河南省九師聯(lián)盟高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

河南省九師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊第一章～第三章第3節(jié).一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用直線傾斜角概念即可.【詳解】直線垂直于軸，所以其傾斜角為.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程公式，即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A.3.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】通過直線過原點(diǎn)，和不過原點(diǎn)兩種情況討論即可.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其方程是，符合題意;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入，可得：，解得：，所以方程是.故選：C.4.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)方程表示雙曲線得出或，再結(jié)合充分必要定義判斷即可.【詳解】方程表示雙曲線，則，解得或，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故選：C.6.已知，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】出及的圖像，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】由題意，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的上半部分，且左頂點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，由，得，所以，解得（負(fù)根舍去），當(dāng)直線與半橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圖象，的取值范圍為.故選：A.7.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，BF的延長線交于點(diǎn)，若，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，由得到，再結(jié)合余弦定理，二倍角公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，的焦距為2c，連接，則，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，即，所以.故選：D.8.已知圓，過軸上的點(diǎn)作直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若存在直線使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】有直線過圓心時(shí)，最大，構(gòu)造不等式，即可求解.【詳解】結(jié)合圖像易知對于給定的點(diǎn)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，AB最大，最小，此時(shí)有最大值，又，所以，所以，即，解得.故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.平行六面體的底面ABCD是正方形，，則下列說法正確的是（）A.B.C.四邊形面積為D.若，則點(diǎn)在平面內(nèi)【答案】ACD【解析】【分析】由平方可判斷A，由空間向量線性運(yùn)算可判斷B，通過說明，可判斷C，由四點(diǎn)共面可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，，故A正確;因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，四邊形為矩形，其面積，故C正確；因?yàn)?，由于，所以四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），D（0,1），E為上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.滿足為直角三角形的點(diǎn)有且僅有2個(gè)B.過點(diǎn)且與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有3條C.若在直線上的射影為，則D.若直線的傾斜角為，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線和圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷A，分斜率是否存在設(shè)直線聯(lián)立方程組應(yīng)用判別式判斷B，數(shù)形結(jié)合根據(jù)三點(diǎn)共線判斷距離和的最小值判斷C，設(shè)直線聯(lián)立方程組結(jié)合焦半徑公式計(jì)算判斷D.【詳解】對于A，顯然滿足的點(diǎn)恰有1個(gè)，又以DF為直徑的圓與拋物線在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以滿足為直角三角形的點(diǎn)恰有3個(gè)，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消得，當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，過點(diǎn)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故B正確;對于C，如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)且僅當(dāng)在線段DF上時(shí)取等號，故C正確；對于D，因?yàn)椋本€的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立得，解得，所以，則，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是拋物線定義，距離和的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，的判斷關(guān)鍵也是定義的應(yīng)用.11.關(guān)于曲線，下列說法正確的是（）A.曲線關(guān)于直線對稱B.曲線圍成的區(qū)域面積小于2C.曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積的最大值是D.曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最大值是【答案】ABC【解析】【分析】代入對稱點(diǎn)判斷曲線對稱判斷A,找到曲線圍成的面積小于圍成的面積判斷B,根據(jù)基本不等式得出乘積的最大值判斷C,應(yīng)用基本不等式求和的最大值判斷D.【詳解】對于方程，以代替，同時(shí)以代替方程不變，所以曲線關(guān)于對稱，故A正確；對于B，設(shè)分別為與圖象上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，則，所以在的下方，所以曲線圍成的面積小于圍成的面積，圍成的面積為，故B正確；對于C，因?yàn)?，等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積，故C正確;對于D，因?yàn)?，所以，等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量是實(shí)數(shù)，則的最小值是___________.【答案】3【解析】【分析】計(jì)算出，得到，故當(dāng)時(shí)，取最小值為3.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為3.故答案為：313.如圖是正在施工建設(shè)的濟(jì)新黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨(dú)塔地錨式回轉(zhuǎn)纜懸索橋，大橋主跨長約500米，主塔的高約100米.纜懸索是以為頂點(diǎn)并開口向上的拋物線的一部分，則主塔頂端點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為___________米.【答案】725【解析】【分析】建系，得到相應(yīng)拋物線方程即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且與主塔AB平行的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，則100，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故答案為：72514.設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，對于任意的實(shí)數(shù)，在軸上存在定點(diǎn)，使得的平分線在軸上，則的值為______.【答案】3【解析】【分析】將直線與圓的方程聯(lián)立，將問題轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)韋達(dá)定理求解.【詳解】設(shè)，由題得，即，整理得，又，所以，整理得，由聯(lián)立得，所以，代入①并整理得，此式對任意的都成立，所以.故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是直線與圓的綜合問題，關(guān)鍵是把軸是這句話轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而利用韋達(dá)定理求解，在利用韋達(dá)定理的求解的過程中，運(yùn)用了設(shè)而不求的思想.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，直線方程為.（1）證明：無論取何值，直線必過第三象限；（2）若點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）或.【解析】【分析】（1）分離參數(shù)得出直線的定點(diǎn)，再根據(jù)定點(diǎn)在第三象限即可得證；（2）法一：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式轉(zhuǎn)化距離相等求解計(jì)算；法二：由距離相等得出直線平行或者過線段中點(diǎn)計(jì)算即可.【小問1詳解】直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)槲挥诘谌笙?，所以無論取何值，直線必過第三象限.【小問2詳解】法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知：，即，所以或，解得或.法二：若點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，則直線或直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，當(dāng)直線經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)時(shí)，，解得，綜上，或.16.已知拋物線與圓相交于、兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程;（2）若直線與相交于、兩點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱性，設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）設(shè)Mx1,y1、N【小問1詳解】因?yàn)?，根?jù)圓與拋物線的對稱性，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得（負(fù)值舍去），所以的方程是.【小問2詳解】由消去并整理得，設(shè)Mx1,y1由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以的周長為.17.設(shè)，圓的圓心在軸的正半軸上，且過中的三個(gè)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分析法確認(rèn)哪三個(gè)點(diǎn)，再利用求圓心和半徑來寫出圓的方程；（2）利用點(diǎn)滿足的條件是另一個(gè)圓上的點(diǎn)，所以可知兩個(gè)圓相交，即可求解參數(shù).【小問1詳解】若圓經(jīng)過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線上，不符合圓在軸正半軸；根據(jù)題意得圓只能過點(diǎn)A，B，D三點(diǎn)，因?yàn)椋缘闹悬c(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率為，利用互相垂直的兩直線斜率之積為，可知兩點(diǎn)的中垂線斜率為，所以由點(diǎn)斜率式可得線段AB的垂直平分線的方程為，整理得：又因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率不存在，所以線段AD的垂直平分線的方程為聯(lián)立方程組解得所以圓心為，即圓心到點(diǎn)的距離為半徑，即半徑為2，所以圓方程為【小問2詳解】設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)?，所以有，化簡得，所以，且滿足這個(gè)方程的點(diǎn)可以理解為一個(gè)圓上的點(diǎn)，而點(diǎn)又在圓上且有兩個(gè)點(diǎn)，所以這兩個(gè)圓應(yīng)該相交，此兩圓的圓心分別為和，所以圓心距為，而兩圓的半徑分別為和2，則有，解得.18.已知是橢圓上的一點(diǎn)，是的一個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程;（2）是上的四個(gè)點(diǎn)，與相交于點(diǎn).①若分別為與軸的正半軸的交點(diǎn)，求直線的斜率;②若直線的斜率為，求面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.【答案】（1）（2）①；②1，或.【解析】【分析】（1）由，可求，再結(jié)合，求得即可求解；（2）①由點(diǎn)坐標(biāo)求得與方程，聯(lián)立橢圓方程，求得坐標(biāo)即可求解；②設(shè)由弦長公式及點(diǎn)到線的距離公式，表示出面積，進(jìn)而可求解.【小問1詳解】因?yàn)槭菣E圓上的一點(diǎn)，所以，即，又，又，所以，故的方程為【小問2詳解】①若A，B分別為橢圓與x，y軸的正半軸的交點(diǎn)，則，則直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因?yàn)?，所以，則，即，直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因?yàn)椋?，則，即，所以.②因?yàn)橹本€AB斜率為，所以可設(shè)直線AB的方程為，代入消去并整理得，設(shè)Ax1,，又點(diǎn)到直線AB的距離，所以的面積，等號僅當(dāng)，即時(shí)成立，顯然滿足，所以面積的最大值是1.此時(shí)，直線AB的方程是，即或19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若在曲線的方程中，以且代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.（1）若不過原點(diǎn)的直線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，證明:是與平行的直線;（2）已知伸縮比時(shí)，曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，且與軸有A，B兩個(gè)交點(diǎn)（在的左側(cè)），過點(diǎn)且斜率為的直線與在軸的右側(cè)有，兩個(gè)交點(diǎn).①求的取值范圍;②若直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】（1）證明見解析（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)伸縮比的定義，計(jì)算證明即可.（2）①直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算即可；②