三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)01三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式 訓(xùn)練精講【學(xué)生版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式【題型解讀】【知識(shí)必備】1.角的概念(1)任意角：①角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.旋轉(zhuǎn)開始的射線叫做角的始邊,旋轉(zhuǎn)終止的射線叫做角的終邊,射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)；②角的分類：按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做俯角；如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.(2)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α,k∈Z}.注意：終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.(3)象限角與軸線角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱之為軸線角.2.弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,這種用弧度作單位來度量角的單位制叫做弧度制.弧度的單位符號(hào)是“rad”,讀作“弧度”(用弧度制表示角時(shí),rad常常省略不寫).如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝eq\f(l,r).正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad,1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧長公式：l＝|α|·r,扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3.任意角的三角函數(shù)(1)單位圓定義：任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)時(shí),sinα＝y(tǒng),cosα＝x,tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).(2)比值式定義：設(shè)P(x,y)是角α終邊上任意一點(diǎn),且|OP|＝r(r＞0),則sinα＝eq\f(y,r),cosα＝eq\f(x,r),tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).注意：三角函數(shù)的定義中,當(dāng)P(x,y)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sinα＝y(tǒng),cosα＝x,tanα＝eq\f(y,x),但若不是單位圓時(shí),設(shè)|OP|＝r,則sinα＝eq\f(y,r),cosα＝eq\f(x,r),tanα＝eq\f(y,x).(3)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：記憶口訣：“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即第一象限三個(gè)三角函數(shù)都是正值,第二象限正弦值為正,其余兩個(gè)為負(fù)值；第三象限正切值為正,其余兩個(gè)為負(fù)值；第四象限余弦值為正值.4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.5.誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限統(tǒng)一記憶口訣：“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,對(duì)于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),正弦變余弦,余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),函數(shù)名不變”.“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí),原函數(shù)值的符號(hào)”.【題型精講】【題型一扇形面積公式與弧度制】必備技巧扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l(wèi)是扇形的弧長,R是扇形的半徑,α是扇形圓心角的弧度數(shù),0<α<2π).(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計(jì)算問題,關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.例1(2022·咸陽百靈學(xué)校高三月考)已知扇形周長是60.(1)當(dāng)半徑r=20,求扇形面積.(2)當(dāng)半徑為何值時(shí),扇形有最大面積？(3)并求出最大面積和此時(shí)扇形的圓心角.【跟蹤精練】1.(2022·全國·高三專題練習(xí))中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn),一般情況下,折扇可以看做是從一個(gè)圓形中前下的扇形制作而成的,當(dāng)折扇所在扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比值為時(shí),折扇的外觀看上去是比較美觀的,則此時(shí)折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為(

)A. B. C. D.2.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知扇形的周長為4cm,當(dāng)它的半徑為________cm和圓心角為________弧度時(shí),扇形面積最大,這個(gè)最大面積是________cm2.3.(2022·全國·高三專題練習(xí))《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng),刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”,擲鐵餅者的手臂長約為米,肩寬約為米,“弓”所在圓的半徑約為1.25米,則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(

)A.1.012米 B.1.768米 C.2.043米 D.2.945米4.(2022·浙江高三模擬)三星堆古遺址位于四川省廣漢市西北的鴨子河南岸,是迄今在西南地區(qū)發(fā)現(xiàn)的范圍最大、延續(xù)時(shí)間最長、文化內(nèi)涵最豐富的古蜀文化遺址.青銅太陽輪是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一,該文物中央凸起,周圍均勻分布了五個(gè)芒條,現(xiàn)將該太陽輪的中心記為點(diǎn),相鄰的兩個(gè)芒條與圓輪交于、兩點(diǎn),如圖,某考古工作人員為了估計(jì)該太陽輪的圓輪周長,現(xiàn)測(cè)得、兩點(diǎn)間的距離約為,則太陽輪的圓輪周長約為______.(參考數(shù)據(jù)：,).【題型二三角函數(shù)的定義】必備技巧三角函數(shù)定義考查(1)利用三角函數(shù)的定義,已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值,也可以求出角α終邊的位置.(2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào),關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限,然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào),特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.例2(1)(2022·河南洛陽)已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則(

).A. B. C. D.(2)(2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí))若角的終邊過點(diǎn)P(8m,),且,則m的值為(

)A. B. C. D.例3(2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè))若角滿足,,則在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【跟蹤精練】1.(2022·河南)在平面直角坐標(biāo)系中,角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是(

)A. B.或 C. D.2.(2022·全國高三練習(xí))已知角的終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為,且為第二象限角,,則_________,________.3.(2022·全國·高三專題練習(xí))如果,且,則的化簡為_____.【題型三同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用】必備技巧同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化,開方時(shí)要根據(jù)角α所在象限確定符號(hào)；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα,sinαcosα,sinα－cosα這三個(gè)式子,利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα,可以知一求二.(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α,sin2α＝1－cos2α,cos2α＝1－sin2α.例4(1)(2022·青海西寧)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),且,則(

)A. B. C. D.(2)(2022·廣東惠州·一模)已知,,則(

)A. B. C. D.例5(2022·北京市昌平區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三期中)已知角的終邊過點(diǎn),求：①；②；③【跟蹤精練】1.(2022·廣東·深圳外國語學(xué)校高三階段練習(xí))已知角,,則(

)A. B. C. D.2.(2022·全國·高三階段練習(xí))若,則(

)A. B.C. D.3.(2022·湖南益陽·一模)若,則A. B. C. D.【題型四三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】必備技巧利用誘導(dǎo)公式化簡、求值的策略(1)已知角求值問題,關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)值求解,轉(zhuǎn)化過程中注意口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”的應(yīng)用.(2)對(duì)式子進(jìn)行化簡或求值時(shí),要注意要求的角與已知角之間的關(guān)系,并結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,特別要注意角的范圍.(3)常見的互余的角：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α,eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等,常見的互補(bǔ)的角：eq\f(π,6)＋α與eq\f(5π,6)－α,eq\f(π,3)＋α與eq\f(2π,3)－α,eq\f(π,4)＋α與eq\f(3π,4)－