合律證明.

其中園=即演工0

的〃22

設(shè)另一仿射點(diǎn)變換夕:中冏皿

那么（x,j，y'經(jīng)2e變成

由于忸d=同460,0e仍是仿射點(diǎn)變換.

易證:仿射點(diǎn)變換/：十是恒等變換,它是乘法單位元.

仿射點(diǎn)變換正是8的逆變換.

又變換的乘法自然有結(jié)合律，故平面上全體仿射點(diǎn)變疾對變換的乘法成為一個(gè)群.

注：此類題按照群的定義驗(yàn)證，對逆元和單位元的存在性證明是關(guān)鍵.

（P可寫成矩陣形成

/\

x

H>A+固

yy)4

其中A為2X2正交矩陣，即滿足44『二力7'4=/（單位矩陣）.

正交矩陣的乘積是正交矩陣，正交矩陣的逆也是正交陣。利用這兩個(gè)性質(zhì)。完全類似于習(xí)

題1中的論證，能證明本習(xí)題的結(jié)論.

注：此題證明方法與上題一致,關(guān)鍵是掌握正交矩陣的根本性質(zhì).

/、

x

在仿射點(diǎn)變換夕:

I匕

的變換F

故

由于?卜0e將不同的三點(diǎn)(如必丫變成不同的三點(diǎn)(X，H)T,，=o,i2上面一串等式的

最前端與最后端相等即表示這三點(diǎn)也共線。

注：關(guān)鍵是在*下,驗(yàn)證仔丁個(gè)=『廠”：].

1%一乂JIM-MJ

/9f\

x-X]/一事

2=A

必一切

其中A滿足44『=474=/

于是

（月-X）2+（乂-X）2=（月-XM-X

y'l-X

力一T

=（x2-x^y2-y,）AA

5一%一必，5一%,

七一再

=（工2-XQ2f=(》2-再『+(乃-必)，

為一必，

注：直接驗(yàn)證(X：-X：)2+(兒-y\)2=(七一XJ2+(此一乂)2?

（ahC0

A=,B=淇中a,b,c,d都是復(fù)數(shù),aWO且c#0,那么

<0a

acad+bQ

AB=也和A,B具有相同的形式.

0

1ab-b'

10、a2

顯然，1=是單位元且C=是A的逆矩陣.又矩陣乘法滿足結(jié)合律，故

01

1>0XJ

結(jié)論得證.

注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證，需要說明AB也和A,B具有相同的形式.

1-h

6.只需要證明逆元存在性且滿足結(jié)合律即可.顯然,(上,」)

aa

[(a,b)(c,d)](e,f)=(ac,ad+b)(e,f)=(ace,acH-ad4-b)=(a(ce),a(cf+d)+b)=(a,b)(ce,cf+d)=(a,b)[(c,dKe,f)]

即結(jié)合律成立，故G是一個(gè)群.

注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.

aeG,aha=e=ab,得至U

a-a[ha,)=(ah)(i,=a,

可知。=a'.這樣=a〃=e,即b是a的逆.

8.由題設(shè)，Va/￡6,(。/，)2=4/地方=。2〃.對后一等號(hào)兩邊左乘,尸，右乘方t,就得到

ab=ba.

注：只需要由驗(yàn)證=ba即可.

9、/a,bQG,a2=b2=e,故a"=ab=b,又(ab￥=abab=e,a對后一個(gè)等號(hào)

兩邊左乘a,右乘b,就得ba=ab.

注：關(guān)鍵在于由/二e得到。7對VowG都成立.

10.易驗(yàn)證,G對復(fù)數(shù)的乘法是封閉的且結(jié)合律成立.

Vz=a+b/￡G,有a2+b2=|z|=1,從而VZ]-a-bieG且

(a+bi)(a-bi)=a2+b2=\.

即?是z的逆元.

注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.

(a(V

11.VA=--,B=--cK,由a]不同時(shí)為0且不同時(shí)為0易

\~P_^)Y)

知，ay-p8和+py不同時(shí)為0,故

a-

AC(Yab+By\(ay-B3

(_(/?/+aS)-fid-\-ay)(a^>+0y)

a二P_

顯然，1=(10］是K的單位元且容易驗(yàn)證C="絲皇0是A在K中的逆

。/3、

IUa

Iaa+ppaa+BB)

元.由矩陣乘法滿足結(jié)合律知,K關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成群.

注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.

12.設(shè)G={4,…,g$}.由性質(zhì)(2),VawG,{ag”…ag$}qG,且是s個(gè)不同的元，故

{ag］…〃g$}=G.同樣由性質(zhì)(3)可得，{g?,…g$a}=G。設(shè)其中ogj=a,g,Q=a于是

(gMgi=gM，…，(g〃)g,=gMg/〃gJ=ag|Lg(%)=〃gs。即g是G的右單位元，

gj是G的左單位元，分別記為e及匕則e=e'e=d,即G有單位元c.

類似于上面作法，由{ag［，…ag，}=G,有beG使ab=c,由物必,…g,a}=G,而有Z/eG

使Z/a=e,于是//=Z/e=//mZ))=(b'4)b=eb=b,即VaeG有逆元。又題設(shè)G有結(jié)合律，故

是一個(gè)群。

注:證明的關(guān)鍵在于“由G是非空有限集，得到V。eG,{eg?■-?gv}={&a,…g,a}=G".

由此去證明單位元和逆元的存在性.

此題給出了非空有限集關(guān)于其上定義的乘法作成群的一個(gè)條件：“此乘法滿足左、右消去律

和結(jié)合律?！?/p>

}

VaGG,a工e有a?工e.由(1)知a工a~

取

a}eG\{e},則〃產(chǎn)。丁we若G\{e}除了{(lán)a”a：}外還有元素的,于是由工。丁由于為，。丁

互為逆元素，假設(shè)

生“￡卜”?！?則。2=(%”『」［這不可能，即a2T電,。/}故［,修“，的，的一'}是

四個(gè)不同的元素.設(shè)上面的步驟進(jìn)行"-1步，得到2(k-l)個(gè)元素,,a「1、4T4./}qG\{c}.

同樣論證G\{e}除了上述2(k-1)個(gè)元素外要么沒有元素了，要么同時(shí)有

%及且為haj.可知G\{e}要么等于b,要么有2k個(gè)元素

"間」,…,qa/}qG\{e}.因G\{e}只有有限個(gè)元素，必然在某個(gè)第k步停止，即

G\{e}=we,/=e.

注：主要根據(jù)“群中元和其逆元的階相同，且不同元的逆元不同〃，得到“群中階大于二的

元素個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè)".又”群中有且只有單位元的階是1〃，從而FhG是偶數(shù)階群可得,G中必

有2階元.

G1,Gz為不等于G的子群,但G=G[UG2因G[￥G,取g|GGI.由

G=G,UG2,g,GG2同樣可取

g242,但g2￡G/、g=gi”2若gwG1,因g2wG1,則g[=g?g2T@5矛盾.于是g力[，同

理

g七2,就得到后31162與6=611626,G?使得G=G]UG2.

注：此題的證明主要是基于“對于群G中的扇個(gè)互不包含的子*G|和G2,分別取自G|\G2

和G2\G)中的兩元素的乘積必定不屬于G|UG/這一事實(shí).

Q"=?—:/?,z?GZ,0K(/?;,p)=1，，其中p是素?cái)?shù).

[小

V—,-^eQ,有“+白=M+='.由(m,p)=1且(k,p)=1知,(mk,p)=1,從而"+已wQ

rnkmkmkk

一力

顯然0eQp是單位元且,￡Qp是n2的逆元.故結(jié)論成立.

mni

注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.

16.由于數(shù)的加法都涉足結(jié)合律且QP=：7：/?eZ,iNO上,其中p是素?cái)?shù).

[p

一〃m.天〃mnp1之巴wQP.顯然OwQP是單位元且二:wQp

V—eQp,—+—=—

PPJPPJPP

n

是2的逆元.故結(jié)論成立.

P

注：根據(jù)群的定義直接驗(yàn)證.

「123456丫123456]_(123456]

17"=〔65432112315641T546213)

J123456)(123456]J123456、

-1,2315641621354；-1,432165/

_'123456丫123456]J123456L'=p23456T

卬―621354654321—453126312645

X/XZX/、/

t_1123456丫123456丫1234561/123456、’1234561/23456、

aP(T=123156446543211312645)一1465132,、312645j=1546213.

注：直接根據(jù)6元置換的乘法計(jì)算.

麻“」?、拧?)????〃))1」通)?2”4；

[b(Kl))b(r(2))..”"(〃)?'17；i2in

Tar-1(。⑴彳⑵…Yi2…〃p■⑴"2)…r(叫

514(T⑴上(°(2))…"(7(〃))1b⑴b⑵…(7(〃認(rèn)12…〃J

』M7⑵…()]

注：此題關(guān)鍵在于熱悉n元置換的表示形式.

第二節(jié)對稱性變換與對稱性群，晶體對稱性定律

一、知識(shí)摘要

1.平面上(或空間中)的一個(gè)圖形M在平面上(或空間中)的一個(gè)正交變換卜.變?yōu)镸本身，那么

稱此變換是M的對稱性變換.圖形M的全體對稱性變換在變換乘法下構(gòu)成一個(gè)群，稱為M的對

稱性群.

2.Rxi,X2,...,Xn)是域F上的n元多項(xiàng)式，假設(shè)歐|盟,…網(wǎng))的各文字的腳標(biāo)經(jīng)任意n元置換

oeS”變換后，該多項(xiàng)式完全不變，即

。(/(西,x2,...,xj)=/(X[,

那么稱它是域F上的一個(gè)n元對稱多項(xiàng)式.

3.f(xi,X2,…,Xn)是域F上的n元多項(xiàng)式(未必對稱多項(xiàng)式)，假設(shè)n元置換。eS〃滿足

,馬，…，X”))=/(^i,Z，…，瑞)，

那么稱。是f(X|,X2,…,Xn)的一個(gè)對稱性變換.f(X|,X2,..,Xn)的全體對稱性變換在變換乘法下

構(gòu)成一個(gè)群，稱為f(X|,X2,…,Kn)的對稱性群.

特別，當(dāng)f(X|,X2,...,Xn)是域F上的n元對稱多項(xiàng)式時(shí),f(X|,X2,...,Xn)的對稱性群即是S”.

二、習(xí)題解答

1、(1)令繞0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°,72°,144。，216°,288°的5個(gè)旋轉(zhuǎn)變換為T°,T?T2,

T3,T?令平面對直線/M2J3/4,的反射變換為S1,S2，S3，S4，S「它們都是對稱性變換，對于

此正五邊形的任一個(gè)對稱性變換T,它假設(shè)將頂點(diǎn)兒,變成4,那么7；二；7就將A1變成%.易知

正五邊形的保持Ai不動(dòng)的對稱性變換只有,即=&故T==一或7=7]_0.

故全部對稱性變換為仍_$,心,”1,2,…,5),

最多有10個(gè)元素。而前面己列出憶7,54=1,2,345｝共10個(gè)對稱性變換，故它們必須相

等。

(2)令繞。反時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°,180°的旋轉(zhuǎn)變換為T。，T.,令平面對直線k4的反射為酬，S21

分別變到A”A2,心兒的對稱性變換都只有一個(gè)，即分別為?0,S“ToS2.故它們顯全部的對稱性變

換.

(3)令繞0反時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角0的放置變換為T。，令平面對過中心0的任意直線/的反射為

S’.那么圓的對稱性變換群=｛z；，S:0K。＜360°,/是全部過中心。的直線｝

2.x]x2+X3X4,XjX34-X2X4,X]X4+X2X3.

3.能變出6個(gè)單項(xiàng)式,即為:—七/；石工3/：%；乙,石23注，，后修/次；對它們的和

》“梟3+X：X13+X；X》2再是所要求的項(xiàng)數(shù)最少的多項(xiàng)式.

注：以作為一項(xiàng)的對稱多項(xiàng)式，必定含有用S3去變所得到的所有可能的單項(xiàng)

式.更一般地,以某個(gè)k元單項(xiàng)式m(x)作為一項(xiàng)的對稱多項(xiàng)式，必定含有用Sk去變m(x)所得到的所

有可能的單項(xiàng)式.

其它證明略去(直接按照群的定義驗(yàn)證A3在置換乘法下成為群).

4在置換乘法下成為群.

6.正四面體為ABCD,O為△△BCD變?yōu)樽约?，H限制在平面BCD上是△

H==123},其中「,工,工是空間繞軸A0旋轉(zhuǎn)(按某固定方向)轉(zhuǎn)0°,120。，240”的轉(zhuǎn)

換變換,S是空間對面ABE的鏡面反射.

再任選三個(gè)對稱性變換M.,M2,M31,M2,bh是空間分別對平面CDF,BGD,CBL的鏡面反射，與第1

題⑴中的論證類似,可得正四面體ABCD的對稱性群G={7；工5,加/,河/5,"=1,2,3；.6有

24個(gè)元.

第三節(jié)子群，同構(gòu)，同態(tài)

一、知識(shí)摘要

子群、如果H對G的乘法構(gòu)成群.

(1)群G的非空子集H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)

(i)H對G的乘法封閉,(ii)G的單位元屬于H,(iii)V/?wH,h在G中的逆元屬于H.

(2)群G的非空子集H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)Va,bGH,abieII.

(3)HI,H2,…是群G的子群，那么〃人.是G的子群.設(shè)S是群G的非空子集,G的含S的所有

子群的交(還是G的于群)稱為6的由S生成的于群，記為VSN即是G的含S的最小子群.當(dāng)S={a}

時(shí)，記<S>=<a>.稱<a>為G的由a生成的循環(huán)子群.有結(jié)論:<a>={am:meZ].

(4)假設(shè)有aeG使得G=<a〉.那么稱G為循環(huán)群.

2.群G至ij群Gi的映射°稱為群G到群Gi的同態(tài)，如果eG&(ab)=叭a)(p(b)

(l)Ker")={geG：e(g)=%}稱為同態(tài)夕的核，它是G的子群.

(2)同態(tài)w稱為滿同態(tài)(單同態(tài))如果(p<p稱為同構(gòu)如果夕自同構(gòu).

無限群.僅有有限個(gè)元素的群稱為有限群.此時(shí)G中元素個(gè)數(shù)稱為群G的階，記為|G|.集合M

上的變換群SM的子群都稱為變換群.

4.Cayley定理任何群G都同構(gòu)與G上(作為集合)的一個(gè)變換群.

二、習(xí)題解答

易證U,對數(shù)的乘法和逆運(yùn)算都封閉.

注：事實(shí)上，群的有限非空子集是子群只要運(yùn)算封閉.

2.(1).Vq,6ean〃2，因乩是子群，

故eH/=1,2.于是向te"2?故

apl也是子群。

(2)對a,b來證明ab~'GQ//..?因。力￡乩,凡是子群，

r-lJ-1

008

故e/力=1,2,…，于是ab-xu「|〃廠故〃懸子群。

1=11=1

(3)設(shè)

必有AJ使Q不妨設(shè)于是由/口〃,得4力￡“”又應(yīng)

)=1

是子群，知4.故U/是子群。

i=l1=1

注：H是G的非空子矣，假設(shè)Ya、bwH,有ab-1€〃，那么H是G的子群.

e￡Z(G),故Z(G)HZ(G),有ag=ga且bg=gb,即b"g=gb".故

(ab')g=a(b'g)=a(gb')=(ag)b1=(ga)b1=g(ab)即ab1€Z(G).從而Z(G)是G的子

群.

注：H是G的非空子笑，假設(shè)Wn力e〃，有ab-1e〃，那么H是G的子群.

4.(1).易見e￡CG(S),故

-l-1

CG(S)(/>.\/。,方sCG(S),則\/s￡S,有as=sa且bs=sb,H|Jbs=sb.故

(ab")s=a(b"s)=a(sb")=(as)b"=(sa)b"=s(ab").即ab"eCG(S).從而CG(S)是G的子群.

(2).易見e￡NG⑸，故NG(S).V?,Z>eNG(S),有aS/=S且bSb」二S.先證b」Sb=S.

Vb'sb€b-lSb,5GS=bSZ^,存在skS,使得s=加/，從而b"sb=3s力")b=skS.

故

b'SbcS.VseS,bsb-1GbSb"=S,故5=b-*(bsb-1)bGb-,Sb.故b'Sb3s.所以b'Sb=S.

有

(abT)S(abTp=a(bTSb)a/=aSa」=$即21)7GNG(S).從而NG(S)是G的子群.

注：H是G的非空子笑，假設(shè)Va,6w”,有ab'*w〃，那么H是G的子群.

5.(1).Daha'ah匕屋aHa",這里兒〃eH,由H是子群，〃(.尸eH,從而

aha”(aHa")T=aha/[a(N)/a/]=a[h(h')”]a"eaHa”.故aHa“是子群.

(2).Wr(a)/S)e?，),這里a/eH,由H是子群，出J”eH.又提G的自同構(gòu)，?、攀?「(b").

從而

r((z)r(/?)1=T(a)T(b1)=z[ab])wr(4).故子(H)是子群.

注：H是G的非空子集，假設(shè)Va,6c"，有aPe"，那么H是G的子群.

22

4中的元為a,b,c,e(單位元)，那么有。2=b=c=e.而U4中個(gè)元為1,—假設(shè)V4至IU4

有同構(gòu)r不妨設(shè)r(a)=i.由

a2=e,r((J)=r(e)=1.但！*(a)=j,i2=-1,r(4)r(a)=-1.故工(口2)工r(4)「(4與U4不同構(gòu).

△A|A2A31,A2,A3333的同構(gòu).

注：同構(gòu)映射的建立三關(guān)鍵.

8.Gayley定理斷言,有限群G同構(gòu)于G上的變換群.設(shè)G的階為n,那么G同構(gòu)于Snn的子群

只有限個(gè)，故只有有限個(gè)不同構(gòu)的n階群.

注：這是Gaylcy定理導(dǎo)出的一個(gè)重要結(jié)論.

9.(1).

(cos6?sin。、(cos。sin。、.(COSG?-s:n

VN=LB=*wGL,(0K。,夕＜2萬),則b=+U

k-sin0cos6^J(一singcos刃(sinecos。)

，cos。sinOycose-sine]fcosOcose+sinOsin8sin0cos(p-cos0sin(py

AB

Isin。cos。人sin/cos夕)(sin9cos(p-cos0sin(p)coscos+sin0sin(p

'cos(e-(P)sin(d_0)]_(cos(0-(p)sin(q),其中彳=1。一口若

[sin(e-e)cos(<9-(p))(_sin(6_Q)cos(^-??)J[(0一夕)+2凡地0<(p

.那么0W0—°<2肛即AB"eL,故L是群.

0c0、c

⑵?,B=￡\1,(04。,火＜2萬),貝1區(qū)一1=

9=-\0

"e7、0.0

V「”口<!?????

0c0e0(e”麗0

AB>lo

oe"、0a-i(O-P)J0c

e-％若3N(p

其中0-夕="那么0We-e<2],即AB-IeM,故M是群.

(。一°)+2/若e<(p

,cos。sin。)('e0

(3).定義L到M的映射/:Q

、一sin0cos<9J“i0e”

'cos。sin。cos(psin(p])/.(cos(e+e)sin(9+0))Je"0

f("(。+0

、一sin。cos〃-sincos/、一sin(〃十夕)cos(0+e)J[0c7

出0Ye，P0/cns^sin6'(cnsi/)sin中

0e“0e^)=f\-sin0),/().故L同構(gòu)與M.

cos6^；(一sin9cos°

注：H是G的非空子集，假設(shè)Va,〃e〃，有ab"'w〃：那么H是G的子群.

10.顯然，/':x1—是G到自身的雙射.設(shè)G是交換群，那么Vx,y￡G,

/(?)=/(yx)=(yx尸=x"y?=/(x)/(y),故f是G的自同構(gòu).

反之，設(shè)f是G的自同構(gòu)，那么Ta,b￡G,存在m,n￡G,使得a=f(m),b二f(n).

ab=f(m)f(n)=f(mn)=(mn)'1=n"m"=f(n)f(m)=ba.故G是交換群.

注：根據(jù)群的自同構(gòu)與交換群的概念直接證明.

11.Vx,yeR,x=2%TT+=2h兀+(p、0<9,(p<2限令

0+°,若0<0+(p<2TT

。+9=?那么

(。+9)-2不，若。+夕22》

2(k+h)7r+(0+(p),若0?。+9<2"

x+y='故

2(攵+〃+1)乃+(。+°),若6+(pN2兀

cos。sin。cos夕sin夕cos(e+e)sin(6+8)、

(PW(p(y)=

-sin0cos<9A-sin(pcos。一sin(9+e)cos(e+8)/

'c°s0t@而("彳=刎工+用.從而*是加群R到群L的同態(tài).

「sin(e+e)cos(，+e)J

注：根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)公式直接驗(yàn)證.

12.%，再…％w"U或cS,則(%……a)"=八…4，“七二；…匯L

其中4或不，

匯域(婷)?=玉都屬于S,故(/]…4氏…X/尸￡〃，即〃是子群.

又設(shè)Hi是G的包含S的子群，那么必含所有形為

4…4的元素，其中4或rWS,故〃]因而

H是包含SH=<S>.

注：H=<Sx=>〃4G且X7H|KG,SqHI=HqH].

13.設(shè)H是加法群Z的子群，假設(shè)“HO?Z，那么H中有非零整數(shù)t.假設(shè)tVO,那么

-/￡〃「|2+，〃7€〃，作帶余式除法：〃7=監(jiān)+廠，其中，?=()或0</Y〃.又由于

r=m-nqeH,若r/。則與〃的最小性r=0,〃7="%即，c〃Z.又因?yàn)?/p>

/個(gè)-/個(gè)

，——人-、，——人一-、

〃￡V/￡Z,In=〃+…+〃或In=(-〃)+…+(-〃)GHz即有nZc，.因此H=nZ.

注：整數(shù)加法群Z的任一子群H都有〃=nZ，其中假設(shè)H={0},那么n=0,其它情況時(shí)n為

H中最小正整數(shù).

心已「力心層1恰%wz1取回,…,p，的最小公倍數(shù)為m,那么

m

幺二1,令為政再令(儲(chǔ)，…,。,)=〃，則g=&二令為則?月,.?4)=1

Pimminm\nJm

.取

尢,…cZ,使%也+…+左4=1.于是

?&=?二「上工W=LH,且任意工1冬€乩工件=21席=與工出

>=1Pir=i〃？〃？r=im1=1Pi,=1p,,-=1mniZ=1

n

這就證明了〃=是循環(huán)加法群.

m

注：證明一個(gè)子群是循環(huán)子群，通常是先去找該子群的一個(gè)特殊元(如這里的42的構(gòu)

mm

造往往是此類題證明的關(guān)鋌，也是難點(diǎn).

-1

1-11111-1

2,，即不是整數(shù)矩陣.

1111A-1UU1

故全體2X2整數(shù)元素的可逆矩陣不成為群.

11、11、2-1

取正實(shí)數(shù)矩陣腳正實(shí)數(shù)可逆矩陣的逆矩陣不是正實(shí)數(shù)矩

12)12)71J

陣.

故全體2X2正實(shí)數(shù)可逆矩陣不成為群.

16.

顯然，恒等變換1e4〃(G).V,〃eAut(G),\/x9yeG,存在加GG,使得X=〃(m),y=〃(n).

從而

(勿)(xy)=比水xy)]=況，7(x)限y)]=J勿(x)g[〃(y)]=(々7)(x)()〃)(y).故(切)eAut(G).

晨(xy)=77-1[77(m)77(n)]=77,[Z/(mn)]=mn=加々[〃(n)]=[71(x)]^-1(y)].故

f]1wAut(G)從而Aut(G)是群.

注：證明逆運(yùn)算封閉是關(guān)鍵.

第四節(jié)群在集合上的作用，定義與例子

一、知識(shí)摘要

作用群作用.對g￡G,Wmw記7(g)"?=g。m.群G在集合M上的一個(gè)群作用確定了一

個(gè)映射。：GxA/f",(g,⑼1g。in.

2.Gx/到M的映射。：(g,加)ig。加能確定群G在集合M上的一個(gè)群作用當(dāng)且僅當(dāng)

對Vg1,g2，￡G,VmwM,有e。m=m且g2。(g1。m)=(g2g))om,(這里e是G的單位元).

二、習(xí)題解答

。：GL(V)xMT%(/,%)1/。卬=/(%)由高等代數(shù)知識(shí)知，。是映射.GL(V)的

單位元是V上的恒等變換\.XfWsM,IoM=/(")=M.Vf,gGGL(V)yW￡M.由f,g是

變換，有

’(左)。W=(左)”)={(詹)(a):aw%}={/[g(a)]:aw%}=f[g(W)]=/。(g。W).

從而，“?！睕Q定了GL(V)在U上的群作用。

2.(i)KX11的單位元是(e,e),其中e是G的，也是K和H的單位

元：Vg￡G,(e,e)og=egeT=g.

(2)Pk\,k?wK,h、，heH,(片，九)(&,h2)eKxHXgeG,

(占，九)。(伏2，力2)。g)=(占，4)。G2g短)=k\k2gh；h:'=("2k(他2尸=(堆2，袖2)。g二(化，力?；?，〃2))°

由命題1,上面映射“?！睕Q定了KXH在G上的群作用。

3.定義GX明到此的映射.<7：(24)10。4=力(4)；

GX也至I]卜上的映射.r：S，A/,Ak)i力。AjA/Ak=(p\Al)(p(AJ)(p(Ak);

GX曲到此的映射.0:(伊，44)44=。(4)夕(4),

易證cr,r,p分別決定了G在M1,此，立上的一個(gè)群作用.

。。力=定義了GXM到M的映射.

VFwG,尸是正交矩陣,故尸」=?"對VNJW,是〃x〃實(shí)對稱陣，有尸。力

PAP-'=PAP'

是“X〃實(shí)對稱陣，AiPo確定了GxM到M的映射.易證這映射決定G在M上的

一個(gè)群作用.

AeG=GL3S),V/V)是Ehx,y,z的多項(xiàng)式，/。/=力尸=(x'沖x',y',z'

都是x,y,z的一次多項(xiàng)式，假設(shè)設(shè)為

x'=anx+any+aX3z

f

y=al2x-￥a22y+a23z

z^a^x+a^y+a^z,

其中

f

%GF^Af(Ar)=f(x\y\z)=f(aux+a]2y+a13z,a21x+a22y+a23z,a3Xx+a32y+a33z)

仍是F上x,y,z的多項(xiàng)，故

(47)1Aof=f(Ar)

建立了GXMTM的一個(gè)映射，易證它決定G在M上的一個(gè)群作用.

6.記G的單位元是c,也是K,H的單位元。

\/tHGM.eotH=etH=tH.Tk,seKytHwM.有

(ks)otH=kstH={ksth:heH}={k[s(th)]:heH}=k[s(tH)]=k°(s°tH).

從而。決定了G在M上的一個(gè)群作用.

注：以上各題直接根據(jù)群作用的概念證明.

第五節(jié)群作用的軌道與不變量，集合上的等價(jià)關(guān)系

一、知識(shí)摘要

1、群G作用于集合M上，對x￡M,稱。={gox:geG}為x在G作用下的軌道，或過x

的軌道.

M為所有不同軌道的無交并.

2、設(shè)映射。：能決定一個(gè)群作用.假設(shè)M上取值于另一集合(域、或復(fù)數(shù)域、

或這些域上多項(xiàng)式的集合)的某個(gè)函數(shù)F滿足：VxeM.geg,F(x)=F(gox),那么稱F是該

群作用下的一個(gè)不變量.(即不變量在任一條軌道上都取常值).

I,F2,…，F(xiàn)k稱為M在G作用下的不變量的一個(gè)完全組，如果

w和y同一軌道上<=>月(x)=F\y)J=1,2,...,人.

二、習(xí)題解答

1，那么把W的基變成Wi的基，故同一軌道上的子空間具有相同的維數(shù)，又設(shè)V的兩個(gè)

子空間W和它們有同樣維數(shù)k>0,分別取W和Wi的基為與,…可分別補(bǔ)充成

名…J…%;<…其.…勺，使它們都是V的基.由線性代數(shù)知道必有V上可逆線性變換A,使

4彳=￡：/=L2,…，丸A就將子空間W變成子空間W1.故W與W|在同一-條軌道上

故對％=0,1,2,…,%V中全體k維子空間的集合Vk構(gòu)成群作用的一條軌道.共有n+1條軌道.

子空間的維數(shù)是不變量，并構(gòu)成不變量的完全組.

2