第7章 簡單幾何體（知識考點(diǎn)）-【中職專用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測解析版

第7第7章簡單幾何體知識點(diǎn)一：多面體1．棱柱(1)棱柱的概念名稱定義圖形及表示相關(guān)概念棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)(2)棱柱的分類①按底面多邊形邊數(shù)來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按側(cè)棱是否與底面垂直：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.③底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.(3)棱柱的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長與高相等且側(cè)面、對角面都是矩形．2．棱錐(1)棱錐的概念名稱定義圖形及表示相關(guān)概念棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐如圖可記作：棱錐S—ABCD底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各個(gè)三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)(2)棱錐的分類①按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……②底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.(3)正棱錐的性質(zhì)側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構(gòu)成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也構(gòu)成一個(gè)直角三角形；斜高、側(cè)棱及底面邊長的一半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形；側(cè)棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形．知識點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)體1．圓柱定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸高：在軸上的邊(或它的長度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫翰淮怪庇谳S的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊2．圓錐定義以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸高：在軸上的邊(或它的長度)底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫翰淮怪庇谳S的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊3．球球面及球的定義球面可以看成一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面；球面圍成的幾何體，稱為球．球面也可以看成：空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合圖示及相關(guān)概念球心：形成球面的半圓的圓心半徑：連接球面上一點(diǎn)和球心的線段直徑：連接球面上兩點(diǎn)且通過球心的線段大圓與小圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的小圓知識點(diǎn)三：簡單幾何體的表面積和體積(1)柱體、錐體的表面積①直棱柱、正棱錐的側(cè)面積：S直棱柱側(cè)＝Ch，S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(其中C為底面周長，h為高，h′為斜高)．②圓柱、圓錐的側(cè)面積：S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓錐側(cè)＝πrl(其中r為底面半徑，l為母線長)．③柱的表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和，錐體的表面積等于側(cè)面積與一個(gè)底面積的和．(2)柱體、錐體的體積①棱柱、棱錐的體積：V棱柱＝Sh，V棱錐＝eq\f(1,3)Sh(其中S為底面積，h為高)．②圓柱、圓錐的體積：V圓柱＝πr2h，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(其中r為底面圓的半徑，h為高)．(3)球的表面積與體積①半徑為R的球的表面積S球＝4πR2．②半徑為R的球的體積V球＝eq\f(4,3)πR3.(4)球的截面的性質(zhì)①球心和截面圓心的連線垂直于截面；②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：.知識點(diǎn)四：空間幾何體的三視圖、直觀圖(1)三視圖①空間幾何體的三視圖是用正投影得到的，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的．三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖．②三視圖尺寸關(guān)系口訣：“長對正，高平齊，寬相等．”長對正指正視圖和俯視圖長度相等，高平齊指正視圖和側(cè)(左)視圖高度要對齊，寬相等指俯視圖和側(cè)(左)視圖的寬度要相等．(2)直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：①在已知圖形所在空間中取水平面，在水平面內(nèi)作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸，使∠xOz＝90°且∠yOz＝90°．②畫直觀圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz畫成對應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所確定的平面表示水平面．③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同．④已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．⑤畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖．考點(diǎn)一柱體的表面積和體積1．若一個(gè)正方體的體對角線長為a，則這個(gè)正方體的全面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方體的棱長為x，則，即，所以正方體的全面積為，故選：A.2．一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為4的正方形，則這個(gè)圓柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為的正方形，所以，，所以，所以圓柱的體積為，選：C.3．若正三棱柱一個(gè)側(cè)面的一條對角線長為2，且與該側(cè)面內(nèi)的底邊所成角為45°，則此三棱柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎庵粋€(gè)側(cè)面的一條對角線長為2，且與該側(cè)面內(nèi)的底邊所成角為45°，所以該三棱柱底面棱長為，高為，所以該正三棱柱的體積為：，故選：C.4．以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，所得幾何體為高和底面半徑均為2的圓柱體，所以幾何體表面積為，故選：D5．若一個(gè)長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個(gè)長方體外接球的表面積為.【答案】【解析】由題知，長方體的體對角線即為外接球的直徑，所以，所以所以外接球的表面積，故答案為：．6．若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側(cè)面為矩形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積等于（）A．12 B．48 C．64 D．72【答案】D【解析】六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，故底面周長，又側(cè)面是矩形，側(cè)棱長為4，故棱柱的高，棱柱的側(cè)面積，故選：D考點(diǎn)二錐體的表面積和體積7．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】正四棱錐的底面積為，正四棱錐的高為，因此，該正四棱錐的體積為，故選：A．8．已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側(cè)面積是（

）．A． B．2 C． D．【答案】D【解析】如圖，由題意知為等腰直角三角形，則，底面圓周長為，故圓錐的側(cè)面積為，故選：D.9．若圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側(cè)面積為（

）A．12π B． C．15π D．【答案】C【解析】作圓錐的軸截面如圖，則高AD=4,底面半徑CD=3,圓錐的母線AC=5，所以圓錐的側(cè)面積為3×5×π10．如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐D-ACD1的體積是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】三棱錐D-ACD1的體積等于三棱錐D1-ACD的體積，三棱錐D1-ACD的底面ACD是直角邊長為1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱錐D-ACD1的體積為V=×1×1×1=，故選：A.11．求底面邊長為2m，高為1m的正三棱錐的全面積．【答案】【解析】因?yàn)榈酌娴倪呴L為2，故底面中心到底面邊的距離為，故斜高為，故全面積為.12．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，則圓錐的表面積是________.【答案】eq\f(16,9)π【解析】因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，所以圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，因?yàn)樯刃蔚幕￠L為eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圓的面積為eq\f(4,9)π，所以圓錐的表面積為eq\f(16,9)π.考點(diǎn)三球體的表面積和體積13．正方體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方體的棱長為，因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球的直徑即正方體的棱長，所以內(nèi)切球的半徑，體積，因?yàn)檎襟w的外接球的直徑即正方體的體對角線，所以外接球的半徑，體積，則內(nèi)切球和外接球的體積之比為，故選：A.14．已知三個(gè)球的體積之比為，則它們的表面積之比為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為，則由題，，故，故表面積之比，故選：B.15．若球的表面積膨脹為原來的倍，則膨脹后的球的體積為原來的（）A．倍 B．倍C．倍 D．倍【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則球的表面積為，球的體積為，膨脹后球的表面積為，球的半徑為，膨脹后球的體積為，膨脹后球的體積變成了原來的倍，故選C.16．長方體的三個(gè)相鄰面的面積分別是2，3，6，這個(gè)長方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（）A．B．56πC．14π D．16π【答案】C【解析】設(shè)長方體的三條棱長分別為a，b，c，由題意得，得，∴長方體的體對角線長為，∴其外接球的半徑為，∴．故選：C17．用一個(gè)平面截半徑為3的球，截面面積為，則球心到截面的距離為（）A．1B．2C．D．【答案】C【解析】根據(jù)截面面積為可知：截面圓的半徑，根據(jù)球心與截面圓的圓心的連線垂直于截面可知：球心到截面的距離為故選：C18．一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1、、3，則此球的體積為．【答案】【解析】長方體外接球的直徑為，所以外接球半徑為，所以球的體積為，故答案為：考點(diǎn)四空間幾何體的三視圖、直觀圖19．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時(shí)，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①平行的線段在直觀圖中仍然平行；②相等的線段在直觀圖中仍然相等；③相等的角在直觀圖中仍然相等；④正方形在直觀圖中仍然是正方形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對于①，平行的線段在直觀圖中仍然是平行線段，所以①正確；對于②，相等的線段在直觀圖中不一定相等，如平行于軸的線段，長度不變，平行于軸的線段，變?yōu)樵瓉淼?，所以②錯(cuò)誤；對于③，相等的角在直觀圖中不一定相等，如直角坐標(biāo)系內(nèi)兩個(gè)相鄰的直角，在斜二測畫法內(nèi)是和，所以③錯(cuò)誤；對于④，正方形在直觀圖中不是正方形，是平行四邊形，所以④錯(cuò)誤；綜上，正確的命題序號是①，共1個(gè)．故選：A．20．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是()【答案】A【解析】利用排除法求解．B的側(cè)視圖不對，C圖的俯視圖不對，D的正視圖不對，排除B，C，D，A正確，故選A.21．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()【答案】B【解析】所給選項(xiàng)中，A，C選項(xiàng)的俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有選項(xiàng)B符合，故選B.22．如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】先作出一個(gè)正三角形，然后以所在直線為軸，以邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的軸，使夾角為，畫直觀圖時(shí)與軸平行的直線的線段長度保持不變，與軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到的圖形如圖，然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖如圖，，故選：A23．一個(gè)三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個(gè)邊長