剛體習題課-修復的-

1一、基本概念1.剛體及其平動、轉動、定軸轉動2.轉動慣量3.轉動動能24.力矩及其功和功率（1）對轉軸的力矩（2）力矩的功（3）功率3（1）沖量矩5.沖量矩和動量矩（2）角動量（動量矩）剛體對固定轉動軸的角動量,等于它對該軸的轉動慣量和角速度的乘積。42.剛體定軸轉動的動能定理1.剛體定軸轉動的轉動定律二、基本規(guī)律3.剛體的角動量定理54.角動量守恒定律5.機械能守恒對于包括剛體的系統(tǒng),功能原理和機械能守恒定律仍成立。61.定軸轉動的運動學問題解法:利用定軸轉動的運動學描述關系三、習題基本類型

Ov定軸P

zr72.轉動慣量的計算解法:（1）定義法:（2）平行軸定理J=JC+md2（P261表5.1,記住）83.定軸轉動的動力學問題解法:利用定軸轉動中的轉動定律步驟:（1）審題,確定研究對象；（2）建立坐標系；（3）對研究對象進行受力分析和受力矩分析，并按坐標系的正方向寫出外力矩的表達式及規(guī)律方程（注:受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關系將F=ma與M=Jα聯(lián)系起來；（4）計算對軸的轉動慣量；（5）解方程求未知,必要的結果討論。9大家有疑問的,可以詢問和交流可以互相討論下,但要小聲點104.定軸轉動中的功能問題解法:利用動能定理和機械能守恒定律5.角動量原理及角動量守恒定律6.混合題型解法:應用運動學公式、轉動定律和角動量守恒定律。四、典型習題分析與講解115.2一汽車發(fā)動機的轉速在7.0s內由200rev/min均勻地增加到3000rev/min。

（1）求這段時間內的初角速度、末角速度及角加速度；（2）求這段時間內轉過的角度；（3）發(fā)動機軸上裝有一半徑為r=0.2m的飛輪,求它邊緣上一點在這第7.0s末的切向加速度、法向加速度和總加速度。（1）解:ω0=2π×200/60=20.9(rad/s)ω=2π×3000/60=314(rad/s)（2）12總加速度與速度（切向）之間的夾角（3）13已挖洞的圓板的轉動慣量J加上挖去的圓板補回原位后對原中心的轉動慣量J1就等于整個完整圓板對中心的轉動慣量J2即ROR/2C5.9從一半徑為R的均勻薄板上挖去一個直徑為R的圓板,所形成的圓洞中心在距原薄板中心R/2處,所剩薄板的質量為m。求此薄板對于通過原中心而與板面垂直的軸的轉動慣量。ROR/2C解:J=J2-

J114ROR/2C因薄板質量均勻,得155.12如圖,兩個圓輪的半徑分別為R1和R2,質量分別為M1、M2,二者皆可視作均勻圓柱體且同軸固結在一起,可繞一水平固定軸自由轉動。今在兩輪上繞有細繩,繩端分別掛上質量為m1和m2的兩個物體。求在重力作用下,m2下落時輪的角加速度。解:（向上為正）（向下為正）對m1、m2、整個滑輪分別進行受力分析,畫出示力圖（順時針為正）m1m2R2R1M1M2oa1T1m1ga2T2m2gαT1T216線角量關系（繩在輪上不打滑）:解得:m1m2R2R1M1M2oa1T1m1ga2T2m2gαT1T217M2R2M1R1m2m1例:求系統(tǒng)的加速度和拉力aT1T2T318轉動定律例題題解195.13一根均勻米尺,在60cm刻度處釘?shù)綁ι?且可以在豎直平面內自由轉動。先用手使米尺保持水平,然后釋放。求剛釋放時米尺的角加速度和米尺到豎直位置時的角速度。解:設米尺質量m，對懸點O:對米尺，手剛釋放時，由轉動定律:O

mgCl1l2●20ωCmgO

mgCl1l2●在米尺轉到豎直位置過程中，系統(tǒng)（尺+地球）機械能守恒:215.17坐在轉椅上的人手握啞鈴。兩臂伸直時，人、啞鈴和椅系統(tǒng)對豎直軸的轉動慣量為J1=2kg·m2。在外人推動后，此系統(tǒng)開始以n1=15r/min轉動，當人兩臂收回時，使系統(tǒng)的轉動慣量變?yōu)镴2=0.80kg·m2，它的轉速n2是多大？解:兩臂收回過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒？什么力做了功？做功多少？設軸上摩擦忽略不計。由于兩臂收回過程中,人體受的沿豎直軸的外力矩為零,所以系統(tǒng)沿此軸的角動量守恒兩臂收回時，系統(tǒng)的內力（臂力）做了功，所以系統(tǒng)的機械能不守恒。臂力做的總功為:22235.19如圖所示,均勻桿長L=0.40m,質量M=1.0kg,由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜止。今有一質量為m=8.0g的子彈以速度υ=200m/s水平射入桿中而不復出,射入點在軸下d=3L/4處。（1）求子彈停在桿中時桿的角速度。（2）求桿的最大偏轉角。解:ω?Lυ（1）系統(tǒng)（桿+子彈）,在碰撞過程中,合外力矩為0,因而系統(tǒng)的角動量守恒。（在俯視圖中,選⊙為正方向）24（2）系統(tǒng)（桿+子彈+地球）,上擺過程,只有重力（保守力）做功,系統(tǒng)的機械能守恒（選桿豎直時勢能為零）。?ωLC??θ255.20一轉臺繞豎直固定軸轉動，每轉一周需時間t=10s，轉臺對軸的轉動慣量為J=1200kg·m2。一質量為M=80kg的人，開始站在轉臺中心，隨后沿半徑向外跑去，當人離轉臺中心r=2m時轉臺的角速度多大？解:系統(tǒng)（人+轉臺）不受沿軸的外力矩，其角動量守恒，即:由此可得轉臺后來的角速度26習題集（力學）一、選擇題21一力學系統(tǒng)由兩個質點組成，它們之間只有引力作用，若兩.質點所受外力的矢量和為零，則此系統(tǒng):[](A)動量、機械能以及對一軸的角動量都守恒。(B)動量、機械能守恒，但角動量是否守恒不能斷定。(C)動量守恒，但機械能和角動量守恒與否不能斷定。(D)動量和角動量守恒，但機械能是否守恒不能斷定。C27ω=60rev/min=1rev/s=2πrad/s22（P5）一剛體以每分鐘60轉繞z軸做勻速轉動（沿z軸正方向）。設某時刻剛體上一點P的位置矢量為：為,其單位為“10-2m”，若以“10-2ms-1”為速度單位，則該時刻P點的速度為：（A）（B）（C）（D）分析:∴P點在轉動平面內對圓心o′的矢徑為:該時刻P點的速度為:∴選（B）2823（P5）質量為m的小孩站在半徑為R的水平平臺邊緣上，平臺可以繞通過其中心的豎直光滑固定軸自由轉動，轉動慣量為J。平臺和小孩開始時均靜止。當小孩突然以相對于地面為V的速率在臺邊沿逆時針轉向走動時，則此平臺相對地面旋轉的角速度和旋轉方向分別為:[]

（C），順時針；（D），逆時針。（B），逆時針；（A），順時針；A分析:29二、填空29.半徑為20cm的主動輪,通過皮帶拖動半徑為50cm的被動輪轉動。主動輪從靜止開始作勻角加速轉動,在4s內,被動輪的角速度達到8πrads-1,則主動輪在這段時間內轉過了___圈。則兩輪邊緣上點的線速度大小相等:主動輪在4s內的角位移20解:t=4s時，3030（P12）一可繞定軸轉動的飛輪,在20N·m的總力矩作用下,在10s內轉速由零均勻地增加到8rad/s,飛輪的轉動慣量J=。角加速度為解:利用轉動定律由剛體角動量定理即3131（P12）半徑為R具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細繩,繩的下端掛一質量為m的物體。繩的質量可以忽略,繩與定滑輪之間無相對滑動。若物體下落的加速度為a,則定滑輪對軸的轉動慣量J=。解:RmT′mgTa3232（P12）一飛輪以600rev/min的轉速旋轉,轉動慣量為2.5kg·m2,現(xiàn)加一恒定的制動力矩使飛輪在1s內停止運動,則該恒定制動力矩的大小M=。解:角加速度為:ω0=600rev/min=20π(rad/s),ω=0或:3333（P12）一長為l、重W的均勻梯子,靠墻放置如圖,梯子下端連一倔強系數(shù)為k的彈簧。當梯子靠墻豎直放置時,彈簧處于自然長度,墻和地面都是光滑的。當梯子依墻而與地面成θ角且處于平衡狀態(tài)時,(1)地面對梯子的作用力大小為。(2)墻對梯子的作用力大小為。(3)W、k、l、θ滿足的關系式。解:剛體平衡的條件BAθlWNANBf3434（P13）轉動著的飛輪的轉動慣量為J,在t=0時角速度為ω0。此后飛輪經歷制動過程,阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比,比例系數(shù)為k（k為大于0的常數(shù)）。當ω=ω0/3時,飛輪的角加速度β=____________。從開始制動到ω=ω0/3所經過的時間t=___________。解:由轉動定律M=Jβ當ω=ω0/3時,M=-

kω2分離變量再由3535長為l的桿如圖懸掛,o為水平光滑固定轉軸,平衡時桿鉛直下垂,一子彈水平地射入桿中,則在此過程中,系統(tǒng)對轉軸o的守恒。桿和子彈角動量?mM36（P13）地球的自轉角速度可以認為是恒定的,地球對于自轉軸的轉動慣量J=9.8×1037kg·m2。地球對自轉軸的角動量L=。解:剛體的角動量大小:3637（P13）質量分別為m和2m的兩物體（都可視為質點）,用一長為l的輕質剛性細桿相連,系統(tǒng)繞通過桿且與桿垂直的豎直固定軸o轉動,已知o軸離質量為2m的質點的距離為l/3,質量為m的質點的線速度為υ且與桿垂直,則該系統(tǒng)對轉軸的角動量大小為______。m●2m●oll/3解:剛體的角速度或3738（P13）動量矩定理的內容是,其數(shù)學表達式可寫成,動量矩守恒的條件是。轉動物體所受的合外力矩的沖量矩等于在合外力矩作用時間內轉動物體動量矩的增量物體所受合外力矩為零39（P14）如圖所示,一勻質木球固結在一細棒下端,且可繞水平光滑固定軸o轉動,今有一子彈沿著與水平面成一角度的方向擊中木球而嵌于其中,則在此擊中過程中,木球、子彈、細棒系統(tǒng)的守恒,原因是,在木球被擊中和球升高的過程中,對木球、子彈、細棒、地球系統(tǒng)的守恒。對o軸的角動量對該軸的合外力矩為零機械能?381.（習題集P19.20）以θ表末速度與彈簧長度方向的夾角。∴角動量守恒解:對滑塊+彈簧系統(tǒng),對滑塊+彈簧+地球系統(tǒng),機械能守恒。選彈簧原長時為彈性勢能零點,光滑水平面為重力勢能零點,則兩式聯(lián)立,可解出結果。(選⊙為正)六、補充練習392.（習題集P19.23）當人以相對于盤的速率υ沿與盤轉動相反方向走動時,盤對地的角速度為ω,人對地的角速度為ω′。解:(1)選⊙為正,有∵（人＋盤）系統(tǒng)對軸的合外力矩為0,∴角動量守恒:oRω40（1）（2）兩式聯(lián)立可得（2）欲使盤對地靜止,須“－”號表示人走動方向與上一問中人走動方向相反,即與盤初始轉動方向一致。413.（習題集P20.25）對（棒＋滑塊）系統(tǒng),在碰撞過程中,由于碰撞時間極短,棒所受的摩擦力矩＜＜滑塊的沖力矩,故可近似認為合外力矩為0,因而系統(tǒng)的角動量守恒。（在俯視圖中,選⊙為正方向）由角動量定理,設Mf為摩擦力矩,則解:42棒上x

處dx

段小質元:受摩擦力df=μgdm,對o軸的摩擦力矩dMf=xdf以上三式聯(lián)立,解得434對一個繞固定水平軸o勻速轉動的圓盤，沿如圖所示的同一水平直線從相反方向同時射入兩顆質量相同、速率相等的子彈，并留在盤中，則子彈射入后轉盤的角速度是否改變？如何變？解:（盤＋兩子彈）系統(tǒng)所受對O軸的合外力矩為0,兩子彈射入前對O軸的角動量等值、反向,正好抵消。當兩子彈射入后,系統(tǒng)對O的轉動慣量J'＞J,其角動量守恒:故射入前的Jω只是轉盤的角動量。故ω′＜ω,即轉盤的角速度減小。445靜止均勻細棒長為L,質量為M,可繞通過棒的端點且⊥棒長的光滑固定軸O在光滑水平面內轉動,轉動慣量為(ML2/3).一質量為m速率為v的子彈在水平面內沿與棒⊥的方向射入棒的自由端。設擊穿棒后子彈的速率減為υ/2,則此時棒的角速度為______。(A)mV/ML;(B)3mV/2ML;(C)5mV/3ML;(D)7mV/4ML.解:系統(tǒng)（子彈+桿）,對o軸選⊙為正向,則∴選（B）456一質量為m的小蟲,在有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤邊緣上,沿逆時針方向爬行,它相對于地面的速率為υ,此時圓盤正沿順時針方向轉動,相對于地面的角速度為ω0,設圓盤對中心軸的轉動慣量為J,若小蟲停止爬行,則圓盤的角速度為————。解:（蟲+盤）系統(tǒng),對O軸選為正向○×ω0O?mRυ46動量矩守恒特例有心力力矩總是零477質量為M，半徑為R的轉臺，可繞過中心的豎直軸轉動，不計阻力。一質量為m的人，站在臺的邊緣，人和臺原來都靜止，如果人沿臺邊緣跑一圈，人和臺各對地轉了多少角度？分析:動量矩守恒+相對運動（以地為參照）48人奔一周所需時間人對地轉過角度臺對地轉過角度49分析:對m沖量定理對M沖量矩定理uf向下為正例2一質量為M,長為2l的均勻細棒,可在豎直平面內通過其中心的水平軸轉動。開始時,細棒在水平位置,一質量為m的小球,以速度u垂直落到棒的端點。設小球與棒作完全彈性碰撞。求碰撞后,小球回跳速度及棒的角速度。(1)×l+(2)（動量矩守恒）（能量守恒）50故在曲線運動中可以為零（例如勻速圓周運動）。7對于曲線運動的物體，以下幾種說法中哪一種是正確的:（A）切向加速度必不為零。（B）法向加速度必不為零（拐點處除外）。（C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零。（D）若物體作勻速運動，其總加速度必為零。（E）若物體的加速度為恒矢量，它一定作勻變速率運動。[B]分析:切向加速度改變速度大小,法向加速度改變加速度方向,在曲線運動中不為零。答案為（B）（E）中,加速度為恒矢量,并不能說明為恒矢量,不一定作勻變速率運動。511一飛輪作勻減速轉動,在5s內角速度由40πrad?s-1減到10πrad?s-1,則飛輪在這5s內總共轉過了圈,飛輪再經的時間才能停止轉動二、填空題（共49分）解:由62.5得1.67s522圖示P、Q、R和S是附于剛性輕質細桿上的質量分別為4m、3m、2m和m的四個質點,PQ=QR=RS=l,則系統(tǒng)對OO’軸的轉動慣量為。由轉動慣量定義解:50ml2●●●PQRS●oo′53

T為繩子對物體（或繩子對輪軸）的拉力。三、計算題1一質量為m的物體懸于一條輕繩的一端,繩另一端繞在一輪軸的軸上,軸水平且垂直于輪軸面,其半徑為r,整個裝置架在光滑的固定軸承之上。當物體從靜止釋放后,在時間t內下降了一段距離S。試求整個輪軸的轉動慣量（用m、r、t和S表示）。mro解:

m、輪軸受力如圖。αTaTmg則根據(jù)牛頓運動定律和轉動定律得:①…2分②…2分③…2分④由已知條件⑤…2分將⑤代入④得:…2分542一均勻木桿,質量為m1=1kg,長l=0.4m,可繞通過它的中點且與桿身垂直的光滑水平固定軸,在豎直平面內轉動。設桿靜止于豎直位置時,一質量為m2=10g的子彈在距桿中點l/4處穿透木桿（穿透所用時間不計）,子彈初速度的大小υ0=200m/s,方向與桿和軸均垂直。穿出后子彈速度大小減為v=50m/s,但方向未變,求子彈剛穿出的瞬時,桿的角度速度的大小。（木桿繞通過中點的垂直軸的轉動慣量J=m1L2/12）解:在子彈穿過桿的過程中，子彈與桿系統(tǒng)因外力矩