人教 八下 數(shù)學(xué) 第17章《勾股定理的逆定理》課件

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2互逆命題和互逆定理勾股定理的逆定理勾股數(shù)知識(shí)點(diǎn)互逆命題和互逆定理知1－講1定義關(guān)系互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題(1)命題有真有假，而定理都是正確的，即都是真命題.(2)每個(gè)命題都有逆命題，但不是所有定理都有逆定理互逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱(chēng)其為原定理的逆定理，這兩個(gè)定理稱(chēng)為互逆定理知1－講特別解讀1.原命題的真假和逆命題的真假?zèng)]有必然聯(lián)系，原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，其逆命題也不一定是假命題.2.判斷一個(gè)命題是真命題需要證明，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可.知1－練例1判斷下列命題的真假，寫(xiě)出逆命題并判斷真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.解題秘方：緊扣互逆命題“題設(shè)、結(jié)論正好相反”這一特征改寫(xiě)命題.知1－練解：(1)原命題是真命題.逆命題：如果兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么它們相交.逆命題是真命題.(2)原命題是假命題.逆命題：如果a2>b2，那么a>b.逆命題是假命題.(3)原命題是真命題.逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的和為零，那么它們互為相反數(shù).逆命題是真命題.(4)原命題是假命題.逆命題：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命題是真命題.知1－練1－1.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題的真假：(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果x＝4，那么x2＝16；解：逆命題：如果ab＝0，那么a＝0.假命題．逆命題：如果x2＝16，那么x＝4.假命題．知1－練(3)面積相等的三角形是全等三角形；(4)在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊.解：逆命題：全等三角形的面積相等．真命題．逆命題：在一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角．真命題．知1－練定理“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”是否有逆定理？請(qǐng)說(shuō)明理由.解題秘方：通過(guò)寫(xiě)逆命題并判斷其真假說(shuō)明是否存在逆定理.例2知1－練解：原定理有逆定理.理由如下：定理的逆命題：在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.可以證明其為真命題：已知：如圖17.2－1，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn)，且PE＝PF.求證：OP

是∠AOB

的平分線.知1－練

知1－練

B知2－講知識(shí)點(diǎn)勾股定理的證明21.勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c

滿(mǎn)足

a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟知2－講3.勾股定理與其逆定理的關(guān)系勾股定理勾股定理的逆定理?xiàng)l件在Rt△ABC

中，∠A，∠B，∠C

的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠C＝90°在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2結(jié)論a2＋b2＝c2△ABC

為直角三角形，且∠C＝90°知2－講續(xù)表勾股定理勾股定理的逆定理關(guān)系知2－講特別提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一個(gè)依據(jù)，在判定時(shí)不能說(shuō)“在直角三角形中”“直角邊”“斜邊”，因?yàn)檫€沒(méi)有確定是直角三角形.2.a2＋b2＝c2只是一種表現(xiàn)形式，滿(mǎn)足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2的也是直角三角形，只是這時(shí)a或b為斜邊長(zhǎng).知2－練判斷滿(mǎn)足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c

滿(mǎn)足a∶b∶c＝1∶1∶2.例3解題秘方：緊扣“直角三角形的定義”和“勾股定理的逆定理”進(jìn)行判斷.知2－練

已知比例式，設(shè)參數(shù)，表示邊長(zhǎng)知2－練方法總結(jié)：直角三角形的判定方法(1)用角判定：①(定義法)有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形；②(判定定理)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；(2)用邊判定：勾股定理的逆定理.知2－練知識(shí)拓展設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c(c為最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)).(1)如果a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；(2)如果a2＋b2＜c2，那么這個(gè)三角形是鈍角三角形；(3)如果a2＋b2＞c2，那么這個(gè)三角形是銳角三角形.知2－練3－1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠B＝∠C－

∠AB.a2＝(b＋c)(b－c)C.∠A∶∠B∶∠C

＝5∶4∶3D.a∶b∶c＝5∶4∶3C知3－講知識(shí)點(diǎn)勾股數(shù)31.勾股數(shù)定義能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)意義某些三角形能根據(jù)勾股數(shù)快速判斷是否為直角三角形常見(jiàn)勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)有3，4，5(這是最著名的一組，俗稱(chēng)“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等勾股數(shù)有無(wú)數(shù)組知3－講特別提醒以勾股數(shù)為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，但是能構(gòu)成直角三角形的三條邊的數(shù)不一定是勾股數(shù).知3－講

不是正整數(shù)知3－講拓寬視野1.畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的勾股數(shù)組：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1(n為正整數(shù)).當(dāng)n＝2時(shí)，可以得到一組勾股數(shù)5，12，13.2.柏拉圖發(fā)現(xiàn)的勾股數(shù)組：2m，m2－1，m2＋1(m>1且m是正整數(shù)).當(dāng)m＝4時(shí)，可以得到一組勾股數(shù)8，15，17.知3－練下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是()A.6，7，8 B.5，8，13C.1.5，2，2.5 D.21，28，35解題秘方：根據(jù)“勾股數(shù)必須滿(mǎn)足的兩個(gè)條件(1)三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；(2)兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方”進(jìn)行判斷.例4知3－練答案：D解：根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿(mǎn)足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c

稱(chēng)為勾股數(shù).A.62＋72≠82，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；B.52＋82≠132，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；C.1.5和2.5不是正整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；D.212＋282＝352，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確.知3－練方法技巧：判斷一組數(shù)是否為勾股數(shù)的步驟知3－練

B知3－練

C勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理互逆命題原命題作用勾股數(shù)判定直角勾股定理原定理由數(shù)到形由形到數(shù)逆命題逆命題互逆命題題型利用勾股定理及其逆定理解決邊角問(wèn)題1如圖17.2－2，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6.求BC

的長(zhǎng).例5類(lèi)型1求線段的長(zhǎng)思路引導(dǎo)：

方法總結(jié)倍長(zhǎng)中線法：當(dāng)出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，一般要延長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)的部分與中線等長(zhǎng)(倍長(zhǎng)中線法)，構(gòu)造全等三角形，把已知條件轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中進(jìn)行計(jì)算或證明.如圖17.2－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB＝1，PC＝2，PA＝3.求∠BPC

的度數(shù).例6類(lèi)型2求角的度數(shù)思路引導(dǎo)：解：如圖17.2－3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CP，并截取CE＝CP，連接BE，PE，則△PCE為等腰直角三角形.∴∠CPE＝45°，PE2＝PC2＋CE2＝8.∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCE＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCE.又∵AC＝BC，CP＝CE，∴△APC

≌△BEC(SAS).∴

BE＝PA＝3.

∵

PB＝1，∴

PE2＋PB2＝BE2

.

∴△BPE

是直角三角形，且∠BPE＝90°.∴∠BPC＝∠CPE＋∠BPE＝45°＋90°＝135°.思路集中已知條件解決問(wèn)題：當(dāng)已知長(zhǎng)度的三條線段共點(diǎn)時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造全等三角形，將已知線段(或根據(jù)已知條件能求出長(zhǎng)度的線段)集中在一個(gè)三角形中，進(jìn)而尋找解決問(wèn)題的方法.模型解讀構(gòu)造“手拉手”模型的方法圖示解讀已知AB

＝AC，∠BAC＝α，作∠DAE＝α，且AD＝AE，則可證△ABD≌△ACE(SAS).題型利用勾股定理及其逆定理解決面積問(wèn)題2如圖17.2－4，已知AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝24，DA＝26.求四邊形ABCD的面積.例7思路引導(dǎo)：

技巧求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，就目前所學(xué)的知識(shí)來(lái)說(shuō)作輔助線應(yīng)遵循的幾個(gè)原則：1.作垂線或垂線段構(gòu)造直角三角形；2.分割或補(bǔ)充圖形使之由不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形；3.盡可能把具有勾股數(shù)特征的線段匯聚到一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形.題型利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題3如圖17.2－5，南北方向的領(lǐng)海線PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海區(qū)域，以西為公海．例8某日22點(diǎn)30分，我邊防反偷渡巡邏號(hào)艇A發(fā)現(xiàn)其正西方向有一可疑船只C正向我國(guó)的領(lǐng)?？拷?，便立即通知正處于PQ上的巡邏艇B注意其動(dòng)向．經(jīng)觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)A艇與可疑船只C之間的距離為10海里，A，B兩艇之間的距離為6海里，B艇與可疑船只C之間的距離為8海里．若該可疑船只的航行速度為12.8海里/時(shí)，則它最早在何時(shí)進(jìn)入我國(guó)的領(lǐng)海

區(qū)域？思路引導(dǎo)：

另解由題意得∠ADB＝∠BDC＝90°，∴在Rt△ADB和Rt△BDC中，BD2＝AB2－AD2＝BC2－CD2，即62－(10－CD)2＝82－CD2，解得CD＝6.4.

方法轉(zhuǎn)化思想在勾股定理的逆定理中的應(yīng)用：解此類(lèi)實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，我們應(yīng)從實(shí)際問(wèn)題入手，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.例如，要求該可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海，必須首先確定該可疑船只進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的航行路線,由“垂線段最短”可知線段CD的長(zhǎng)即為該可疑船只進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的最短距離，因此，計(jì)算CD的長(zhǎng)即為解題的關(guān)鍵.題型利用勾股定理及其逆定理判斷兩線的位置關(guān)系3如圖17.2－6，在正方形ABCD中，E為AD的三等分點(diǎn)，G為DC上一點(diǎn)，且DG∶GC＝2∶7，那么BE與EG

垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.例9解題秘方：判斷兩條線段的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為判斷兩條線段所在的三角形為直角三角形.解：BE

與EG

垂直.理由如下：如圖17.2－6，連接BG.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9x.∵

E為AD的三等分點(diǎn)，∴

AE＝3x.∴

ED＝6x.∵

DG∶GC＝2∶7，∴

DG＝2x，CG＝7x.在Rt△AEB中，∵

AB＝9x，AE＝3x，∴

BE2＝AB2＋AE2＝(9x)2＋(3x)2＝90x2.同理可得EG2＝ED2＋DG2＝(6x)2＋(2x)2＝40x2，BG2＝BC2＋CG2＝(9x)2＋(7x)2＝130x2.∵90x2＋40x2＝130x2，即BE2＋EG2＝BG2，∴△BEG

是直角三角形，且∠BEG＝90°.∴

BE⊥EG.思路BE與EG不在同一個(gè)三角形中，如果要用勾股定理的逆定理證明BE與EG垂直，就需要連接BG，構(gòu)造△BEG

.方法本題利用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)對(duì)邊長(zhǎng)的計(jì)算，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形來(lái)判定兩條線段垂直.易錯(cuò)點(diǎn)運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時(shí)易受思維定式的影響而出錯(cuò)

例10

診誤區(qū)：利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀時(shí)，我們不能簡(jiǎn)單地看兩邊a，b的平方和是否等于邊c的平方，而應(yīng)先比較a，b，c的大小，找出最大邊長(zhǎng)，再分別計(jì)算出三邊長(zhǎng)的平方，最后看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.[中考·無(wú)錫]請(qǐng)寫(xiě)出命題“如果a>b，那么b－a<0”的逆命題：_________________________.考法逆命題與逆定理1例11如果b－a<0，那么a>b試題評(píng)析：本題考查了逆命題，解題的關(guān)鍵是了解交換一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論即可得到這個(gè)命題的逆命題．解：命題“如果a>b，那么b－a<0”的逆命題是“如果b－a<0，那么a>b”.[中考·濟(jì)寧]如圖17.2－7，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段AB，CD交于點(diǎn)F，若∠CFB＝α，則∠ABE

等于(

)A.180°－α

B.180°－2αC.90°＋α

D.90°＋2α考法利用勾股定理的逆定理確定角的度數(shù)2例12試題評(píng)析：本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是先應(yīng)用勾股定理的逆定理判定某個(gè)三角形為直角三角形，再進(jìn)行角度的計(jì)算.

答案：C

考法勾股數(shù)的應(yīng)用3例13m試題評(píng)析：本題考查了勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出a2，b2，c2之間的關(guān)系.

1.下列命題的逆命題是真命題的為()A.如果a>0，b>0，則a＋b>0B.直角都相等C.兩直線平行，同位角相等D.若a＝6，則|a|＝|6|C2.[期中·三明永安市]下列定理中沒(méi)有逆定理的是(

)A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行B．對(duì)頂角相等C．等腰三角形兩底角相等D．直角三角形中，兩銳角互余B3.[中考·益陽(yáng)]已知M，N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長(zhǎng)為半徑畫(huà)?。辉僖渣c(diǎn)B

為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC

一定是(

)A．銳角三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等腰三角形B4.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿__________方向航行.北偏東50°

5.如圖所示的一塊地，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥

DC，AB＝13m，BC＝12m，則這塊地的面積為_(kāi)________.24m26.勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．

柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為2m(m≥3，m

為正整數(shù))，則其弦是________(結(jié)果用含m

的式子表示).m2＋17.[月考·福州福清市]如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上(每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn))．按要求回答問(wèn)題：(1)直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)；

8.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，已知OA＝4，OB＝3，OC＝5，求∠AOB的度數(shù)．解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC.可將△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連接EO，如圖，則BE＝BO＝3，AE＝CO＝5，∠OBE＝60°，∴△BOE為等邊三角形，∴OE＝OB＝3，∠BOE＝60°.∵在△AEO中，AE＝5，AO＝4，OE＝3，∴AE2＝OE2＋OA2，∴△AOE為直角三角形，且∠AOE＝90°，∴∠AOB＝90°＋60°＝150°.9.[模擬·荊門(mén)]如圖，漢江是長(zhǎng)江最大的支流，它流經(jīng)美麗的荊門(mén)，漢江一側(cè)有一村莊C，江邊原有兩個(gè)觀景臺(tái)

A，B，其中AB＝AC，現(xiàn)建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，決定在漢江邊新建一個(gè)觀景臺(tái)H(點(diǎn)A，H，B

在同一條直線上)，并新修一條路CH，測(cè)得BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝3.6km．(1)CH是不是從村莊C到江邊的最短路線？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；解：CH是從村莊C到江邊的最短路線．理由：在△CHB中，BC＝6km，CH＝4.8km，BH＝

3.6km，∴CH2＋BH2＝4.82＋3.62＝36，BC2＝36.∴CH2＋BH2＝BC2.∴CH⊥AB，即CH是從村莊C到河邊的最短路線．(2)求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．解：設(shè)AC＝AB＝xkm，則AH＝(x－3.6)km.在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2＝AH2＋CH2，∴x2＝(x－3.6)2＋4.82，解得x＝5.∴原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為5km.10.如圖，四邊形ABCD的三條邊AB，BC，CD和對(duì)角線BD的長(zhǎng)度都為5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB－BD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，速度為2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DC－CB－BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，速度為2.8cm/s.若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，5s時(shí)點(diǎn)P，Q相距3cm，試確定5s時(shí)△APQ的形狀.解：∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB—BD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，速度為2cm/s，∴5s時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為2×5＝10(cm)．∵AB＝BD＝5cm，∴AB＋BD＝10cm，∴5s時(shí)點(diǎn)