遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期12月聯(lián)合考試數(shù)學試題（含解析）

絕密★啟用前遼寧省名校聯(lián)盟2024年高一12月份聯(lián)合考試本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（）A.B.C.D.3.已知某種污染物的濃度（單位：摩爾/升）與時間（單位：天）的關(guān)系滿足指數(shù)模型，其中是初始濃度（即時該污染物的濃度），是常數(shù)，第2天（即）測得該污染物的濃度為5摩爾/升，第4天測得該污染物的濃度為15摩爾/升，若第天測得該污染物的濃度變?yōu)椋瑒t（）A.4B.5C.6D.74.函數(shù)的部分圖像大致為（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A.B.C.D.6.已知，且函數(shù)在上有最小值，則的取值范圍為（）A.B.C.D.7.已知為偶函數(shù)，若對任意，總有成立，則不等式的解集為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，假命題為（）A.命題“”的否定是“”B.與是同一個函數(shù)C.函數(shù)的增區(qū)間為D.函數(shù)的最小值是210.若，且，則下列不等式中正確的是（）A.B.C.D.11.某數(shù)學興趣小組對函數(shù)進行研究，得出如下結(jié)論，其中正確的有（）A.B.，都有C.的值域為D.，都有三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.13.甲說：已知是上的減函數(shù)，乙說：存在，使得關(guān)于的不等式在時成立，若甲?乙兩人說的話都不對，則的取值范圍是__________.14.已知函數(shù)且只有一個零點，則的取值范圍是__________.四?解答題：本題共小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知，全集，集合，函數(shù)的定義域為集合.（1）當時，求；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.16.（15分）已知函數(shù)，其中且.（1）若函數(shù)的圖像過點，求不等式的解集；（2）若存在，使得關(guān)于的方程成立，求的取值范圍.17.（15分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（3）當時，若關(guān)于的不等式在時恒成立，求的取值范圍.18.（17分）已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)，均有，且，當時，.（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（3）若對任意，總有恒成立，求的取值范圍.19.（17分）我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的圖像的對稱中心，并說明理由；（2）已知函數(shù)，問是否有對稱中心？若有，求出對稱中心；若沒有，請說明理由；（3）對于不同的函數(shù)與，若的圖像都是有且僅有一個對稱中心，分別記為和.（i）求證：當時，的圖像仍有對稱中心；（ii）問：當時，的圖像是否仍一定有對稱中心？若一定有，請說明理由；若不一定有，請舉出具體的反例.參考答案及解折一?選擇題1.B【解析】由題意可得，所以，故A項錯誤；因為，所以，故B項正確，C項錯誤；，則不是的子集，故D項錯誤.故選B項.2.D【解析】A項，的定義域為在上單調(diào)遞減，但不能說在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A項錯誤；B項，的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，故B項錯誤；C項，的定義域為，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C項錯誤；D項，的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，故D項正確.故選D項.3.B【解析】由題意可得則，解得.因為，即，所以，所以，解得.故選B項.4.C【解析】由解析式知的定義域為，所以為奇函數(shù)，當時，，則，所以在上，，結(jié)合各項函數(shù)圖像知C項滿足要求.故選C項.5.D【解析】當時，函數(shù)為奇函數(shù).要使函數(shù)為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，所以，即，整理得，則，所以，則，解得.當時，，顯然無意義，舍去；當時，，即，解得或，則的定義域為，且為奇函數(shù)，此時為偶函數(shù).故選D項.6.A【解析】當時，；當時，，當時，，且，所以函數(shù)在上有最小值；當，時，，此時顯然函數(shù)在上沒有最小值.綜上，的取值范圍為.故選A項.7.C【解析】由，可得，即，即，當時，，當時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，又因為為偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對稱，所以在上單調(diào)遞減，且，所以由得，解得.故選C項.8.A【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，當時，作出的大致圖像，如圖所示：令，因為關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，所以方程在區(qū)間內(nèi)有2個不相等的實數(shù)根.令，則所以.故選A項.二?多選題9.ACD【解析】A項，命題“”的否定是“”，故A項錯誤；B項，令，解得，故的定義域為，令解得，故的定義域為，又，故B項正確；C項，令，解得或，其中在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知的增區(qū)間為（2，，故C項錯誤；D項，，當且僅當時等號成立，所以等號取不到，故D項錯誤.故選ACD項.10.AB【解析】令，則由一次函數(shù)知在上單調(diào)遞增，由對數(shù)函數(shù)知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，故A項正確；由A項知，又，所以，因為在，上單調(diào)遞減，所以，故B項正確；由B項知，令，則，因為，所以，故C項錯誤；由B項知，令，則，，因為，所以，故D項錯誤.故選AB項.11.ABD【解析】對于A項，，故A項正確；對于B項，當時，，因為單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，且2.當時，，因為單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，且，所以則在上單調(diào)遞減，故B項正確；對于C項，當時，，當時，，綜上，的值域為，故C項錯誤；對于D項，當時，，當且僅當時等號成立，故，都有，故D項正確.故選ABD項.三?填空題12.【解析】2，所以.13.【解析】若甲對，則.若乙對，由，可得，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知在內(nèi)的最大值為，可得，解得.若甲?乙說的話都不對，則或與的交集為，故的取值范圍是.14.【解析】由得出有且只有一個實根，①當時，顯然成立；②當時，由，得，則，解得，此時2成立；③由，可得，即，由，得，則，解得.綜上，的取值范圍是.四?解答題15.解：（1），即.由，且，得，解得，即.當時，，，所以.（2）由是的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集，所以解得，經(jīng)檢驗符合集合是集合的真子集，所以的取值范圍是.16.解：（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以，定義域為，要解不等式，則，所以.又在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，由，得，解得，故不等式的解集為.（2）因為的定義域為，所以在方程中，應(yīng)滿足由，解得，問題轉(zhuǎn)化為當時，關(guān)于的方程有正實數(shù)解.又，則，即.因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，因為，所以兩邊同除以得.令，由，得，所以在時有解.又在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，故的取值范圍為.17.解：（1）當時，，令，解得，所以當時，函數(shù)的零點為0.（2）因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，又不恒為0，所以，即.（3）當時，，因為關(guān)于的不等式在時恒成立，所以，又因為，當且僅當，即時等號成立，所以，即的取值范圍是.18.解：（1）函數(shù)為上的奇函數(shù).證明如下：函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱.令，則，又，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞增.證明如下：由（1）知，當時，，所以，從而，，則，因為，所以，，又當時，，所以，所以，所以，故在上單調(diào)遞增.（3）由（1）知函數(shù)為奇函數(shù)，所以，由（2）知，當時，，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)的最大值為1，最小值為，又任意，總有恒成立，所以，即，由題意，對恒成立.令，則，所以解得或，故的取值范圍是.19.（1）解：為奇函數(shù)，證明如下：首先的定義域為，關(guān)于原點對