2023高考數(shù)列專題-數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

高考數(shù)列專題——數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)一、數(shù)列的單調(diào)性解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法(1)作差比較法：根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；(2)作商比較法：根據(jù)eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)函數(shù)法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)圖象直觀判斷．例1(2022·滕州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為()A．[1，＋∞) B．(－3，＋∞)C．[－2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞))例2若數(shù)列{an}滿足an＝－2n2＋kn－1，且{an}是遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為跟蹤練習(xí)1、已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(n,3n＋1)，那么這個數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．?dāng)[動數(shù)列 D．常數(shù)列2、請寫出一個符合下列要求的數(shù)列{an}的通項公式：①{an}為無窮數(shù)列；②{an}為單調(diào)遞增數(shù)列；③0<an<2．這個數(shù)列的通項公式可以是________．3、(2022·綿陽模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求實數(shù)λ的最小值．二、數(shù)列的周期性解決數(shù)列周期性問題的方法根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項的值或者前n項的和．例3、若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，則該數(shù)列的前2023項的乘積是()A．2 B．－6C．3 D．1例4(2021·福建福清校際聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知Sn為數(shù)列{an}前n項和，若a1＝eq\f(1,2)，且an＋1＝eq\f(2,2－an)(n∈N*)，則6S100＝()A．425 B．428C．436 D．437跟蹤練習(xí)1、(2022·福州模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，則a2023＝()A．－1 B．eq\f(1,2)C．1 D．2數(shù)列的最大(小)項求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法(1)將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項；(2)通過通項公式an研究數(shù)列的單調(diào)性，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項；(3)比較法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0時，\f(an＋1,an)>1))，則an＋1＞an，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項為a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an>0時，\f(an＋1,an)<1))，則an＋1＜an，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項為a1＝f(1)．例5(2022·金陵質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝28，eq\f(an＋1－an,n)＝2，則eq\f(an,n)的最小值為()A．eq\f(29,3) B．4eq\r(7)－1C．eq\f(48,5) D．eq\f(27,4)例6已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，則數(shù)列{an}中的最大項是第項．跟蹤練習(xí)1、已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(n－2,2n－11)，前n項和為Sn，則當(dāng)Sn取得最小值時n的值為________．2、已知遞增數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0．對于任意的正整數(shù)n，不等式t2－aeq\o\al(2,n)－3t－3an≤0恒成立，則正數(shù)t的最大值為()A．1 B．2C．3 D．63、(2022·重慶模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且滿足S2018>0，S2019<0，對任意正整數(shù)n，都有|an|≥|ak|，則k的值為()A．1008 B．1009C．1010 D．10114、(多選)已知數(shù)列{an}滿足an＝n·kn(n∈N*,0<k<1)，下列命題正確的有()A．當(dāng)k＝eq\f(1,2)時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列B．當(dāng)k＝eq\f(4,5)時，數(shù)列{an}一定有最大項C．當(dāng)0<k<eq\f(1,2)時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列D．當(dāng)eq\f(k,1－k)為正整數(shù)時，數(shù)列{an}必有兩項相等的最大項5、已知數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(63,2n)，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak對n∈N*恒成立，則正整數(shù)k的值為________．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合問題例7（2022·珠海模擬)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a4)＝f(a18)，則{an}的前21項之和為()A．0 B．eq\f(25,2)C．21 D．42跟蹤練習(xí)1、(2022·青島模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a5，a6是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x2＋8x＋1的極值點，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝()A．3＋log25 B．8C．10 D．152、已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列．(1)求出數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc