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試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)臻選專題圓圓解題技巧：1、理解圓的基本概念圓的定義與性質(zhì)：了解圓的定義，掌握?qǐng)A的半徑、直徑、周長(zhǎng)和面積的計(jì)算公式。熟悉圓的對(duì)稱性，即圓關(guān)于其直徑對(duì)稱，以及垂徑定理。圓的位置關(guān)系：掌握?qǐng)A與直線的位置關(guān)系，包括相切、相交和相離的情況。了解切線的性質(zhì)和判定方法。2、運(yùn)用圓的性質(zhì)和公式圓周角定理：圓周角定理及其推論是解決圓相關(guān)問(wèn)題的重要工具。例如，直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。弦切角定理：弦切角定理表明，弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角的一半。這一定理在解決弦切角問(wèn)題時(shí)非常有用。3、構(gòu)造模型解決實(shí)際問(wèn)題輔助線的運(yùn)用：在解決圓的問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線是一個(gè)有效的策略。通過(guò)添加輔助線，可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角形問(wèn)題。特殊四邊形的應(yīng)用：圓的綜合題常常與特殊四邊形如正方形、矩形、菱形等結(jié)合。利用這些特殊四邊形的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程。臻選專題一、單選題1．戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的著作《墨經(jīng)》中“……，一中同長(zhǎng)也”描述的圖形是（

）A．等邊三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．圓【答案】D【詳解】解：戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的著作《墨經(jīng)》中“……，一中同長(zhǎng)也”描述的圖形是圓，故選：．2．習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂．東營(yíng)市某學(xué)校組織開(kāi)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動(dòng)，小慧同學(xué)制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開(kāi)后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計(jì)）的夾角．現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫(huà)，則山水畫(huà)所在紙面的面積為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題知，，，所以山水畫(huà)所在紙面的面積為：．故選：C．3．如圖，為的兩條弦，連接，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∴，故選：B．4．下列說(shuō)法正確的是（

）A．平分弦的直線垂直于弦 B．兩個(gè)長(zhǎng)度相等的弧是等弧C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．的圓周角所對(duì)的弦是直徑【答案】D【詳解】解：A、當(dāng)兩條弦都是直徑時(shí)不成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、在同圓或等圓中，兩個(gè)長(zhǎng)度相等的弧是等弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、符合圓周角定理，故本選項(xiàng)正確．故選：D．5．如圖，的直徑AB與弦DE交于點(diǎn)，且，若所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，則所對(duì)的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，如圖所示：∵若所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，，∵，，，，，，∴所對(duì)的圓心角的度數(shù)為，故選：C．6．小明在半徑為的圓中測(cè)量弦的長(zhǎng)度，測(cè)量結(jié)果可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：半徑為的圓，直徑為，在半徑為的圓中測(cè)量弦的長(zhǎng)度，的取值范圍是：，弦的長(zhǎng)度可以是，不可能為、、．故選：D．7．如圖，在中，是直徑，點(diǎn)、在圓上且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，∴，∵是直徑∴，∴，故選：C．8．如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D在半圓O上．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵是半圓O的直徑，∴，∵，∴，∴，故選：C．9．如圖，正方形中，，E是的中點(diǎn)．以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為（

）

A． B． C．6 D．【答案】B【詳解】解：取點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，兩線交于點(diǎn)O，連接，，，，過(guò)O作于點(diǎn)N，

∵正方形，E是的中點(diǎn)．∴，，，∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)Q在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)的值最小，，∴的最小值為：，故選：B．10．如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作直線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．3【答案】A【詳解】連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)為，連接，如圖所示，四邊形為矩形，，在中，，，，，在與中，，≌，，三點(diǎn)共線，，是的中點(diǎn)，在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓弧，的最大值為的長(zhǎng)，即．二、填空題11．如圖，是的內(nèi)接正n邊形的一邊，點(diǎn)C在上，，則．

【答案】10【詳解】解：，，，故答案為：10．12．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，寸，寸，則直徑長(zhǎng)為寸．【答案】26【詳解】解：設(shè)寸，則寸，，是直徑，寸，在中，由勾股定理得，，，寸，故答案為：26．13．如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形內(nèi)接于，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）【答案】/【詳解】∵是正六邊形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．14．如圖，在中，直徑，，點(diǎn)P為弦上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在上，．（1）若，則；（2）點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)的最大值為．【答案】【詳解】（1）解：∵，∴．在中，，∴．故答案為：（2）連接，∵∴，在中，，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，即時(shí)，最大，．當(dāng)時(shí)，．∴長(zhǎng)的最大值為．故答案為：三、解答題15．的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，如圖所示，請(qǐng)借助網(wǎng)格和一把無(wú)刻度直尺按要求作圖．

(1)將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到（點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)），畫(huà)出．(2)請(qǐng)找出過(guò)，，三點(diǎn)的圓的圓心，標(biāo)明圓心的位置．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）解：如圖，點(diǎn)O即為所求．16．如圖，在中，，求∠2的度數(shù)．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．17．如圖，在中，C，D分別是半徑，的中點(diǎn)，求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：∵C，D分別是半徑，的中點(diǎn)，∴，，又，∴，又，∴，∴．18．如圖，點(diǎn)為上的三個(gè)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，若，求的度數(shù)．【答案】【詳解】解：，，∴，，，∴，∴，∴．19．如圖，在給定的圓上依次取點(diǎn)，，，，連結(jié)，，，設(shè)，交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）證明：，，∴，，；（2）解：弧度數(shù)，，，，，，，的度數(shù)，，弧的度數(shù)．20．如圖，在中，，點(diǎn)D，E在上，．過(guò)A，D，E三點(diǎn)作，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑長(zhǎng)為5【詳解】（1）證明：連接，，∵，∴，在與中，，∴，∴，連接，，則，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，∴，在，，∴，∴，∴的半徑長(zhǎng)為5．21．如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，

(1)求證：．(2)作于點(diǎn)，若的半徑為，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：連接，∵是直徑，

∴，∴；（2）解：如圖，連接．

在中，，在中，，∵，∴，∴．22．如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：與相切；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【詳解】（1）解：所對(duì)的弧是同弧，，，即，為直徑，，，，，，與相切．（2）解：連接所對(duì)的弧是同弧，，為直徑，，在中，，，，．23．【問(wèn)題提出】在綠化公園時(shí)，需要安裝一定數(shù)量的自動(dòng)噴灑裝置，定時(shí)噴水養(yǎng)護(hù)，某公司準(zhǔn)備在一塊邊長(zhǎng)為的正方形草坪（如圖1）中安裝自動(dòng)噴灑裝置，為了既節(jié)約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設(shè)計(jì)合適的安裝方案．說(shuō)明：一個(gè)自動(dòng)噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為的圓面．噴灑覆蓋率，為待噴灑區(qū)域面積，為待噴灑區(qū)域中的實(shí)際噴灑面積．【數(shù)學(xué)建?！窟@個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用圓面覆蓋正方形面積的數(shù)學(xué)問(wèn)題．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，在該草坪中心位置設(shè)計(jì)安裝1個(gè)噴灑半徑為的自動(dòng)噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率______．（2）如圖3，在該草坪內(nèi)設(shè)計(jì)安裝4個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置；如圖4，設(shè)計(jì)安裝9個(gè)噴灑半徑均為3m的自動(dòng)噴灑裝置；，以此類(lèi)推，如圖5，設(shè)計(jì)安裝個(gè)噴灑半徑均為的自動(dòng)噴灑裝置．與（1）中的方案相比，采用這種增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請(qǐng)判斷并給出理由．（3）如圖6所示，該公司設(shè)計(jì)了用4個(gè)相同的自動(dòng)噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率．已知正方形各邊上依次取點(diǎn)F，G，H，E，使得，設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求當(dāng)取得最小值時(shí)的值．【問(wèn)題解決】（4）該公司現(xiàn)有噴灑半徑為的自動(dòng)噴灑裝置若干個(gè)，至少安裝幾個(gè)這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率？（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）【答案】（1）；（2）不能，理由見(jiàn)解析；（3）；當(dāng)取得最小值時(shí)；（4）【詳解】（1）當(dāng)噴灑半徑為時(shí)，噴灑的圓面積．正方形草坪的面積．故噴灑覆蓋率．（2）對(duì)于任意的，噴灑面積，而草坪面積始終為．因此，無(wú)論取何值，噴灑覆蓋率始終為．這說(shuō)明增加裝置個(gè)數(shù)同時(shí)減小噴灑