空間向量立體幾何絕對(duì)經(jīng)典

推論:如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行已知非零向量的直線,那么對(duì)任一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式OP=OA+t其中向量叫做直線的方向向量.OABPa

若P為A,B中點(diǎn),則2.共面向量定理:如果兩個(gè)向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)使

推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使

或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有

注意：空間四點(diǎn)P、M、A、B共面實(shí)數(shù)對(duì)例1:已知m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點(diǎn)為B，且l⊥m，l⊥n，求證:l⊥。nmggmn

ll證明:在內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l(xiāng)·g=0∴l(xiāng)⊥g∴l(xiāng)⊥g這就證明了直線l垂直于平面內(nèi)的任一條直線，所以l⊥

鞏固練習(xí):利用向量知識(shí)證明三垂線定理aAOP復(fù)習(xí):2.向量的夾角:OAB向量的夾角記作:1.空間向量的數(shù)量積:5.向量的模長(zhǎng):4.有關(guān)性質(zhì):(1)兩非零向量(2)注意:此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。OABP3.A、B.P三點(diǎn)共線的充要條件A、B.P三點(diǎn)共線反過(guò)來(lái)，對(duì)空間任意兩個(gè)不共線的向量，，如果，那么向量與向量,有什么位置關(guān)系？C例5(課本例)已知ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O引向量求證:①四點(diǎn)E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.證明:∵四邊形ABCD為①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共面。證明:由面面平行判定定理的推論得:②由①知共線向量共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推論運(yùn)用判斷三點(diǎn)共線，或兩直線平行判斷四點(diǎn)共面，或直線平行于平面小結(jié)共面3）射影BAA1B1注意：在軸l上的正射影A1B1是一個(gè)可正可負(fù)的實(shí)數(shù)，它的符號(hào)代表向量與l的方向的相對(duì)關(guān)系，大小代表在l上射影的長(zhǎng)度。例2:已知:在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，

OB⊥AC，求證:OC⊥ABABCO

3.已知空間四邊形，求證：。證明:∵4.空間向量基本定理若三個(gè)向量a,b,c不共面,則對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量若空間向量的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量互相垂直,則稱這個(gè)基底為正交基底,若三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量,則稱這個(gè)基底為單位正交基底x1＝λx2,y1＝λy2,z1＝λz2(λ∈R)a//b(五)、空間位置關(guān)系的向量法:異面直線所成角的范圍:思考:結(jié)論:題型一：線線角線線角復(fù)習(xí)線面角二面角小結(jié)引入題型二:線面角直線與平面所成角的范圍:思考:結(jié)論:題型二：線面角線線角復(fù)習(xí)線面角二面角小結(jié)引入題型三：二面角二面角的范圍:關(guān)鍵:觀察二面角的范圍線線角復(fù)習(xí)線面角二面角小結(jié)引入2.E為平面α外一點(diǎn),F為α內(nèi)任意一點(diǎn),為平面α的法向量,則點(diǎn)E到平面的距離為:3.a,b是異面直線,E,F分別是直線a,b上的點(diǎn),是a,b公垂線的方向向量,則a,b間距離為幾何法坐標(biāo)法一.引入兩個(gè)重要的空間向量

1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).例1在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy解:以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD證明:設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解:以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而n=-2+0+2=0∴AB1∥平面DBC1例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1.CD的中點(diǎn),求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得:設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè):正方體的棱長(zhǎng)為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_(kāi)____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD解:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,那么M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),∴cosθ=|cosα|設(shè)DB1與CM所成角為θ,與所成角為α,于是：(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,設(shè)L與α所成的角θ,n與a所成的角α

則θ=α-或θ=-α

于是,因此θθnααnaa例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為,求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得由，解得，取y=,得n=(3,,0)，設(shè)與n夾角為α而∴故:AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30°.（3）二面角設(shè)n1、n2分別是二面角兩個(gè)半平面α、β的法向量,由幾何知識(shí)可知,二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)）,于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角,這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2αβn1n2例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°,側(cè)棱SA⊥底面AC,SA=AB=BC=1,AD=2,求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的大小為.例8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見(jiàn),選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí),與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無(wú)關(guān).會(huì)求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來(lái)求.