江蘇省常州市金壇區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（）A． B． C． D．2．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B． C． D．93．若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則m的值為（）A．4 B．8 C．12 D．164．某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施，假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1250元，襯衫的單價(jià)降了x元，那么下面所列的方程正確的是（）A． B．C． D．5．如圖，點(diǎn)A，B，C，在上，．則的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．90°6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，、為對(duì)角線，經(jīng)過(guò)圓心．若，則的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．35°7．如圖，AC是的切線，B為切點(diǎn)，連接，．若，，，則的長(zhǎng)度是（）A．3 B． C． D．68．如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到，分別取、的中點(diǎn)P、Q，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。9．方程的根是______．10．已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根是______．11．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______．12．若a、b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是______．13．一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積是______．14．如圖，四邊形內(nèi)接于圓O，若，則的度數(shù)是______．15．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)是2，以點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則的長(zhǎng)是______．16．如圖，是的直徑，是的半徑，垂直于弦，垂足為．若，，則______．17．如圖，已知，點(diǎn)O在上，且，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫(huà)．若與射線有1個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍是______．18．如圖，，半徑為3的與的兩邊相切，點(diǎn)P是上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向的兩邊作垂線，垂足分別是E、F．設(shè)，則p的取值范圍是______．三、解答題：本題共7小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。19．（本小題16分）（1）； （2）；（3）； （4）．20．（本小題6分）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且．（1）求m的取值范圍；（2）若，求m的值．21．（本小題6分）某學(xué)校為建設(shè)“書(shū)香校園”，購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用逐年增加．2020年購(gòu)書(shū)費(fèi)用為5000元，2022年購(gòu)書(shū)費(fèi)用為7200元，求2020年到2022年該校購(gòu)書(shū)費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率．22．（本小題8分）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)2m寬的門（建在處，另用其他材料）．設(shè)的長(zhǎng)是xm．（1）填空：______m；（2）若羊圈的面積是，求x的值．23．（本小題8分）如圖，在中，，O為上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作交于另一點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且．（1）判斷與的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；（2）若，，，求的長(zhǎng)．24．（本小題10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，將直線繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，與x、y軸分別交于點(diǎn)C、D．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）求直線的函數(shù)表達(dá)式：（3）P是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑作，若與的一邊所在直線相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（本小題10分）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)R和線段，給出如下定義：M為線段上任意一點(diǎn)，如果R，M兩點(diǎn)間的距離的最小值恰好等于線段的長(zhǎng)，則稱點(diǎn)R為線段的“等距點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)．①在點(diǎn)，，，中，線段的“等距點(diǎn)”是______；②若點(diǎn)C在直線上，并且點(diǎn)C是線段的“等距點(diǎn)”，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，圖形W是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的位于x軸及x軸上方的部分．若圖形W上存在線段的“等距點(diǎn)”，直接寫(xiě)出t的取值范圍．答案和解析1．【答案】C【解析】解：，，，．故選：C．先把移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫(xiě)成完全平方的形式即可．本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．2．【答案】C【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，解得．故選：C．若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于的等式，即可求解．此題考查了根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．3．【答案】C【解析】解：一元二次方程的兩根為，，，，解得，，．故選：C．首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，再根據(jù)，求得，，進(jìn)一步得出求得答案即可．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：，是方程的兩根時(shí)，，，反過(guò)來(lái)可得，，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．4．【答案】D【解析】解：根據(jù)題意得，故選：D．根據(jù)題意得等量關(guān)系為：降價(jià)后的銷量×每件的利潤(rùn)＝1250，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．5．【答案】D【解析】解：，，．故選：D．由圓周角定理即可得到答案．本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理．6．【答案】D【解析】解：經(jīng)過(guò)圓心．是的直徑，，，，故選：D．直徑所對(duì)的圓周角是直角，同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余即可求解．本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．7．【答案】C【解析】解：連接，是的切線，，，，，，，，故選：C．根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．【答案】B【解析】解：由題意得：，、分別是、的中點(diǎn)，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取到最大值和最小值，的最小值為，的最大值為；的取值范圍是，故選：B．利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系即可求出結(jié)果．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形中線的性質(zhì)求出、的值是解題的關(guān)鍵．9．【答案】【解析】解：直接開(kāi)方即可求解．解決本題的關(guān)鍵是理解平方根的定義，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．10．【答案】5【解析】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，即方程的另一個(gè)根為5．故答案為：5．設(shè)方程的另一個(gè)根為，則利用根與系數(shù)的關(guān)系得，然后解一次方程即可．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．11．【答案】【解析】解：根據(jù)題意得：，解得：，即的取值范圍為．故答案為：．根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．12．【答案】7【解析】解：、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，原式．故答案為：7．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．13．【答案】6或【解析】解：，或．①當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是直角邊時(shí)，該直角三角形的面積是；②當(dāng)長(zhǎng)是4的邊是斜邊時(shí)，第三邊是，該直角三角形的面積是．故答案為：6或．先解出方程的兩個(gè)根為3和4，再分長(zhǎng)是4的邊是直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解．本題考查了一元二次方程的解法，三角形的面積，正確求解方程的兩根，能夠分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．14．【答案】80°【解析】解：四邊形內(nèi)接于圓，，，，故答案為：80°．由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，即可得到答案．本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．15．【答案】【解析】解：六邊形是正六邊形，，弧的長(zhǎng)為．故答案為：．故答案為：．根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．本題考查正多邊形和圓，弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握正六邊形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．16．【答案】4【解析】解：是的直徑，，，，，，是的半徑，垂直于弦，垂足為，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，．故答案為：4．根據(jù)圓周角定理得，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)垂徑定理得是的中點(diǎn)，再根據(jù)三角形中位線定理得，即可得出答案．本題考查了圓周角定理，勾股定理和垂徑定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．【答案】或【解析】解：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得圓心到直線的距離是．若相切時(shí)，則此時(shí)圓的半徑是4：當(dāng)圓和射線相交，但另一個(gè)交點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則．則或．故答案為：或．此題應(yīng)分情況討論：當(dāng)圓和射線相切時(shí)，則圓心到直線的距離等于圓的半徑；當(dāng)圓和射線相交時(shí)亦可．若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，注意考慮兩種情況，不要漏掉相交的情況，因?yàn)榇祟}只要保證和射線有一個(gè)公共點(diǎn)即可．18．【答案】【解析】解：設(shè)與兩邊的切點(diǎn)分別為、，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由切線的性質(zhì)可得，，，，，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，同理，，，當(dāng)與相切時(shí)，有最大或最小值，連接，、都是切點(diǎn)，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，的最大值為；如圖，同理，的最小值為；綜上，的取值范圍是．故答案為：．利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再求得，分兩種情況討論，畫(huà)出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．本題主要考查了切線的性質(zhì)，估算無(wú)理數(shù)的大小，證明，并且當(dāng)與相切時(shí)，有最大或最小值是解題的關(guān)鍵．19．【答案】解：（1），，或，，；（2），，；（3），，，或，所以，；（4），整理得：，，或，所以，．【解析】（1）移項(xiàng)后直接開(kāi)平方解一元二次方程即可；（2）因式分解解一元二次方程即可；（3）先移項(xiàng)得到，然后利用因式分解法解方程；（4）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）20．【答案】解：（1）關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且．，，解得．故的取值范圍為；（2）由題意可得：，，又，，解得，，又，的值為5或．【解析】（1）由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式的意義得到，解關(guān)于的不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，代入代數(shù)式求出的值即可．此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．21．【答案】解：設(shè)2020年到2022年該校購(gòu)書(shū)費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率為，則：，解得：，或（舍去），答：2020年到2022年該校購(gòu)書(shū)費(fèi)用的年平均增長(zhǎng)率為20%．【解析】根據(jù)“2020年購(gòu)書(shū)費(fèi)用為5000元，2022年購(gòu)書(shū)費(fèi)用為7200元”列方程求解．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系的解題的關(guān)鍵．22．【答案】【解析】解：設(shè)矩形的邊，則邊，故答案為：；（2）根據(jù)題意得：，化簡(jiǎn)得：，解得：，，故的值為16或20．（1）根據(jù)柵欄總長(zhǎng)－列式即可；（2）利用矩形面積公式即可求出．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要理解題意，能正確列出方程．23．【答案】解：（1）是的切線；理由如下：連接，如圖1，，，，，又，，，，是圓的半徑，是的切線；（2）連接，，如圖2，，，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，，，，．【解析】（1）連接，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證得，則可得出結(jié)論；（2）連接，求出，設(shè)，則，由勾股定理求出的值，則可得出答案．本題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定是解此題的關(guān)鍵．24．【答案】解：（1）在中，令得，令得，，；（2）直線繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，與、軸分別交于點(diǎn)、，，，，，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)，，，①當(dāng)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的與直線相切時(shí)，，解得，；②當(dāng)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的與直線相切時(shí)，，解得或，或，綜上所述，的坐標(biāo)為或或．【解析】（1）在中，令得，令得，即可得，；（2）求出，，用待定系數(shù)法可得直線的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)，則，①當(dāng)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的與直線相切時(shí)，，②當(dāng)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的與直線相切時(shí)，，解方程求出的值即可得到答案．本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，直線與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式等，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．25．【答案】解：（1）①如圖1中，，，，，，，，點(diǎn)到的距離為5，點(diǎn)到的距離為3，點(diǎn)到的距離為6，，是線段的“等距點(diǎn)”，故答案為：，；②設(shè)，點(diǎn)是線段的“等距點(diǎn)”，，，解得或0，或；（2），，，如圖，根據(jù)定義以為半徑，，為圓心，作，，分別交軸的負(fù)半軸，軸正半軸于點(diǎn)，，則，設(shè)與軸的正半軸交于點(diǎn)，，上的點(diǎn)到的距離為，圖形上存在線段的“等距點(diǎn)”，則與線段，有交點(diǎn)，根據(jù)題意可知，，，．當(dāng)半圓與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，在負(fù)半軸