2024-2025學年江蘇省無錫市新吳區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2024-2025學年江蘇省無錫市新吳區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分．）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正確的是A． B． C． D．3．（3分）的半徑為，點到圓心的距離為2，若點在外，則A． B． C． D．4．（3分）關于的一元二次方程的根的情況是A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能判斷5．（3分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在A．的三條中線的交點 B．三條高所在直線的交點 C．三條角平分線的交點 D．以上都不對6．（3分）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米，則道路的寬應為多少米？設道路的寬為米，則可列方程為A． B． C． D．7．（3分）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．8．（3分）有下列結論：（1）三點確定一個圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各頂點的距離相等；（4）弧長相等的弧是等?。渲姓_結論的個數(shù)有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．（3分）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”此問題即：“如圖所示，垂直平分弦，寸，寸，求圓的直徑”尺寸）根據(jù)題意直徑長為A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸10．（3分）如圖，點的坐標是，點是以為直徑的上的一動點，點關于點的對稱點為點，則的最大值為A．3 B． C．6 D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置）11．（3分）已知是方程的一個根，則實數(shù)的值是．12．（3分）寫出一個根為的一元二次方程：．13．（3分）一個圓錐的母線長為13，底面圓的半徑為5，則此圓錐的側面積是．14．（3分）已知三角形的邊長分別是3，4，5，則它的外接圓的半徑是．15．（3分）如圖，是的直徑，點在的延長線上，切于點，若，則的度數(shù)為．16．（3分）如圖，用一個半徑為的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了，假設繩索粗細不計，且與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了．（結果保留17．（3分）已知，，3分別是等腰三角形三邊的長，且，是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．18．（3分）如圖，在扇形中，，，點在半徑上，將△沿著翻折，點的對稱點恰好落在弧上，再將弧沿著翻折至弧（點是點的對稱點），那么的長為．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．20．（8分）已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程有一個根為，求的值及另一個根．21．（10分）如圖，點是內(nèi)一定點．（1）過點作弦，使點是的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若的半徑為13，，①求過點的弦的長度范圍；②過點的弦中，長度為整數(shù)的弦有條．22．（10分）如圖，已知、、均在上，請用無刻度直尺作圖．（1）若，求作一個的角；（2）、分別是、邊中點，求作的內(nèi)心．23．（10分）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，則陰影部分的面積？24．（10分）如圖，是的直徑，點在上，，垂足為，點與點在直徑的兩側，且，、的延長線交于點，與的延長線交于點．（1）判斷△的形狀，并說明理由．（2）若的半徑為5，，求的長．25．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元個，測算在市場中，當售價為40元個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元個？26．（10分）如果關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個根是，，則方程是“倍根方程”．（1）根據(jù)上述定義，一元二次方程（填“是”或“不是”“倍根方程”；（2）若是“倍根方程”，求與的關系；（3）若關于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之間的關系．27．（10分）【給出問題】如圖1，正方形內(nèi)接于，是的中點，連接，．求證：；【深入思考】如圖2，正方形內(nèi)接于，點為上任意一點，連接、、，請?zhí)骄俊?、三者之間有何數(shù)量關系，并給予證明．【拓展應用】如圖3，若四邊形是矩形，點為邊上一點，，，，試求矩形的面積．28．（10分）已知線段，射線垂直于，點在射線上，設，點在經(jīng)過點且平行于的直線上運動，的平分線交直線于點，過點作，交線段于點，連接交于點，以為圓心，為半徑作圓．（1）判斷與的位置關系：；（2）已知的半徑為3，當所在直線與相切時，求的長；（3）當時，若與線段只有一個公共點，則的半徑的取值范圍是多少？

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是A． B． C． D．解：．該方程是一元二次方程，故本選項符合題意；．該方程是二元二次方程，故本選項不符合題意；．該方程是一元一次方程，故本選項不符合題意；．該方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：．2．（3分）用配方法解一元二次方程，配方正確的是A． B． C． D．解：，移項，得，配方，得，即，故選：．3．（3分）的半徑為，點到圓心的距離為2，若點在外，則A． B． C． D．解：點在外，，的半徑為，點到圓心的距離為2，．故選：．4．（3分）關于的一元二次方程的根的情況是A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能判斷解：由題意得，△，原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：．5．（3分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在A．的三條中線的交點 B．三條高所在直線的交點 C．三條角平分線的交點 D．以上都不對解：三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在三條角平分線的交點．故選：．6．（3分）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米，則道路的寬應為多少米？設道路的寬為米，則可列方程為A． B． C． D．解：由題意有，故選：．7．（3分）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．解：四邊形內(nèi)接于，，而，，．故選：．8．（3分）有下列結論：（1）三點確定一個圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各頂點的距離相等；（4）弧長相等的弧是等?。渲姓_結論的個數(shù)有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個解：（1）不共線的三點確定一個圓，故不符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故不符合題意；（3）三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等，故符合題意；（4）在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等弧，故不符合題意．故選：．9．（3分）“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”此問題即：“如圖所示，垂直平分弦，寸，寸，求圓的直徑”尺寸）根據(jù)題意直徑長為A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸解：連接，，垂直平分弦，寸，寸，寸，在中，，即，解得：，故圓的直徑為26寸，故選：．10．（3分）如圖，點的坐標是，點是以為直徑的上的一動點，點關于點的對稱點為點，則的最大值為A．3 B． C．6 D．解：連接，，，，點關于點的對稱點為點，，點在以為圓心，3為半徑的圓上運動，令，則，要求值最大，越往上越大，當直線于相切時，最大，設直線于軸交于點，切點為，連接，則，由直線比例系數(shù)可知，直線與坐標軸所夾銳角為，△為等腰直角三角形，，即，最大值為，故選：．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應的位置）11．（3分）已知是方程的一個根，則實數(shù)的值是2．解：是方程的一個根，，解得：，故答案為：2．12．（3分）寫出一個根為的一元二次方程：（答案不唯一）．解：因為一元二次方程的一個根為，所以這個方程可以為：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．13．（3分）一個圓錐的母線長為13，底面圓的半徑為5，則此圓錐的側面積是．解：此圓錐的側面積．故答案為．14．（3分）已知三角形的邊長分別是3，4，5，則它的外接圓的半徑是2.5．解：設中，，，，如圖1，，，是直角三角形，且，取邊的中點，，，，三點在以為圓心，為半徑的圓上，即是的外接圓，，的外接圓的半徑為2.5，故答案為：2.5．15．（3分）如圖，是的直徑，點在的延長線上，切于點，若，則的度數(shù)為．解：如圖，連接，切于點，，，，，，故答案為：．16．（3分）如圖，用一個半徑為的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了，假設繩索粗細不計，且與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了．（結果保留解：由題意得，重物上升的距離是半徑為，圓心角為所對應的弧長，即，故答案為：．17．（3分）已知，，3分別是等腰三角形三邊的長，且，是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為5或6．解：①當、為腰時，，、是關于的一元二次方程的兩個根，方程有兩個相等的實數(shù)根，△，解得：；②當和3（或和是腰時，，把代入方程得，解得：；所以或6．故答案為：5或6．18．（3分）如圖，在扇形中，，，點在半徑上，將△沿著翻折，點的對稱點恰好落在弧上，再將弧沿著翻折至弧（點是點的對稱點），那么的長為．解：如圖，連接，由翻折的性質可知，，，，，，，△是正三角形，，，設，則，，在△中，，，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），．故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．解：（1），，，；（2），，或，，．20．（8分）已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若方程有一個根為，求的值及另一個根．解：（1）關于的一元二次方程有實數(shù)根，△，解得：．（2）將代入原方程，，解得：，原方程為，解得：，．的值為5，方程的另一個根為．21．（10分）如圖，點是內(nèi)一定點．（1）過點作弦，使點是的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若的半徑為13，，①求過點的弦的長度范圍；②過點的弦中，長度為整數(shù)的弦有4條．解：（1）如圖1，連接并延長，過點作，則弦即為所求；（2）①過點的所有弦中，直徑最長為26，與垂直的弦最短，連接，如圖2所示：，，，過點的弦的長度范圍為；②過點最長的弦為直徑26，最短的弦24，長度為25的弦有兩條，過點的弦中，長度為整數(shù)的弦共有4條，故答案為：4．22．（10分）如圖，已知、、均在上，請用無刻度直尺作圖．（1）若，求作一個的角；（2）、分別是、邊中點，求作的內(nèi)心．解：（1）如圖1，為所作；（2）如圖2，點為所作．23．（10分）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，則陰影部分的面積？【解答】（1）證明：連接，，是的直徑，，，，，是的中位線，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，陰影部分的面積的面積的面積扇形的面積．24．（10分）如圖，是的直徑，點在上，，垂足為，點與點在直徑的兩側，且，、的延長線交于點，與的延長線交于點．（1）判斷△的形狀，并說明理由．（2）若的半徑為5，，求的長．解：（1）△是等腰三角形，理由：，，，，，，是的直徑，，于點，，，，，△是等腰三角形．（2）的半徑為5，，，，，，，△△，，，，，，且，，，，，，，解得，的長是．25．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元個，測算在市場中，當售價為40元個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元個？解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為．（2）設該品牌頭盔的實際售價為元，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．26．（10分）如果關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，其中一個實數(shù)根是另一個實數(shù)根的2倍，那么稱這樣的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的兩個根是，，則方程是“倍根方程”．（1）根據(jù)上述定義，一元二次方程是（填“是”或“不是”“倍根方程”；（2）若是“倍根方程”，求與的關系；（3）若關于的一元二次方程是“倍根方程”，求，，之間的關系．解：（1），，解得，，故該方程是倍根方程；故答案為：是；（2），或，解得，，是“倍根方程”，或，或；（3）；理由如下：一元二次方程是倍根方程，設方程的兩根分別為，，根據(jù)根與系數(shù)的關系得，