27.2.2 相似三角形的性質(zhì) 人教版九年級數(shù)學(xué)下冊課件

相似三角形的性質(zhì)

——第二十七章相似教學(xué)目標(biāo)01.掌握相似三角形對應(yīng)高線、中線和角平分線的比與相似比之間的關(guān)系

重點(diǎn)02.理解并掌握相似三角形周長與面積的的比與相似比之間的關(guān)系.

重點(diǎn)03.能夠運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題

難點(diǎn)三個角分別相等，三邊成比例的兩個三角形相似.大家回憶一下相似三角形的定義是什么？思考：三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長度，三個內(nèi)角的度數(shù)，高、中線、角平分線的長度、以及周長、面積等.如果兩個三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關(guān)系呢？根據(jù)三角形相似的定義我們可以知道，相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，下面我們開始研究相似三角形的其他幾何量之間的關(guān)系.如圖，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，思考一下它們的對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比各是多少？ABCA'B'C'ABCA'B'C'D'D如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應(yīng)高的比.分析:分別作△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)高AD和A′D′先證明△ABD和△A′B′D′相似，因?yàn)椤鰽BC和△A′B′C′相似，由相似三角形的對應(yīng)角相等，所以∠B＝∠B′，又因?yàn)椤螦DB＝∠A′D′B′＝90°.根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到即可得到相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.ABCA'B'C'D'D如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應(yīng)高的比.∴△ABD∽△A′B′D′（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'D'則∠ADB=∠A'

D'

B'=90°∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B'

結(jié)論：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比類似地，我們可以證明相似三角形對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比也等于k，同桌分工合作，嘗試應(yīng)用上述的方法進(jìn)行證明.下面我們一起來看看證明過程，大家也判斷一下自己的證明過程是否正確如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應(yīng)中線的比.結(jié)論：相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比ABCA'B'C'D'D解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的中線AD和

A'D'則∵△ABC

∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，

∴△ABD∽△A'

B'

D'

（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）∴如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應(yīng)角平分線的比.結(jié)論：相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比ABCA'B'C'D'D解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的角平分線

AD和

A'D'，則∠BAD=∠B'A'D'

∵△ABC

∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，∴△ABD∽△A'

B'

D'

（兩角分別相等的兩個三角形相似）∴總結(jié)：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比一般地，我們有：相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.注意：在應(yīng)用相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)解題時，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中線的比、角平分線的比都等于相似比，而是相似三角形中對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比等于相似比.相似三角形的周長有什么關(guān)系呢？解：如圖△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'，從而結(jié)論：相似三角形周長的比等于相似比思考：相似三角形面積的比與相似比有什么關(guān)系？如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k.由前面的結(jié)論，我們可以得到結(jié)論：相似三角形面積的比等于相似比的平方解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，ABCDEF∴例題鞏固：

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.∴△DEF

∽△ABC

，相似比為∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為（相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，面積比等于相似比的平方）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似