2024-2025學年高中數(shù)學第二章點直線平面之間的位置關系單元質量評估習題含解析新人教A版必修2

其次章單元質量評估eq\o(\s\up7(時間：120分鐘滿分：150分),\s\do5())一、選擇題(每小題5分，共60分)1．不共面的四點可以確定平面的個數(shù)為(C)A．2 B．3C．4 D．無法確定解析：不共面的四個點中，任三點都是不共線的，故隨意三點都可以確定一個平面，共可以確定4個平面．2．下面列舉的圖形肯定是平面圖形的是(D)A．有一個角是直角的四邊形 B．有兩個角是直角的四邊形C．有三個角是直角的四邊形 D．有四個角是直角的四邊形解析：對于前三個，可以想象出僅有一個直角的平面四邊形沿著非直角所在的對角線翻折；對角為直角的平面四邊形沿著非直角所在的對角線翻折；在翻折的過程中，某個瞬間出現(xiàn)了有三個直角的空間四邊形．從而得出A、B、C都不正確；依據(jù)解除法，可知選項D正確．3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是(B)A．平行 B．平行或異面C．平行或相交 D．異面或相交解析：由直線與平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD與平面α內的直線沒有公共點．4．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是(B)A．m∥α，n∥β且α∥β，則m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥nC．m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βD．m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β解析：A中，α∥β，m∥α，n∥β，則m與n平行、異面、相交皆有可能，故A錯誤．B中，m⊥α，α⊥β，則m?β或m∥β，又n⊥β，所以m⊥n，故B正確．C中，m⊥α，n?β，m⊥n，則m與β可能垂直，當m⊥β時有α∥β，所以C錯誤．D中，由面面平行的判定定理，必需要m與n相交，才能得到α∥β，則D錯誤．5.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(D)A．點A B．點BC．點C但不通過點M D．點C和點M解析：通過A，B，C三點的平面γ，即通過直線AB與點C的平面，因為M∈AB，∴M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，∴γ和β的交線必通過點C和點M.6.如圖所示，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，將此正方形沿EF折成直二面角后，異面直線AF與BE所成角的余弦值為(C)A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：過點F作FH∥DC，交BC于H，過點A作AG⊥EF，交EF于G，連接GH，AH，則∠AFH為異面直線AF與BE所成的角．設正方形ABCD的邊長為2，在△AGH中，AH＝eq\r(\f(5,2)＋\f(2,4))＝eq\r(3)，在△AFH中，AF＝1，F(xiàn)H＝2，AH＝eq\r(3)，∴cos∠AFH＝eq\f(1,2).7．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，a在α，β內的射影分別為b和c，則b和c的位置關系是(D)A．平行 B．相交C．異面 D．以上均有可能解析：當a∥α，a∥β時，有a∥b，a∥c，則b∥c；當a∩α＝A，a∩β＝B，且AB與l不垂直時，b與c異面；當a∩l＝O時，b與c相交于O.∴b和c的位置關系是相交、平行或異面．8．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則ADA．30° B．45°C．60° D．90°解析：如圖，取BC的中點E，連接DE，AE，則AE⊥BC，AE⊥DE，由線面垂直的判定定理，知AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE即為所求的角．設三棱柱的棱長為1，易知AE＝eq\f(\r(3),2)，DE＝eq\f(1,2)，則tan∠ADE＝eq\r(3)，故∠ADE＝60°.9.已知三棱錐S-ABC的三視圖如圖所示，則在原三棱錐中下列命題正確的是(A)①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.A．① B．②C．①③ D．①②解析：由三視圖可知，三棱錐S-ABC中側棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一個直角三角形，且AC⊥BC，從而只有①是正確的．故選A.10．如圖，三棱柱A1B1C1-ABC中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，EA．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面A1B1BAC．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1D．A1C1∥平面AB1解析：AE與B1C1明顯是異面直線，又B1C1∥BC，AE⊥BC，所以AE⊥B111．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)解析：因為平面α∥平面CB1D1，所以平面α與平面ABCD的交線m平行于平面CB1D1與平面ABCD的交線l.因為在正方體中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1.同理，n平行于平面CB1D1與平面ABB1A1的交線．因為平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1與平面ABB1A1的交線平行于平面CB1D1與平面CDD1C1的交線CD1，所以n∥CD1.故m，n所成的角即為B1D1，CD1所成的角，明顯所成的角為60°，則其正弦值為eq\f(\r(3)12．在三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，側棱SA⊥底面ABC，若三棱錐的外接球的體積為36π，則該三棱錐的體積為(C)A．9eq\r(2)B.eq\f(27\r(2),2)C.eq\f(9\r(2),2) D．27eq\r(2)解析：如圖，設外接球的球心為O.∵在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長為3的正三角形，側棱SA⊥底面ABC，三棱錐的外接球的體積為36π，∴三棱錐的外接球的半徑R＝OS＝3.過A作AE⊥BC，交BC于E，過球心O作OD⊥平面ABC于D，則D∈AE，且D是△ABC的重心，∴AD＝eq\f(2,3)AE＝eq\f(2,3)eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(3)，∴OD＝eq\r(OA2－AD2)＝eq\r(6).O到SA的距離為AD＝eq\r(3)，∴SA＝OD＋eq\r(OS2－AD2)＝2eq\r(6)，∴該三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×SA×S△ABC＝eq\f(1,3)×2eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×3×sin60°))＝eq\f(9\r(2),2).二、填空題(每小題5分，共20分)13．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置關系為解析：易知BD∥B1D1，∴BD∥平面AB1D1.同理BC1∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，BD?平面BDC1，BC1?平面BDC1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.14．P為△ABC所在平面外一點，PA，PB，PC與平面ABC所成角均相等，又PA與BC垂直，那么△ABC的形態(tài)為等腰三角形．解析：設點P在底面ABC上的射影為O.由PA，PB，PC與平面ABC所成角均相等，∴O點到△ABC三個頂點的距離相等，即O是△ABC的外心，∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，PO∩PA＝P，∴BC⊥平面PAO，∴OA⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABC肯定為等腰三角形．15．已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC邊上取點E，使PE⊥DE，則當滿意條件的E點有兩個時，a的取值范圍是a>6.解析：如圖所示，連接AE，∵PE⊥DE，DE⊥PA，PE∩PA＝P，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE，∴在矩形ABCD中，∠AED＝90°.若滿意條件的E點有兩個，則以AD為直徑的圓與BC相交．∴3<eq\f(AD,2)，得a>6.16．如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE(A′?平面ABC)是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形，有下列命題：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱錐A′-DEF的體積的最大值為eq\f(1,64)a3；④動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；⑤直線DF與直線A′E可能共面．其中正確的命題是①②③④(寫出全部正確命題的編號)．解析：由已知可得四邊形ADFE是菱形，則DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正確；因為BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正確；當平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′-DEF的體積達到最大值，最大值為eq\f(1,64)a3，故③正確；由①知動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上，故④正確；△ADE在旋轉過程中，直線DF與直線A′E始終異面，故⑤錯誤．三、解答題(寫出必要的計算步驟，只寫最終結果不得分，共70分)17.(10分)如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BE∥AF，BC∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？若共面，請證明；若不共面，請說明理由．解：(1)證明：由已知G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點，可得GH＝eq\f(1,2)AD，GH∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，BC∥AD，∴GH＝BC，GH∥BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E共面．證明如下：方法1：由BE＝eq\f(1,2)AF，BE∥AF，G為FA中點知，BE＝FG，BE∥FG.∴四邊形BEFG為平行四邊形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．方法2：如圖，延長FE，DC分別與AB交于點M，M′.∵BE＝eq\f(1,2)AF，∴B為MA中點．∵BC＝eq\f(1,2)AD.∴B為M′A中點．∴M與M′重合，即FE與DC交于點M(M′)．∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．18.(12分)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大?。猓喝鐖D，取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥AB，且EG＝eq\f(1,2)AB，F(xiàn)G∥CD，且FG＝eq\f(1,2)CD.由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.19．(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一點．(1)若CD∥平面PBO，試指出點O的位置；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.解：(1)∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四邊形BCDO為平行四邊形，則BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即點O是靠近點D的線段AD的一個三等分點．(2)證明：∵側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.20.(12分)如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．解：(1)證明：因為O，M分別為AB，VA的中點，所以OM∥VB.因為VB?平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)證明：因為AC＝BC，O為AB的中點，所以OC⊥AB.因為平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝eq\r(3)，又因為OC⊥平面VAB，所以VC-VAB＝eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為eq\f(\r(3),3).21．(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．(1)求證：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：連接OE，如圖所示．∵O，E分別為AC，PC的中點，∴OE∥PA.∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.(2)由(1)知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥OC，BD⊥OE，∴∠EOC為二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOC＝30°.在Rt△OPC中，OC＝eq\f(\r(2),2)a，∠ECO＝∠EOC＝30°，∴PO＝eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(6)a,6)，∴V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(6),18)a3.22.(12分)如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq