湘教 八下 數(shù)學(xué) 第1章《角平分線的性質(zhì)》課件

1.4角平分線的性質(zhì)第一章直角三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2角平分線的性質(zhì)定理角平分線的性質(zhì)定理的逆定理三角形的角平分線的性質(zhì)定理(拓展點(diǎn))知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理1性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)定理的兩個(gè)必要條件：(1)點(diǎn)在角的平分線上；(2)這個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離即點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長(zhǎng)度，兩者缺一不可.感悟新知知1－講特別提醒利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等時(shí)，證明的線段是“垂直于角的兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.感悟新知數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖1.4－1，∵OC

平分∠AOB，點(diǎn)P是OC

上一點(diǎn)，PD⊥OA

于點(diǎn)D，PE⊥OB

于點(diǎn)E，∴PD=PE.知1－講知1－練感悟新知[期中·長(zhǎng)沙]如圖1.4－2，在△ABC

中，AB=AC，AD平分∠

BAC，DE⊥AB

于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：BE=CF.例1知1－練感悟新知解題秘方：在圖中找出符合角平分線性質(zhì)的模型，可得DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，進(jìn)而證明Rt△BDE

≌Rt△CDF，從而得到BE=CF.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法1.在證明兩條線段相等時(shí)，若兩條線段分別在兩個(gè)三角形中，可考慮使用全等三角形或角平分線的性質(zhì)，若條件中有垂直和角平分線，則優(yōu)先考慮使用角平分線的性質(zhì).2.運(yùn)用角平分線的性質(zhì)證明線段相等時(shí)，不需要證三角形全等.知1－練感悟新知[中考·長(zhǎng)沙]如圖1.4－3，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC

于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若BC=4，DE=1.6，則BD的長(zhǎng)為______.例2

知1－練感悟新知解：∵AD

平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，DE=1.6，∴CD=DE=1.6.∵BC=4，∴BD=BC－CD=4－1.6=2.4.解題秘方：先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到線段相等，再根據(jù)線段的和差求得結(jié)果．答案：2.4知1－練感悟新知解法指導(dǎo)角平分線的性質(zhì)定理是由角之間的數(shù)量關(guān)系得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，因此角平分線的性質(zhì)定理常用于證明線段相等.知1－練感悟新知如圖1.4－4，在△ABC

中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)E，S

△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的長(zhǎng).例3解題秘方：緊扣總體面積等于各部分面積的和求解.知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，條件中必須有角平分線性質(zhì)定理的兩個(gè)必要條件，若缺少某個(gè)必要條件，則可以通過(guò)作輔助線補(bǔ)充完整.感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理21.角平分線的性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖1.4－5，∵點(diǎn)P

為∠AOB

內(nèi)一點(diǎn)，PD

⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P

在∠AOB的平分線OC

上.感悟新知知2－講2.角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的關(guān)系：(1)如圖1.4－5，都與垂直有關(guān)，即條件PD⊥OA，PE⊥OB

都具備；(2)點(diǎn)在角的平分線上

(角的內(nèi)部的)點(diǎn)到角兩邊的距離相等.知2－講感悟新知特別提醒1.使用該定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部.2.角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用全等三角形的性質(zhì)證兩角相等更方便快捷.感悟新知知2－練如圖1.4－6，BE=CF，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF

和CE交于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC.例4知2－練感悟新知解題秘方：利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理證明角平分線時(shí)，緊扣點(diǎn)在角的內(nèi)部且點(diǎn)到角兩邊的距離相等進(jìn)行證明.知2－練感悟新知方法證明角平分線的方法思路:(1)從數(shù)量上證明被要證的射線分成的兩個(gè)角相等.(2)從形上證明角的內(nèi)部的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.即只需從要證的射線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，再證明垂線段相等即可.這樣把證“某線是角的平分線”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證“垂線段相等”的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.知2－練感悟新知

感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)三角形的角平分線的性質(zhì)定理（拓展點(diǎn)）3三角形的角平分線的性質(zhì)定理：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.這一點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心.感悟新知知3－講數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖1.4－7，在△ABC

中，AD，BM，CN分別是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線，則AD，BM，CN交于點(diǎn)O，且點(diǎn)O

到三邊BC，AB，AC

的距離相等，即OE=OG=OF.知3－講感悟新知要點(diǎn)解讀三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn).知3－練感悟新知如圖1.4－8，直線a，b，c表示三條相互交叉而建的公路，現(xiàn)在要建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，問(wèn)：可供選擇的地址有多少個(gè)？例5解題秘方：緊扣角平分線的性質(zhì)定理解題.知3－練感悟新知解：如圖1.4－9，∵△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等，∴△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件.點(diǎn)P

是△ABC的兩條外角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P

作PE

⊥a，PD⊥b，PF⊥c，垂足分別為E，D，F(xiàn)，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，知3－練感悟新知∴點(diǎn)P到△ABC

的三邊的距離相等，即△ABC

的兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足條件的點(diǎn)有3個(gè).綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，∴可供選擇的地址有