第3章 函數(shù)（知識考點）-【中職專用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測（高教版2021·基礎(chǔ)模塊上冊）解析版

第3第3章函數(shù)知識點一：函數(shù)的概念1．函數(shù)的有關(guān)概念函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)函數(shù)的記法，定義域x叫做自變量，x的取值范圍A的集合叫做函數(shù)的定義域值域函數(shù)值y的集合叫做函數(shù)的值域2．同一個函數(shù)一般地，函數(shù)的三要素：定義域，對應(yīng)關(guān)系與值域，如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．3．函數(shù)定義域的求法當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮(1)分母不為零；(2)偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零；(3)零次冪的底數(shù)不為零，以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件.注意：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.4．分段函數(shù)(1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．(3)作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別作出每一段的圖象．5．復(fù)合函數(shù)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．知識點二：函數(shù)的表示方法(1)解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值.(2)圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢.(3)列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值.知識點三：函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：①如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們稱它是增函數(shù)。②如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們稱它是減函數(shù)．(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟第一步：取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個自變量，且；第二步：變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；第三步：定號．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；第四步：得出結(jié)論．(4)常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)（）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)（）當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增二次函數(shù)（）對稱軸為當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減2．函數(shù)的奇偶性(1)函數(shù)奇偶性的概念①偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為偶函數(shù)．②奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為奇函數(shù)．(2)奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)①偶函數(shù)：函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；偶函數(shù)必滿足；偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反.②奇函數(shù)：函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱；若奇函數(shù)在處有意義，則有；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．(3)用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟第一步：求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進(jìn)行下一步；第二步：求，若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).考點一函數(shù)的概念1．下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】B中，當(dāng)時，有兩個值和對應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，A，C，D滿足函數(shù)的定義，故選：B.2．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意且，所以函數(shù)的定義域是，故選：B．3．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．4．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①與的定義域是，而，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則不同，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；③與的定義域是，并且，對應(yīng)法則也相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)；④與是同一函數(shù)；所以是同一函數(shù)的是③④，故選：C.5．函數(shù)在區(qū)間上的值域為（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】，因此該函數(shù)的對稱軸為：，因為，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，而，所以最大值為，因此值域為，故選：C.6．已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方法一（配湊法）∵，∴.方法二（換元法）令，則，∴，∴.故選：A.7．已知函數(shù)為一次函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，解得，，，故選：A.8．若函數(shù)的定義域為，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，成立，當(dāng)時，成立，即，當(dāng)時，，解得，因此得，所以的范圍是，故選：A.9．已知，求的解析式．【答案】【解析】用－x替換中的x，得，由，解得．考點二函數(shù)的表示方法10．某公司準(zhǔn)備對一項目進(jìn)行投資，提出兩個投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】經(jīng)過年后，方案的投入為，則“經(jīng)過年之后，方案的投入不少于方案的投入”可以用不等式表示為，故選：D.11．已知是反比例函數(shù)，且，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，∵，，∴，故選：B.12．若函數(shù)和分別由下表給出，則不等式的解集為（

）x－10110－1x12301－1A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)x＝1時，；當(dāng)x＝2時，；當(dāng)x＝3時，，綜上，不等式的解集為，故選：C．13．設(shè)為一次函數(shù)，且．若，則的解析式為（

）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，其中，則，所以，，解得或.當(dāng)時，，此時，合乎題意；當(dāng)時，，此時，不合乎題意，綜上所述，，故選：B.考點三函數(shù)的性質(zhì)14．已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間是（）A．和 B．C．和 D．【答案】D【解析】二次函數(shù)的對稱軸為，并且開口向上，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即D選項正確；故選：D.15．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【解解析】函數(shù)的對稱軸為，開口向上，依題意可得，解得，即，故選：D16．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實數(shù)的取值范圍為，故選：C.17．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的解析式為______.【答案】【解析】因為是定義在上的奇函數(shù),所以,當(dāng)時,,所以,當(dāng)時,,所以.18．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故排除ABC，的定義域為，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選：D.19．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為為偶函數(shù)，所以，又因為且在上單調(diào)遞增，所以，所以，故選：B.20．利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．【答案】證明見解析【解析】證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間上任意兩個實數(shù)且，則，∵，∴，，．∴．即，，∴在上是減函數(shù)．21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，,則______________．【答案】12【解析】．22．已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，設(shè)，則為奇函數(shù)，，即，.故選：C23．定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】是定義在上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，在定義域上是減函數(shù)，且，即，故可知，即可解得，實數(shù)的取值范圍為