2024-2025學(xué)年山東省聊城市濟(jì)寧市鄒城市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省聊城市濟(jì)寧市鄒城市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考場(chǎng)?座號(hào)?姓名?班級(jí)填（涂）寫(xiě)在答題卡上，將條形碼粘貼在“貼條形碼區(qū)”.2.作進(jìn)擇題時(shí)，進(jìn)出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號(hào).3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.否則，該答題無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔；書(shū)寫(xiě)力求字體工整?符號(hào)規(guī)范?筆跡清楚.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是（）A.2 B.3 C.4 D.92.若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率是（）A. B. C. D.3.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.4.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A. B.4 C. D.25.已知空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A. B. C. D.6.過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則（）A. B. C.或 D.27.在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.8.若過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則的最小值是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)直線的交點(diǎn)為，則（）A.恒過(guò)定點(diǎn)B.C.的最大值為D.點(diǎn)到直線距離的最大值為510.直線的方程為，則直線的傾斜角的可能取值？（）A. B. C. D.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，其中，則（）A.存在唯一點(diǎn)，使得平面B.存在唯一點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最小值為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最小值為三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.若實(shí)數(shù)滿足方程，則的最小值為_(kāi)__.13.曲線圍成的圖形的面積是___________.14.已知正四棱柱為對(duì)角線中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)，為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，長(zhǎng)方體中，，設(shè).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角余弦值.16.已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程．17.已知直線經(jīng)過(guò)直線交點(diǎn)，且A3,2?兩點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求直線的一般式方程；（2）若點(diǎn)在直線的同側(cè)，且為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.18.如圖，在矩形中，，沿將折起，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，使點(diǎn)在平面的射影落在邊上.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為圓的動(dòng)弦，且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，記分別為弦的斜率.（i）若，求面積的最大值；（ii）若，請(qǐng)判斷動(dòng)弦是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.2024-2025學(xué)年山東省聊城市濟(jì)寧市鄒城市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考場(chǎng)?座號(hào)?姓名?班級(jí)填（涂）寫(xiě)在答題卡上，將條形碼粘貼在“貼條形碼區(qū)”.2.作進(jìn)擇題時(shí)，進(jìn)出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號(hào).3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.否則，該答題無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔；書(shū)寫(xiě)力求字體工整?符號(hào)規(guī)范?筆跡清楚.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是（）A.2 B.3 C.4 D.9【正確答案】B【分析】由距離公式計(jì)算．【詳解】由題意，故選：B．2.若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)斜率公式計(jì)算．【詳解】由題意，故選：D．3.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)共面向量定理判斷．【詳解】A選項(xiàng)，，共面；B選項(xiàng)，，共面；C選項(xiàng)，若存在，使得，則共面，與已知矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)，不共面．D選項(xiàng)，，共面．故選：C．4已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A. B.4 C. D.2【正確答案】A【分析】利用幾何法即可求得弦的長(zhǎng).【詳解】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，則弦的長(zhǎng)故選：A5.已知空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】首先表示出，，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，則，，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：D6.過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則（）A. B. C.或 D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由直線斜率的計(jì)算公式代入計(jì)算，然后檢驗(yàn)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，兩點(diǎn)重合，故舍去.所以.故選：A7.在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】連接，取中點(diǎn)，連接，證明是與所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)，解三角形可得．【詳解】連接，取中點(diǎn)，連接，則，，所以是與所成的角或其補(bǔ)角，正棱柱中所有側(cè)棱都與底面上的任意直線垂直，設(shè)，則，所以，，等邊三角形中，，，，在等腰中，，,中，,所以與所成角的余弦值是，故選：B．8.若過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用圓的幾何性質(zhì)，將化為，再求得兩點(diǎn)間距離的最小值，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】圓的圓心，半徑四邊形中，，則，整理得，又，PC最小值即為圓心到直線的距離，則故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)直線的交點(diǎn)為，則（）A.恒過(guò)定點(diǎn)B.C.的最大值為D.點(diǎn)到直線的距離的最大值為5【正確答案】ABD【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)即可判斷A，由兩直線垂直列出方程即可判斷B，聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入計(jì)算即可判斷C，結(jié)合題意可知點(diǎn)到直線的距離的最大值即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，即，令，解得，所以恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€滿足，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，則，令，則，所以，且上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由A可知，直線恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，即，故D正確；故選：ABD10.直線的方程為，則直線的傾斜角的可能取值？（）A. B. C. D.【正確答案】ABC【分析】按分類討論，求得直線的傾斜角的取值范圍，進(jìn)而求得直線的傾斜角的可能取值.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，直線的方程可化為，則直線的斜率，則或，則直線的傾斜角的取值范圍為，綜上，直線傾斜角的取值范圍為.故直線的傾斜角可能取值為，，.故選：ABC11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，其中，則（）A.存在唯一點(diǎn)，使得平面B.存在唯一點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面距離的最小值為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最小值為【正確答案】AC【分析】以為原點(diǎn)，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，由平面，利用向量法可得，從而得唯一確定，即可判斷A；由平面，可得，從而得不唯一，即可判斷B；找出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合由等體積法判斷C，D.【詳解】解：以為原點(diǎn)，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：則對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，所以，又因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，所以，唯一確定，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，要使平面，則，所以，所以，故點(diǎn)不唯一，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，所以，設(shè)到的距離為，則，當(dāng)與重合時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上，設(shè)到的距離為因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)位于圓弧中點(diǎn)時(shí)，.所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.方法點(diǎn)睛：利用空間向量解決空間角度、距離及位置關(guān)系是常用方法.三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.若實(shí)數(shù)滿足方程，則的最小值為_(kāi)__.【正確答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】由實(shí)數(shù)滿足方程，可得，則，則的最小值為.故13.曲線圍成的圖形的面積是___________.【正確答案】##【分析】曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對(duì)稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對(duì)稱，因此只需求出第一象限的面積即可，當(dāng)，時(shí)，曲線方程為，表示的圖形占整個(gè)圖形的，而表示的圖形為一個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和半徑為的一個(gè)半圓，∴，故圍成的圖形的面積為.故答案為.14.已知正四棱柱為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)，為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得．【詳解】為的中點(diǎn)，即為正四棱柱的中心，由對(duì)稱性，為的中點(diǎn)，則，，，，所以，所以，故．四?解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，長(zhǎng)方體中，，設(shè).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求兩個(gè)平面所成角的余弦.【小問(wèn)1詳解】連接，設(shè)，連接，如圖：則，且，所以四邊形是平行四邊形，所以平面平面故平面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，?設(shè)平面的法向量n=x,y,z則，即令，解得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即令，解得，.設(shè)平面與平面的夾角為，故平面與平面夾角余弦值為.16.已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)C在AB邊上的中線CM上和直線AC與高線BH垂直求解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)B在BH上和AB的中點(diǎn)M在直線CM上求解；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．17.已知直線經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn)，且A3,2?兩點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求直線的一般式方程；（2）若點(diǎn)在直線的同側(cè)，且為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）分類討論所求直線與直線平行或過(guò)的中點(diǎn)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合幾何性質(zhì)可得，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，解得，所以交點(diǎn)①當(dāng)所求直線與直線平行時(shí)，直線的斜率為，則所求直線的方程為，即；②當(dāng)所求直線過(guò)的中點(diǎn)時(shí)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，則所求直線垂直于軸，故所求直線方程為，即；綜上所述，所求直線方程為或.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線的同側(cè)，所以直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)取到，故的最小值為.18.如圖，在矩形中，，沿將折起，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使點(diǎn)在平面的射影落在邊上.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，即可證明；（2）根據(jù)題意，作，垂足為，由線面垂直的判定定理可得平面，即可得到點(diǎn)到面的距離；（3）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由點(diǎn)在平面的射影落在邊上可得：平面，又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，故.【小問(wèn)2詳解】作，垂足為，由已知得：且平面平面，從而平面，且平面，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，即即為點(diǎn)到平面的距離