湘教 八下 數(shù)學 第1章《角平分線的性質》課件

1.4角平分線的性質第一章直角三角形逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2角平分線的性質定理角平分線的性質定理的逆定理三角形的角平分線的性質定理(拓展點)知1－講感悟新知知識點角平分線的性質定理1性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質定理的兩個必要條件：(1)點在角的平分線上；(2)這個點到角的兩邊的距離即點到角的兩邊的垂線段的長度，兩者缺一不可.感悟新知知1－講特別提醒利用角平分線的性質證明線段相等時，證明的線段是“垂直于角的兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.感悟新知數(shù)學語言：如圖1.4－1，∵OC

平分∠AOB，點P是OC

上一點，PD⊥OA

于點D，PE⊥OB

于點E，∴PD=PE.知1－講知1－練感悟新知[期中·長沙]如圖1.4－2，在△ABC

中，AB=AC，AD平分∠

BAC，DE⊥AB

于點E，DF⊥AC于點F，求證：BE=CF.例1知1－練感悟新知解題秘方：在圖中找出符合角平分線性質的模型，可得DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，進而證明Rt△BDE

≌Rt△CDF，從而得到BE=CF.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法1.在證明兩條線段相等時，若兩條線段分別在兩個三角形中，可考慮使用全等三角形或角平分線的性質，若條件中有垂直和角平分線，則優(yōu)先考慮使用角平分線的性質.2.運用角平分線的性質證明線段相等時，不需要證三角形全等.知1－練感悟新知[中考·長沙]如圖1.4－3，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC

于點D，DE⊥AB，垂足為E，若BC=4，DE=1.6，則BD的長為______.例2

知1－練感悟新知解：∵AD

平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，DE=1.6，∴CD=DE=1.6.∵BC=4，∴BD=BC－CD=4－1.6=2.4.解題秘方：先根據(jù)角平分線的性質得到線段相等，再根據(jù)線段的和差求得結果．答案：2.4知1－練感悟新知解法指導角平分線的性質定理是由角之間的數(shù)量關系得到線段之間的數(shù)量關系，因此角平分線的性質定理常用于證明線段相等.知1－練感悟新知如圖1.4－4，在△ABC

中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點E，S

△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的長.例3解題秘方：緊扣總體面積等于各部分面積的和求解.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法運用角平分線的性質解決問題時，條件中必須有角平分線性質定理的兩個必要條件，若缺少某個必要條件，則可以通過作輔助線補充完整.感悟新知知2－講知識點角平分線的性質定理的逆定理21.角平分線的性質定理的逆定理：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.數(shù)學語言：如圖1.4－5，∵點P

為∠AOB

內一點，PD

⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P

在∠AOB的平分線OC

上.感悟新知知2－講2.角平分線的性質定理及其逆定理的關系：(1)如圖1.4－5，都與垂直有關，即條件PD⊥OA，PE⊥OB

都具備；(2)點在角的平分線上

(角的內部的)點到角兩邊的距離相等.知2－講感悟新知特別提醒1.使用該定理的前提是這個點必須在角的內部.2.角平分線的性質定理的逆定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用全等三角形的性質證兩角相等更方便快捷.感悟新知知2－練如圖1.4－6，BE=CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF

和CE交于點D.求證：AD平分∠BAC.例4知2－練感悟新知解題秘方：利用角平分線的性質定理的逆定理證明角平分線時，緊扣點在角的內部且點到角兩邊的距離相等進行證明.知2－練感悟新知方法證明角平分線的方法思路:(1)從數(shù)量上證明被要證的射線分成的兩個角相等.(2)從形上證明角的內部的點到角的兩邊的距離相等.即只需從要證的射線上的某一點向角的兩邊作垂線段，再證明垂線段相等即可.這樣把證“某線是角的平分線”的問題轉化為證“垂線段相等”的問題，體現(xiàn)了轉化思想.知2－練感悟新知

感悟新知知3－講知識點三角形的角平分線的性質定理（拓展點）3三角形的角平分線的性質定理：三角形的三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.這一點叫三角形的內心.感悟新知知3－講數(shù)學語言：如圖1.4－7，在△ABC

中，AD，BM，CN分別是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線，則AD，BM，CN交于點O，且點O

到三邊BC，AB，AC

的距離相等，即OE=OG=OF.知3－講感悟新知要點解讀三角形的三條角平分線相交于三角形內一點，且該點到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內部到三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點.知3－練感悟新知如圖1.4－8，直線a，b，c表示三條相互交叉而建的公路，現(xiàn)在要建立一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，問：可供選擇的地址有多少個？例5解題秘方：緊扣角平分線的性質定理解題.知3－練感悟新知解：如圖1.4－9，∵△ABC的內角平分線的交點到三角形的三邊的距離相等，∴△ABC的內角平分線的交點滿足條件.點P

是△ABC的兩條外角平分線的交點，過點P

作PE

⊥a，PD⊥b，PF⊥c，垂足分別為E，D，F(xiàn)，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，知3－練感悟新知∴點P到△ABC

的三邊的距離相等，即△ABC

的兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，滿足條件的點有3個.綜上，到三條公路的距離相等的點有4個，∴可供選擇的地址有