(人教A版數(shù)學必修一講義)第4章第09講第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末題型大總結(8大題型+3大方法)(學生版+解析)

第09講第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末題型大總結題型01有關指數(shù)、對數(shù)的運算【典例1】（23-24高二下·天津·期末）計算下列各式的值：(1)；(2)；(3)若，，求的值.【典例2】（24-25高一上·上?！卧獪y試）計算：(1)；(2)．【典例3】（2024高三·全國·專題練習）計算下列各式.(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)；(7)已知，求的值.【變式1】（23-24高二下·寧夏銀川·期末）計算(1)(2)【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習）計算下列各式的值：(1)；(2)．【變式3】（23-24高二下·天津·階段練習）計算：(1)；(2)．題型02數(shù)的大小比較問題【典例1】（云南省楚雄彝族自治州2023-2024學年高一下學期期末教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題）已知，則（

）A． B． C． D．【典例2】（湖南省張家界市2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題）已知，，，則（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高二下·黑龍江·期末）若，，，則（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高二下·北京朝陽·期末）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024高三·天津·專題練習）若，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．題型03定義域問題【典例1】（23-24高一上·安徽·期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)的定義域為．【典例3】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知函數(shù)，其定義域為，求的取值范圍．【變式1】（23-24高二下·北京石景山·期末）函數(shù)的定義域為.【變式2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．【變式3】（24-25高一上·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．題型04值域問題【典例1】（21-22高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）函數(shù)的最大值為.【典例2】（2024·上?！つM預測）函數(shù)的最小值為.【典例3】（23-24高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域.【變式1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習）函數(shù)的最小值為．【變式3】（2024高一上·全國·專題練習）求函數(shù)的值域.題型05指數(shù)（型）函數(shù),對數(shù)（型）函數(shù)的圖象【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如圖所示，函數(shù)圖像①②③④⑤⑥⑦⑧中不屬于函數(shù)：，的是（

）A．①⑤ B．②⑥C．③⑦ D．④⑧【典例2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）當時，在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

【典例3】（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)，（且）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）當時，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖像是（

）A．

B．

C．

D．

【變式3】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知（且且），則函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

題型06指數(shù)（型）函數(shù),對數(shù)（型）函數(shù)的性質(zhì)【典例1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是．【典例2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若對任意的，關于的不等式恒成立，求正實數(shù)的取值范圍．【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若，判斷在的單調(diào)性，并用定義法給出證明；(3)若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【變式1】（23-24高一下·山西大同·期末）已知函數(shù)，，若對于任意，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為.【變式2】（23-24高二下·天津和平·期末）已知函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，且對于，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式3】（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知函數(shù)，其中．(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．題型07函數(shù)與方程【典例1】（24-25高一上·上海·單元測試）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．【典例2】（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知函數(shù)．(1)若在上為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點，求的取值范圍．【典例3】（23-24高一上·湖南益陽·期末）已知函數(shù)，其中，且為奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)若，，，求集合M；(3)若函數(shù)，討論函數(shù)（k為常數(shù)）的零點個數(shù)．【變式1】（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若關于的方程有三個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍.【變式2】（2024高一·全國·專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.(1)求實數(shù)，的值；(2)若方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.【變式3】（2024高二·全國）已知，(1)若函數(shù)與在時有相同的值域，求的取值范圍；(2)若方程在上有兩個不同的根，求的取值范圍，并證明：．題型08函數(shù)模型及其應用【典例1】（23-24高一上·浙江麗水·期末）麗水市某革命老區(qū)因地制宜發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)，打造“生態(tài)特色水果示范區(qū)”．該地區(qū)某水果樹的單株年產(chǎn)量（單位：千克）與單株施肥量（單位：千克）之間的關系為，且單株投入的年平均成本為元．若這種水果的市場售價為元/千克，且水果銷路暢通．記該水果樹的單株年利潤為（單位：元）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求單株施肥量為多少千克時，該水果樹的單株年利潤最大？最大利潤是多少？【典例2】（23-24高一下·云南昆明·期中）2023年9月17日，聯(lián)合國教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)大會通過決議，將中國“普洱景邁山古茶樹文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為全球首個茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗表明，某種普洱茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳.某科學興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：℃）與時間t（單位：分鐘）的部分數(shù)據(jù)如下表所示：時間t/分鐘012345水溫95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)給出下列三種函數(shù)模型：①，②，③，請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用表中前3組數(shù)據(jù)求出相應的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求模型，求剛泡好的普洱茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.1）.（參考數(shù)據(jù)：）【典例3】（22-23高一上·河南南陽·期末）某城市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格）（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關系近似滿足（為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元.(1)給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.【變式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)2024年1～4月份生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：千件）與收益（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份產(chǎn)品產(chǎn)量千件…收益萬元…已知且，給出以下4個函數(shù)模型：①；②；③；④.(1)選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述，之間的關系，并求出其解析式；(2)已知該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)由于場地小，最多只能生產(chǎn)500千件，否則需要搬遷，現(xiàn)鎮(zhèn)政府想使該企業(yè)的收益在10萬元以上（含10萬元），此企業(yè)是否應搬遷？【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）學校為了鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分鐘，）的函數(shù)關系式，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天鍛煉時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天鍛煉時間為9分鐘時，當天得分為6分；（iiii）每天得分最多不超過12分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，結合題設條件，從中選擇一個最合適的函數(shù)模型并求出解析式；(2)若學校要求每天的得分不少于9分，求每天至少鍛煉多少分鐘？（參考值：）【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）人們早就發(fā)現(xiàn)了放射性物質(zhì)的衰減現(xiàn)象．在考古工作中，常用的含量來確定有機物的年代．已知放射性物質(zhì)的衰減服從指數(shù)規(guī)律：，其中t表示衰減的時間，表示放射性物質(zhì)的原始質(zhì)量，表示經(jīng)衰減了t年后剩余的質(zhì)量．為計算衰減的年代，通常給出該物質(zhì)質(zhì)量衰減一半的時間，稱其為該物質(zhì)的半衰期．的半衰期大約是5730年．人們又知道，放射性物質(zhì)的衰減速度與其質(zhì)量成正比．1950年，在伊拉克發(fā)現(xiàn)一根古巴比倫王國時期刻有漢謨拉比王朝字樣的木炭，當時測定，其的衰減速度為4.09個/（），而新砍伐樹木燒成的木炭中的衰減速度為6.68個/（）．請估算出漢謨拉比王朝所在年代．（參考數(shù)據(jù)：）題型09數(shù)形結合的思想【典例1】（23-24高二下·海南·期末）已知函數(shù)若關于的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若對于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個不同的交點，則．【典例3】（23-24高二下·山東濱州·期末）設函數(shù)若關于的方程有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是．【變式1】（2024高三下·全國·專題練習）函數(shù)（，且）在上的最大值為13，求實數(shù)a的值.【變式2】（23-24高二下·山東青島·階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)(且).(1)當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且最大值為？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由．題型11換元的思想【典例1】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意，都有，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·寧夏銀川·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求的解析式并用定義證明的單調(diào)性；(2)使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式1】（24-25高一上·上?！るS堂練習）函數(shù)的定義域為．(1)設，求的取值范圍；(2)若恒成立，求的范圍．【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習）已知函數(shù)（為實常數(shù)）．(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；(2)在（1）的條件下，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．第09講第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末題型大總結題型01有關指數(shù)、對數(shù)的運算【典例1】（23-24高二下·天津·期末）計算下列各式的值：(1)；(2)；(3)若，，求的值.【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）根據(jù)冪的運算法則計算；（2）利用換底公式后計算；（3）指數(shù)式與對數(shù)式互化后，由對數(shù)運算法則、換底公式求解．【詳解】（1）；（2）；（3），又，所以.【典例2】（24-25高一上·上?！卧獪y試）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)二次根式、分數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)求解.【詳解】（1）原式；（2）原式．【典例3】（2024高三·全國·專題練習）計算下列各式.(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)；(7)已知，求的值.【答案】(1)(2)(3)4(4)(5)(6)(7)2【分析】根據(jù)題意，結合指數(shù)冪的運算法則和運算性質(zhì)，逐個計算，即可求解.【詳解】（1）解：由指數(shù)冪的運算法則和運算性質(zhì)，可得：.（2）解：由指數(shù)冪的運算法則和運算性質(zhì)，可得：.（3）解：由指數(shù)冪的運算法則和運算性質(zhì)，可得：.（4）解：由指數(shù)冪的運算法則和運算性質(zhì)，可得：.（5）解：由指數(shù)冪的運算法則和運算性質(zhì)，可得：.（6）解：由指數(shù)冪的運算法則和運算性質(zhì)，可得：.（7）解：因為，所以，所以，則，所以.【變式1】（23-24高二下·寧夏銀川·期末）計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）由指數(shù)冪的運算性質(zhì)直接計算即可；（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)直接計算即可.【詳解】（1）．（2）.【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）計算下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)1【分析】（1）（2）根據(jù)對數(shù)運算律計算即可；【詳解】（1）原式．（2）原式．【變式3】（23-24高二下·天津·階段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式計算可得.【詳解】（1）.（2）.題型02數(shù)的大小比較問題【典例1】（云南省楚雄彝族自治州2023-2024學年高一下學期期末教育學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，因為在上單調(diào)遞減，且，所以，所以，即，所以.故選：A【典例2】（湖南省張家界市2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對數(shù)運算公式及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.【詳解】由，又，且，所以，又，所以，故選：B.【典例3】（23-24高二下·黑龍江·期末）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)運算，結合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為和特殊值比較大小，即可判斷.,,【詳解】因為，，所以.故選：A【變式1】（23-24高二下·北京朝陽·期末）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以，所以.故選：D【變式2】（2024高三·天津·專題練習）若，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因為在上遞增，得出，又因在上遞增，可得.【詳解】在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：.【變式3】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，，即，，所以.故選：A題型03定義域問題【典例1】（23-24高一上·安徽·期中）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次根式的意義可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，可得，解得，因此，函數(shù)的定義域為.故選：A.【典例2】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】根據(jù)具體函數(shù)的定義域，結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域需滿足不等式，得或，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：【典例3】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知函數(shù)，其定義域為，求的取值范圍．【答案】．【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可得對任意的，都成立，即可利用判別式求解.【詳解】解：∵函數(shù)的定義域為，∴，對任意的都成立，則，解得．所以的值范圍為．【變式1】（23-24高二下·北京石景山·期末）函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】根據(jù)定義域的求解方法即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，故答案為：.【變式2】（24-25高一上·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（3）根據(jù)二次根式與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解；（2）利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結合分式的定義求解；【詳解】（1）由題意，，，所以定義域為；（2）由題意，即，所以定義域為；（3）由題意，即，，，所以定義域為．【變式3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)且．【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0得到不等式，求出答案；（2）根據(jù)分母不為0和二次根式被開方數(shù)非負得到不等式，求出答案.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為．（2）由題意知解得且，，所以函數(shù)的定義域為且．題型04值域問題【典例1】（21-22高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）函數(shù)的最大值為.【答案】5【分析】利用換元法，結合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，令，則，，當，即時，取得最大值5.故答案為：5.【典例2】（2024·上海·模擬預測）函數(shù)的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)將函數(shù)化簡為，再結合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，當，即時，取到最小值，且.故答案為：【典例3】（23-24高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域.【答案】單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；值域是【分析】單調(diào)性根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性同增異減得出，值域根據(jù)換元法得出.【詳解】函數(shù)，設.，當時，，，即.函數(shù)在上的值域是.又原函數(shù)是由和兩個函數(shù)復合而成，第一個函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，第二個函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.【變式1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出時，，從而得到當時，的值域包含，得到不等式，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當時，，又的值域為R，故當時，的值域包含．故，解得．故選：C【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）函數(shù)的最小值為．【答案】0【分析】利用復合函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小值，可以考慮使用換元法．【詳解】解：設，則，的定義域為，所以函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的同增異減可得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，最小值是0．故答案為：0．【變式3】（2024高一上·全國·專題練習）求函數(shù)的值域.【答案】【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】，因為，所以原函數(shù)的值域為.題型05指數(shù)（型）函數(shù),對數(shù)（型）函數(shù)的圖象【典例1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如圖所示，函數(shù)圖像①②③④⑤⑥⑦⑧中不屬于函數(shù)：，的是（

）A．①⑤ B．②⑥C．③⑦ D．④⑧【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別由指數(shù)函數(shù)的圖像特點與對數(shù)函數(shù)的圖像特點，即可判斷.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，①②③④為指數(shù)函數(shù)圖像，且③④為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，取可知，③④分別對應，又①④圖像關于軸對稱，則①對應，即②不屬于；由對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，⑤⑥⑦⑧為對數(shù)函數(shù)圖像，其中⑦⑧為單調(diào)遞減的對數(shù)函數(shù)，由“底大圖低”可知⑧對應，⑦對應，且⑤⑧圖像關于軸對稱，則⑤對應，即⑥不屬于；故選：B【典例2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）當時，在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及它們各自所過的定點即可得解.【詳解】當時，函數(shù)與分別在各自的定義域內(nèi)單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，故可排除BCD，且函數(shù)與圖象分別過定點，經(jīng)檢驗，A符合題意.故選：A.【典例3】（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)，（且）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和進行分類討論判斷即可.【詳解】當時，與單調(diào)遞增，A，B均不符合題意；當時，與單調(diào)遞減，對于，當時，C不正確.故選：D.【變式1】（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知結合兩函數(shù)的單調(diào)性及恒過的定點檢驗各選項即可判斷．【詳解】結合與可知，兩函數(shù)單調(diào)性一定相反，排除選項A；因為恒過定點，恒過定點，排除選項B，D．故選：C．【變式2】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）當時，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖像是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)進行判斷.【詳解】當時，函數(shù)為單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)為單調(diào)遞減的對數(shù)函數(shù)，觀察選項可得D符合.故選：D.【變式3】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知（且且），則函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得，討論的范圍，結合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象的單調(diào)性，即可得到答案.【詳解】由，即為，即有；當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，選項B滿足；當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，在為減函數(shù)，四個圖象均不滿足，在同一坐標系中的圖象只能是B．故選：B題型06指數(shù)（型）函數(shù),對數(shù)（型）函數(shù)的性質(zhì)【典例1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】．【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式判斷得出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性．進而將原不等式轉(zhuǎn)化為，即可結合函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，求解即可得出答案．【詳解】由題意知函數(shù)定義域為R，且，所以為奇函數(shù)．又函數(shù)均為R上的增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知也為R上的增函數(shù)，所以，為R上的函數(shù)．由，得，所以，解得，故答案為：．【典例2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若對任意的，關于的不等式恒成立，求正實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函數(shù)定義列式計算即得.（2）由（1）的結論，結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出在上的值域，換元分離參數(shù)借助函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，得，解得，所以.（2）由（1）知，，當時，，則，因此，令，，不等式，等價于，即，而，因此，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，從而恒成立，則，所以正實數(shù)的取值范圍是.【典例3】（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若，判斷在的單調(diào)性，并用定義法給出證明；(3)若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，得到方程，求出；（2）先得到，定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取值，作差，判號，下結論；（3）參變分離得到，構造，換元后得到，根據(jù)單調(diào)性求出其最值，得到結論.【詳解】（1）定義域為R，，由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，即，即恒成立，．（2）已知函數(shù)，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，由第（1）問可得，因此不妨設，，且則因為，因此，由因為，，因此，所以，故，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．（3）由題得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因為，所以，所以在區(qū)間上恒成立，令，令，則，因為在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故．．對任意的恒成立，且，．實數(shù)的取值范圍是．【變式1】（23-24高一下·山西大同·期末）已知函數(shù)，，若對于任意，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在上的最大值，探討函數(shù)的性質(zhì)，并求出在上的最大值，再由已知建立不等式求解即得.【詳解】函數(shù)，當時，，則當，即時，；函數(shù)，顯然，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，令，，，，由，得，則，，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，由對稱性知，在上單調(diào)遞增，則當時，，由對于任意，存在，使得，得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：【點睛】結論點睛：函數(shù)的定義域為D，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關于點對稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關于直線對稱.【變式2】（23-24高二下·天津和平·期末）已知函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，且對于，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)0；(2).【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，求出值并驗證即可.（2）由，求出的范圍并判斷的單調(diào)性，再脫去法則，參變分離求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）由是定義在上的奇函數(shù)，得，解得，當時，，，則為上的奇函數(shù)，所以.（2）由（1）知，由，得，于是，顯然函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，又是定義在上的奇函數(shù)，由，得，即，因此對，成立，當時，成立，則對，，而，當且僅當，即時取等號，從而，所以實數(shù)的取值范圍.【變式3】（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知函數(shù)，其中．(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由真數(shù)大于0列出不等式即可求解；（2）先根據(jù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為在上最小值大于0，然后結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.【詳解】（1）當時，，由得，故或，得或，故函數(shù)的定義域為；（2）由得，得，即，設，因，故，所以當時，恒成立，即為在上最小值大于0，函數(shù)的對稱軸為，當即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，得，即滿足題意；當，即時，函數(shù)在對稱軸取得最小值，此時，得，即滿足題意；故的取值范圍為.題型07函數(shù)與方程【典例1】（24-25高一上·上?！卧獪y試）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】或【分析】作出的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷的值．【詳解】解：令得，作出的函數(shù)圖像如圖所示．

由圖像可知當或時，只有一解，此時恰有一個零點．【典例2】（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知函數(shù)．(1)若在上為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知，利用復合函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的定義域及二次函數(shù)的單調(diào)性，列式即可求出a的取值范圍.（2）利用函數(shù)零點的意義，結合對數(shù)運算，把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實根分布求解.【詳解】（1）令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在及右側(cè)區(qū)間上單調(diào)遞增，而在上為增函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍是.（2）由，得，由函數(shù)在上恰有兩個零點，得在上有兩個不等實根，于是，解得，所以的取值范圍是.【典例3】（23-24高一上·湖南益陽·期末）已知函數(shù)，其中，且為奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)若，，，求集合M；(3)若函數(shù)，討論函數(shù)（k為常數(shù)）的零點個數(shù)．【答案】(1)1(2)(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義列出方程求解并檢驗即得；（2）先由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性推導函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用函數(shù)奇偶性化簡為，利用單調(diào)性求得的范圍即得.（3）依題求出，由化簡得，就分成和兩種情況，討論方程的解的情況即得.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，，，解得．又，．經(jīng)檢驗,符合題意．（2）由（1）得，則，由，因函數(shù)為奇函數(shù)，，即為奇函數(shù)．又，因在上單調(diào)遞減且為正數(shù)，又在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減；由．，解得：．故集合．（3），且，，且，令．①當時，有，．由得，即．當時，方程在無實數(shù)解．當時，由得，由，解得．即當時，，而當時，．所以，當或或時，函數(shù)在只有一個零點．當且時，函數(shù)在有兩個零點：和．②當時，有，．當時，函數(shù)在沒有零點．當時，，由得或．所以，當或時，函數(shù)在有一個零點；當時，函數(shù)在沒有零點．綜上所述，當時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點．【點睛】方法點睛：本題主要考查利用函數(shù)的性質(zhì)求解不等式和判斷函數(shù)的零點情況，屬于難題.對于抽象不等式的解法，一般從判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性入手，將不等式等價變換，將其化成具體不等式組求解；對于含參函數(shù)的零點個數(shù)問題，一般是將其轉(zhuǎn)化成方程的解的個數(shù)或者兩函數(shù)的圖象交點個數(shù)解決.【變式1】（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若關于的方程有三個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【分析】（1）直接對兩段分別研究單調(diào)性即可；（2）畫出函數(shù)的圖象與直線的圖象，由數(shù)形結合即可求解.【詳解】（1）當時，由單調(diào)遞增，知在上單調(diào)遞增；當時，有，所以在上單調(diào)遞增；當時，是二次函數(shù)，最小值點是，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象與直線的圖象，如圖所示，由圖可知若關于的方程有三個不同的實根，當且僅當?shù)娜≈捣秶?【變式2】（2024高一·全國·專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.(1)求實數(shù)，的值；(2)若方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）令，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)及條件，即可求出結果；（2）由（1）及條件得到，令，分離常量得到，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結果.【詳解】（1）設，則，因為，對稱軸為，所以當，①，當，②，由①②解得，.（2）由（1）知，所以，即，設，得到，即，又函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，又當時，，當時，，所以要使方程有兩個不同的實數(shù)解，則.【變式3】（2024高二·全國）已知，(1)若函數(shù)與在時有相同的值域，求的取值范圍；(2)若方程在上有兩個不同的根，求的取值范圍，并證明：．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）由題意知，求得的取值范圍；（2）令，經(jīng)判斷，可得，，可得的范圍.消去得證得.【詳解】（1）當時，函數(shù)的圖象是開口向上，且對稱軸為的拋物線，的值域為，所以的值域也為的充要條件是，即，或，即的取值范圍為．（2），即，由分析知，不妨設，令因為在上是單調(diào)函數(shù)，所以在上至多有一個解．若，即就是的解，所以，與題設矛盾．因此，由得，所以，由得，所以，綜上，當時，方程在上有兩個解，由和，消去得，由，得．題型08函數(shù)模型及其應用【典例1】（23-24高一上·浙江麗水·期末）麗水市某革命老區(qū)因地制宜發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)，打造“生態(tài)特色水果示范區(qū)”．該地區(qū)某水果樹的單株年產(chǎn)量（單位：千克）與單株施肥量（單位：千克）之間的關系為，且單株投入的年平均成本為元．若這種水果的市場售價為元/千克，且水果銷路暢通．記該水果樹的單株年利潤為（單位：元）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求單株施肥量為多少千克時，該水果樹的單株年利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)施肥量為時，單株年利潤最大為390元【分析】（1）由利潤=單株產(chǎn)量售價成本，結合分段函數(shù)即可求解；（2）結合二次函數(shù)和基本不等式性質(zhì)分別求出和時對應的，即可得解.【詳解】（1）當時，，當時，，故；（2）當時，的對稱軸為，最大值為，當時，，當且僅當時，等號成立，綜上施肥量為時，單株年利潤最大為390元.【典例2】（23-24高一下·云南昆明·期中）2023年9月17日，聯(lián)合國教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)大會通過決議，將中國“普洱景邁山古茶樹文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為全球首個茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗表明，某種普洱茶用的水沖泡，等茶水溫度降至飲用，口感最佳.某科學興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：℃）與時間t（單位：分鐘）的部分數(shù)據(jù)如下表所示：時間t/分鐘012345水溫95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)給出下列三種函數(shù)模型：①，②，③，請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用表中前3組數(shù)據(jù)求出相應的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求模型，求剛泡好的普洱茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.1）.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)選模型②，理由見解析，解析式為(2)．【分析】（1）由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，把前3組數(shù)據(jù)代入求出，，的值，即可得到函數(shù)解析式；（2）令，結合對數(shù)的運算性質(zhì)求出的值即可．【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，模型③為單調(diào)遞增的函數(shù)，不符合，模型①為直線型，不符合遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，解得，所以；（2）令，則，所以，即剛泡好的普洱茶達到最佳飲用口感的放置時間為．【典例3】（22-23高一上·河南南陽·期末）某城市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格）（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關系近似滿足（為常數(shù)，且），日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元.(1)給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.【答案】(1)選②，(2)【分析】（1）由第10天的日銷售收入為505元，求出，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知時間變換時，先增后減，則選模型②，再利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，即可得解；（2）分和，兩種情況討論，結合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】（1）因為第10天的日銷售收入為505元，則，解得，由表格中的數(shù)據(jù)知，當時間變換時，先增后減，函數(shù)模型：①；③；④都是單調(diào)函數(shù)，所以選擇模型②：，由，可得，解得，由，解得，所以日銷售量與時間的變化的關系式為；（2）由（1）知，所以，即，當時，，當且僅當時，即時等號成立，當時，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當時，函數(shù)取得最小值.【變式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)2024年1～4月份生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：千件）與收益（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份產(chǎn)品產(chǎn)量千件…收益萬元…已知且，給出以下4個函數(shù)模型：①；②；③；④.(1)選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述，之間的關系，并求出其解析式；(2)已知該鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)由于場地小，最多只能生產(chǎn)500千件，否則需要搬遷，現(xiàn)鎮(zhèn)政府想使該企業(yè)的收益在10萬元以上（含10萬元），此企業(yè)是否應搬遷？【答案】(1)④，(2)應搬遷【分析】（1）首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷符合的函數(shù)，再代入表格數(shù)據(jù)，即可求解函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的結果，列不等式，即可求解.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，收益隨著產(chǎn)品產(chǎn)量的遞增而遞增，且增長速度越來越慢.而①單調(diào)遞減，不合題意，③是單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意，對于②，由題意可知，從而增長率越來越快，不合題意.故只能選擇④的模型，且.將，代入，可得，解得，所以，當時，，當時，，所以符合題意，所以可用④來描述，之間的關系，解析式為；（2）令，則，又，所以此企業(yè)需要搬遷.【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）學校為了鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分鐘，）的函數(shù)關系式，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天鍛煉時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天鍛煉時間為9分鐘時，當天得分為6分；（iiii）每天得分最多不超過12分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，結合題設條件，從中選擇一個最合適的函數(shù)模型并求出解析式；(2)若學校要求每天的得分不少于9分，求每天至少鍛煉多少分鐘？（參考值：）【答案】(1)選擇③，；(2)29.25.【分析】（1）根據(jù)三種函數(shù)的圖象特征選擇合適的函數(shù)模型，然后代入點和解方程組即可得解析式；（2）根據(jù)題意解對數(shù)不等式即可.【詳解】（1）模型①，由圖象過點，得，解得，

，在原點附近增長速度先快后慢，不符合；模型②為爆炸增長型函數(shù)，不符合，故選模型③.由題知，，解得，所以.（2）由（1）知，，令，得，解得，所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要鍛煉29.25分鐘.【變式3】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）人們早就發(fā)現(xiàn)了放射性物質(zhì)的衰減現(xiàn)象．在考古工作中，常用的含量來確定有機物的年代．已知放射性物質(zhì)的衰減服從指數(shù)規(guī)律：，其中t表示衰減的時間，表示放射性物質(zhì)的原始質(zhì)量，表示經(jīng)衰減了t年后剩余的質(zhì)量．為計算衰減的年代，通常給出該物質(zhì)質(zhì)量衰減一半的時間，稱其為該物質(zhì)的半衰期．的半衰期大約是5730年．人們又知道，放射性物質(zhì)的衰減速度與其質(zhì)量成正比．1950年，在伊拉克發(fā)現(xiàn)一根古巴比倫王國時期刻有漢謨拉比王朝字樣的木炭，當時測定，其的衰減速度為4.09個/（），而新砍伐樹木燒成的木炭中的衰減速度為6.68個/（）．請估算出漢謨拉比王朝所在年代．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】公元前2100年【分析】首先由衰減規(guī)律得，從而，進一步由題意得，即，解指數(shù)方程即可進一步求解.【詳解】因為的半衰期大約是5730年，所以由衰減規(guī)律，得．解得．因此的衰減規(guī)律服從指數(shù)型函數(shù)．設發(fā)現(xiàn)漢謨拉比王朝字樣的木炭時（1950年），該木炭已衰減了年．因為放射性物質(zhì)的衰減速度與其質(zhì)量成正比，所以，于是．兩邊取以2為底的對數(shù)，得．解得．所以該木炭已衰減了約4055年，即漢謨拉比王朝大約存在于公元前2100年．題型09數(shù)形結合的思想【典例1】（23-24高二下·海南·期末）已知函數(shù)若關于的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先進行變形，關于的方程有兩個不同的實根，即關于的方程有兩個不同的實根.即與有兩個不同的交點.研究圖像，數(shù)形結合可解.【詳解】，則關于的方程有兩個不同的實根，即關于的方程有兩個不同的實根.即與有兩個不同的交點.令，，解得.遞增，遞減，則有極大值.，則可畫出的草圖.與有兩個不同的交點.則實數(shù)的取值范圍是.故選：D．【典例2】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若對于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個不同的交點，則．【答案】【分析】由題意首先確定函數(shù)的性質(zhì)，然后結合直線與圓的位置關系得到的表達式，最后裂項求和即可求得的值.【詳解】當時，，即，表示以為圓心，為半徑的圓在軸（含軸）的上半部分，當時，，函數(shù)周期為4，如圖作出函數(shù)的圖象，因為與函數(shù)恰有個不同的交點，根據(jù)圖象知，直線與第個半圓相切，第個半圓的圓心為，半徑為，故直線的斜率，所以，所以．故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解【典例3】（23-24高二下·山東濱州·期末）設函數(shù)若關于的方程有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】令，代入方程解得或，則和共有5個不同的實數(shù)根.作出的圖象，觀察圖象即可求出的取值范圍.【詳解】令，則，即，即，解得或，則和共有5個不同的實數(shù)根.作出的圖象，如圖：由圖可知，，解得.故答案為：.【變式1】（23-24高一下·云南·期末）設，若關于的方程恰有5個不同實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化方程為或，分析函數(shù)的性質(zhì)，再利用數(shù)形結合法求出的范圍.【詳解】方程化為，解得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，顯然直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，由關于的方程恰有5個不同實數(shù)解，則直線與函數(shù)的圖象有3個交點，此時，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B【點睛】思路點睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結合思想分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).【變式2】（2024·天津河東·二模）已知函數(shù)，，若方程恰有2個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】,,．【分析】作出的圖象，分、、、及五種情況，分別作出圖象進行討論，即可得答案．【詳解】依題意畫出的圖象如圖所示：因為函數(shù)，所以，當直線與相切時，由，得，，解得，由圖可知，①當時，函數(shù)的圖象與的圖象無交點，不滿足題意；②當時，函數(shù)的圖象與的圖象交于點，不滿足題意；③時，當經(jīng)過函數(shù)圖象上的點時，恰好經(jīng)過函數(shù)圖象上的點，則要使方根恰有2個不同的實數(shù)根，只需，即，故；④當時，函數(shù)的圖象與的圖象有3個交點，不滿足題意；⑤當時，函數(shù)的圖象與的圖象有2個交點，滿足題意．綜上，或．所以的取值范圍為：,,．故答案為：,,．【點睛】方法點睛：求解函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；(2)零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3)數(shù)形結合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結合函數(shù)的圖象輔助解題.【變式3】（23-24高二下·湖南·期末）已知函數(shù)，且時，，則的取值范圍為.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，結合對數(shù)的運算性質(zhì)求出，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出，再結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為時，，由圖可知，，則，即，所以，所以，由函數(shù)關于對稱，可得，所以，因為，所以，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：作出函數(shù)的圖象，結合對數(shù)的運算性質(zhì)求出，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出，是解決本題的關鍵.題型10分類討論的思想【典例1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）設（且），求的取值范圍．【答案】答案見解析【分析】分類討論和兩種情況，結合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一元二次方程的解法即可求解【詳解】當時，由可得，即，即，解得或；