湖北省華大新高考聯盟2025屆高三11月期中教學質量測評數學試題【含答案解析】

華大新高考聯盟2025屆高三11月教學質量測評數學命題：華中師范大學考試研究院本試題卷共4頁，共19題.滿分150分，考試用時120分鐘注意事項：1.答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、準考證號填寫在答題卷指定位置，認真核對與準考證號條形碼上的信息是否一致，并將準考證號條形碼粘貼在答題卷上的指定位置.2.選擇題的作答：選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答在試題卷上無效.3.非選擇題的作答：用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卷上的每題所對應的答題區(qū)域內.答在試題卷上或答題卷指定區(qū)域外無效.4.考試結束，監(jiān)考人員將答題卷收回，考生自己保管好試題卷，評講時帶來.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則真子集個數為（）A.1 B.3 C.7 D.15【答案】B【解析】【分析】解集合A中的不等式，求出，由元素個數判斷的真子集個數.【詳解】集合，，故，則有3個真子集.故選：B.2.已知（其中為虛數單位）是關于的方程的一個根，則在復平面內，所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】方法一：代入，得到方程組，求出，得到，求出所在象限；方法二：求出的解，從而得到，求出，得到，求出所在象限.【詳解】方法一：依題意，，故，解得，則在復平面內對應的點為，位于第一象限；方法二：易知方程的解為，則，即，解得，則在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A.3.已知向量，，若，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據向量垂直得到等式求得的值，利用模的坐標公式即可求得結果.【詳解】依題意，，因為，所以，解得，故.故選：D.4.小明新買的儲蓄罐有5位密碼，他決定在“斐波那契數列”的前6項中隨機抽取5個數字設置為儲蓄罐的密碼，且密碼的第3位是偶數，已知“斐波那契數列”的前6項依次為“1、1、2、3、5、8”，則可以設置的不同密碼個數為（）A.144 B.120 C.84 D.116【答案】B【解析】【分析】分選取的數字只有一個1和有兩個1兩種情況討論，即可得解.【詳解】若選的數字只有一個1，此時有兩個偶數，則不同的排列方法有種；若選的數字有兩個1，則不同的排列方法有種.故共有種不同的設置方法.故選：B.5.已知拋物線：的焦點到準線的距離為2，第一象限的點在拋物線上，過點作的垂線，垂足為點，若，且點在直線上，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線：中的幾何意義知，得到焦點，設，由題意得點、坐標，再根據點在直線上，由斜率公式求出，得到直線的斜率，進而得傾斜角.【詳解】依題意，得，∴F0,1，設，則，∵，故，則，解得，∴，故直線的傾斜角為.故選：C.6.已知在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值可能為（）A. B.1 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】由三角形面積公式建立等式，解得，由正弦定理得出表達式，由角取值范圍得出取值范圍即可得到可能的取值.【詳解】依題意，得，故，則，因為為銳角，所以.依題意，，而故，故，則，故選：B.7.若函數，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知在上單調遞減且的圖象關于中心對稱，所以為奇函數且單調遞減，由此可將轉化為，再由的單調性得到，解不等式即可得出答案.【詳解】依題意，，易知在上單調遞減，且，故的圖象關于中心對稱，則為奇函數且單調遞減，故，故選：A.8.已知正方體的表面積與體積之比為6，若，，則四面體的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出，過點作，過點作，，且與交于點，設，，則，由表示出四面體的體積，即可得出答案.【詳解】依題意，，解得.如圖所示，過點作，過點作，，且與交于點，設，，則，，因為，在四邊形中，，又因為，所以，而在中，，在中，，因為，所以，所以，，，故，當且僅當時，取到最大值，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是設，，由先表示出，再求出，進而可得四面體的體積，即可得出答案.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列四棱錐的所有棱長都相等，，，，，是四棱錐的頂點或所在棱的中點，則直線不與平面垂直的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由線面垂直的判定，結合向量說明線線的不垂直，逐個判斷即可.【詳解】由條件可知四棱錐為正四棱錐，對于A：設的交點為，由正四棱錐的結構特征可知：面，易知：，又，為平面內兩條相交直線，所以直線與平面垂直；對于B：取的中點為，連接，有中位線性質可知：，，所以四邊形平行四邊形，所以，可證直線平行平面；對于C：設棱長為2，，所以，所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；對于D：設棱長為2，，，所以所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；故選：BCD.10.已知函數的圖象與直線連續(xù)的三個公共點從左到右依次記為，，，若，則（）A.的最小正周期為B.C.將函數的圖象向右平移個單位后，得到函數的圖象，則在上的值域為D.若函數，則在上有6個零點【答案】ACD【解析】【分析】根據周期公式可求得A，設出點的坐標，根據距離之間的關系可得到結果，即可判斷B，根據變換后的解析式可判斷C，根據圖象可判斷D選項.【詳解】對于A，依題意，，故A正確；對于B，，故，，記，則，故，則①，而②，聯立①②可得，故B錯誤；對于C，，故當時，，，故，C正確；對于D，，在直角坐標系中分別作出，的圖象如圖所示，，觀察可知，它們在上有6個交點，即在上有6個零點，故D正確；故選：ACD.11.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，直線：與橢圓交于，兩點，則（）A.若，則B.若過右焦點，且，，則橢圓的離心率為C.若過右焦點.且，，則橢圓的離心率為D.若，，且橢圓上存在一點，使得，則【答案】ACD【解析】【分析】根據之間的關系可判斷A，根據橢圓的定義以及離心力可判斷B，根據橢圓的定義以及余弦定理可得到C，聯立橢圓與直線方程得到關系式，可求得D【詳解】對于A，若，則，故，故A正確；對于B，設，則，，，在中，，解得，在中，，則，故B錯誤；對于C，設，則，又因為，所以，由橢圓的定義知，得.又，即點為短軸端點，故在中，，在中，，解得，故C正確；對于D，設，，則，則，因為點，，均在橢圓上，故，，，因為，故，故，聯立故，顯然，，，故，解得，故正確；故選：ACD.【點睛】本題考查了橢圓的定義及性質，關鍵點有：（1）橢圓上一點到兩焦點的距離和為定值；（2）在橢圓中，；（3）離心率三、填空題：本題共3小題，每小題5分、共15分.12.定義：已知平面向量，表示夾角為的兩個單位向量，為平面上的一個定點，為平面上任意一點，當時，定義為點的斜坐標.設點的斜坐標為，則______.【答案】【解析】【分析】由斜坐標的定義，，利用向量數量積的運算，求.【詳解】平面向量，表示夾角為的兩個單位向量，則有，依題意，，則.故答案為：.13.將一組嵌套模型一一拆分之后所得的圖形如下所示，若圖中每個小正方體的外接球的表面積為，則以此類推，第10個圖形的體積為______.【答案】2648【解析】【分析】根據正方體的體對角線為正方體外接球的直徑及題目條件可求得正方體的棱長，分析規(guī)律可得第10個圖形中小正方體的個數，以此可得結果.【詳解】設小正方體的棱長為，則正方體的體對角線長為，正方體的外接球半徑為，由題意得，，解得，小正方體的體積為.結合圖形可得第10個圖形中小正方體的個數為，故第10個圖形的體積為.故答案為：.14.某站臺經過統(tǒng)計發(fā)現，一號列車準點到站的概率為，二號列車準點到站的概率為，一號列車準點到站或者二號列車不準點到站的概率為，記“一號列車準點到站且二號列車不準點到站”為事件，“一號列車不準點到站且二號列車準點到站”為事件，則______.【答案】【解析】【分析】設出事件，記“一號列車準點到站”為事件，“二號列車準點到站”為事件，根據事件的關系和運算法則得到，，相加得到答案.【詳解】記“一號列車準點到站”為事件，“二號列車準點到站”為事件，則，，，由，故，則，則，故，而，即，故，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，且，在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程；（2）已知不與軸垂直且過的直線與雙曲線交于，兩點，若，，且，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意求出即可得解；（2）設直線的方程為，，，聯立方程，利用韋達定理求出，，利用弦長公式求出，求出直線的方程，進而可求出點的坐標，再根據兩點間的距離公式求出，即可得證.【小問1詳解】依題意，解得，故雙曲線的方程為；【小問2詳解】依題意，得，設直線的方程為，，，聯立整理得，因此當時，，，，則，即，故直線：，令，得，則，故，故.16.某公司有意在小明、小紅、小強、小真這人中隨機選取人參加面試.面試分為初試和復試且采用積分制，其中小明和小紅通過初試的概率均為，小強和小真通過初試的概率均為，小明和小紅通過復試的概率均為，小強和小真通過復試的概率均為，通過初試考核記分，通過復試考核記分，本次面試滿分為10分，且初試未通過者不能參加復試.（1）若從這人中隨機選取人參加面試，求這兩人本次面試得分之和不低于分的概率；（2）若小明和小紅兩人一起參加本次公司的面試，記他們本次面試的得分之和為，求的分布列以及數學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）選出人的情況分三種：①小明、小紅參加面試；②小明、小紅或小強、小真各一人參加面試；③小強、小真參加面試.計算每種情況下的概率相加即可得到結果.（2）分析的取值，分別計算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到結果.【小問1詳解】記選出小明、小紅參加面試為事件，選出小明、小紅或小強、小真各一人參加面試為事件，選出小強、小真參加面試為事件，這兩人本次面試的得分之和不低于分為事件，則，，，【小問2詳解】的可能取值為，故，，，，，.故的分布列為：0610121620則.17.已知圓柱如圖所示，其中正方形為軸截面，點，為圓上異于，且同側的點，且，點為線段的中點.（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面夾角正切值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結合題意，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理即可證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，則，求出平面的法向量，為平面的一個法向量，根據題意求出二面角的余弦值，由二面角的余弦值公式即可求解.【小問1詳解】因為，故，而平面，平面，故平面.取線段的中點，連接，，則，，故，故四邊形為平行四邊形，則.而平面，平面，故平面.而，平面，平面，故平面平面.【小問2詳解】如圖，連接，因為是圓的直徑，所以，過點作圓柱的母線，則平面，所以，，互相垂直，以為原點，，，的方向分別為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，，，則，則，，，所以，.設m=x,y,z為平面所以，令，解得，所以為平面的一個法向量.易知為平面的一個法向量.因為平面與平面夾角的正切值為，故夾角的余弦值為，所以，化簡得，而，解得（舍去），則.18.已知函數，的導函數為，且.（1）討論的單調性；（2）若為的極大值點，求實數的取值范圍；（3）若為銳角，比較和的大小關系，并說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）（3），理由見解析【解析】【分析】（1）先求導，令導函數為零，根據導函數正負判斷原函數的單調性；（2）根據（1）中的單調區(qū)間判斷極值，即可得到取值范圍；（3）先根據同角三角函數的關系化簡，構造函數，利用導函數判斷大小關系.【小問1詳解】依題意，有，當時，，在上單調遞增；當時，令，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】依題意，，當時，易知，由（1）可知，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，所以是函數的極小值點，不符合題意，舍去；當時，，且，由（1）可知，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；所以是函數的極小值點，不符合題意；當時，，，，在上單調遞增，故無極值點，不符合題意；當時，，且；當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，所以，是極大值點，符合題意.綜上所述，實數的取值范圍為；【小問3詳解】結論：.要證，即證，即證，即證，，因為，，即證當時，.即證當時，.令，由（2）可知，當時，，故，則，令，則，所以在上單調遞增，故，即，兩式相加可得，，即.【點睛】本題考查了導數及其應用、依據導函數分類討論單調區(qū)間，函數的極值與最值：（1）函數求導；（2）令導函數為0，求出極值，判斷單調區(qū)間，根據單調區(qū)間求出最值；（3）構造新的函數證明不等式.19.已知有序數組，，分別為：，：，：，若它們之間滿足：①；②；則稱為的雙覆蓋數組.為的單覆蓋數組.（1）有序數組，分別為：8，5，4，，：，，，2，若為的雙覆蓋數組，求，，，的值.（2）已知為的單覆蓋數組，其中又可記為.（i）判斷滿足條件的的個數為奇數個