偏微(18)變分問題的近似計算

四、變分問題的近似計算4.1Ritz方法Ritz形式的變分問題（4.1）

求（4.1）的近似解求解（4.1）有困難K是無窮維的函數(shù)空間P197(2.6)四、變分問題的近似計算其維數(shù)為N,（4.3）

是實常數(shù)函數(shù)空間。

為試探我們稱一個有限維的子空間設(shè)K的上一組基函數(shù)為設(shè)（4.1）

四、變分問題的近似計算代替K，得到問題（4.1）的近似問題是（4.4）上討論極小問題，在（4.1）

四、變分問題的近似計算（4.5）式中

是已知的基函數(shù)，是已知的實數(shù)，

（4.4）四、變分問題的近似計算的極小問題就化為求以為

自變量的二次函數(shù)的極值問題,這就是1.3小節(jié)所描述的變分問題,（4.4）四、變分問題的近似計算現(xiàn)在系數(shù)矩陣是

是一個對稱矩陣。

驗證它的正定性,（4.4）對任意的非零向量四、變分問題的近似計算是非零的函數(shù),D的性質(zhì)得是對稱正定矩陣。是一個對稱矩陣。

P196四、變分問題的近似計算是近似變分問題（4.4）的解,（4.6）方程組（4.6）有惟一的解

（4.4）（4.4）式的解就是4.2Galerkin變分問題考慮Galerkin變分問題取K的有限維子空間代替K得近似變分問題代替K得近似變分問題（4.8）任意的元素為變分問題（4.8）的解為的表示式代入（4.8）式，確定對任意的

成立，都成立，（4.9）即對任意的N維向量

所以有4.3古典變分方法的數(shù)值例子例4.1兩點邊值問題P195(2.3)(2.4)取K的有限維子空間為多項式的函數(shù)空間。考慮邊界條件的基函數(shù)是的情形，中的函數(shù)可寫為設(shè)

由Galerkin方法（或Ritz方法）得到的代數(shù)方程組是中的函數(shù)可寫為設(shè)

P208(4.9)、(4.6)最后得近似解P208(4.9)P208(4.9)、(4.6)P208(4.9)P208(4.9)、(4.6)精確解為下面列出它和在幾個點的值做比較。00.250.50.75100.02810.03750.0281000.02030.03750.0359000.02050.03750.0361000.250.50.75100.02810.03750.0281000.02030.03750.0359000.02050.03750.03610更好的近似解,是否趨于零的問題。五、權(quán)余量方法及其它方法討論了變分原理及Galerkin-Ritz近似計算方法的原則。考慮的微分方程邊值問題是（5.1）

在（5.1）式的方程兩邊分別與函數(shù)作內(nèi)積，（5.2）

在（5.1）式的方程兩邊分別與函數(shù)作內(nèi)積，（5.2）滿足方程，應(yīng)提的條件，在積分式（5.2）中，條件可降低到及其直至2m階導(dǎo)數(shù)都平方可積,（5.1）

記這樣的函數(shù)集合為所以對應(yīng)(5.2)式,應(yīng)該要求屬于只要求屬于用Green公式（一維情形是分部積分）可以（5.2）（5.1）

的2m階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移一半到得到變分問題和Galerkin方法不盡相同,權(quán)余量方法可以看成是基于（5.2）式的一類方法,提出它的近似問題是（5.4）（5.2）有限維子空間而且權(quán)余量方法中,選擇子空間的維數(shù)相同。的一組基為的一組基為所以（5.5）（5.6）（5.2）將（5.5）和（5.6）式代入（5.2）式，由任意性得（5.7）剩余的N個帶權(quán)積分為零權(quán)函數(shù)是進(jìn)一步可列出的N個方程的方程組（5.5）（5.6）（5.2）將權(quán)余量方法看成在V中找N個線性無關(guān)的函數(shù)使（5.7）式成立。

最小二乘法的原理是使剩余的平方在平均的意義下最小。（5.7）如（5.5）式所示，則這樣得到N個代數(shù)方程（5.5）最小二乘法就是取權(quán)為方法，的權(quán)余量所以最小二乘法相當(dāng)于在問題（5.4）中取（5.5）配置法預(yù)先規(guī)