第05講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（15種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第05講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（15種題型）題型一：利用導(dǎo)數(shù)證明或求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）1．（2023春·甘肅天水·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的值.3．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，，是邊上一點，．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍.6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，若函數(shù)在上存在小于1的極小值，求實數(shù)a的取值范圍．7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，(1)若a＝1，b＝2，試分析和的單調(diào)性與極值；(2)當(dāng)a＝b＝1時，、的零點分別為，；，，從下面兩個條件中任選一個證明．（若全選則按照第一個給分）求證：①；②.8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，求證：．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論函數(shù)的零點個數(shù).10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；(3)若關(guān)于x的方程有兩個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．11．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若，試判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若恒成立．①求的取值范圍：②設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)．求．（參考數(shù)據(jù)：）12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)定義：為函數(shù)在區(qū)間上的立方變化率.已知函數(shù)，(1)若存在區(qū)間，使得的值域為，且函數(shù)在區(qū)間上的立方變化率為大于0，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意區(qū)間的立方變化率均大于的立方變化率，求實數(shù)的取值范圍.題型二：分類討論法證明或求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參）1．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點處的切線與直線垂直．(1)求a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對成立，求b的取值范圍．2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若，求的最小值；(2)若有且只有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.7．（2023春·廣東珠海·高三珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.8．（2023春·河南·高三洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若存在極小值，求的極小值的最大值．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求證：當(dāng)時，對，恒有．題型三：已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍1．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，其中．(1)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)若不等式對恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.3．（2023·河南信陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若，求的值．4．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且．(1)若，且在R上單調(diào)遞增，求的取值范圍(2)若圖像上存在兩條互相垂直的切線，求的最大值5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的極值；(2)若函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.6．（2022·天津·二模）已知為的導(dǎo)函數(shù).(1)求在的切線方程；(2)討論在定義域內(nèi)的極值；(3)若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的值；(2)當(dāng)時，①證明：函數(shù)有兩個極值點，，且隨著的增大而增大；②證明：．題型四：構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小一、解答題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若關(guān)于x的不等式在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2．（2022春·天津西青·高三?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)，函數(shù).(1)（i）若函數(shù)在上恰有一個零點，求實數(shù)的值；（ⅱ）當(dāng)時，證明：對任意的，恒有.(2)當(dāng)時，方程有兩個不同的實數(shù)根，證明：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線方程為，求a的值；(2)若恒成立，求a的取值范圍5．（2022春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求證：時，；(2)設(shè)的解為（，2，…），.①當(dāng)時，求的取值范圍；②判斷是否存在，使得成立，并說明理由.6．（2022·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的零點個數(shù)；(2)比較，，的大小，并說明理由.題型五：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在與時，都取得極值．(1)求，的值；(2)若，求的單調(diào)增區(qū)間和極值．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)設(shè)，若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．5．（2022·河北衡水·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若曲線有，兩個零點.（i）求的取值范圍；（ii）證明：存在一組，（），使得的定義域和值域均為.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對于不相等的正實數(shù)a，b，有成立，我們稱其為對數(shù)平均不等式．現(xiàn)有函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，．①證明：；②證明：．題型六:利用函數(shù)的極值求參數(shù)值1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在，上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．(2)若的最大值為6，求實數(shù)的值．2．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在處有極值.（1）求實數(shù)、的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求極值.3．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求的取值范圍；(2)記兩個極值點為，，且，當(dāng)時，求證：不等式恒成立.5．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)（）．(1)若a=1，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在兩個極小值點，，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)時，設(shè)，求證：．6．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)且.（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點，且.題型七：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．2．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．題型八：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點問題1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線三、填空題3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．四、解答題4．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．題型九：利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題一、單選題1．（2019·天津·高考真題）已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．二、解答題3．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．4．（2022秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)若時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若有不相等的兩個正實數(shù)，滿足，證明：.題型十：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點、交點或方程根的問題一、解答題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．題型十一：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式一、單選題1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點，（i）當(dāng)時，求的取值范圍；（ii）求證：．5．（2022·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)，證明：有且僅有2個零點.題型十二：利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題一、解答題1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（ⅰ）若，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）2．（2022秋·福建寧德·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)討論的零點個數(shù)．(2)若有兩個不同的零點，證明：．3．（2023春·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，且.題型十三：參變分離解決導(dǎo)數(shù)問題一、單選題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、解答題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)若在處的切線斜率是，證明有兩個極值點，且．題型十四：構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問題一、單選題1．（2022秋·廣西桂林·高三桂林市中山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B．C． D．二、解答題3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）