高等數(shù)學(xué)（工科類）課件匯 蒲冰遠(yuǎn) 第1-5章 函數(shù)、極限與連續(xù) -微分方程

新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）第一章函數(shù)、極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)開放的心態(tài)前情提要

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一，是微積分學(xué)的主要研究對象.而極限是研究函數(shù)的主要工具，是微積分學(xué)中最基本、最重要的概念之一，極限的思想與理論是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)，極限方法是微積分學(xué)的基本分析方法.因此，掌握好極限的思想與方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.連續(xù)是函數(shù)的一種重要性態(tài)，而連續(xù)函數(shù)則是一類最基本、最常見的函數(shù).本章將介紹函數(shù)、極限與連續(xù)等基本概念以及它們的一些性質(zhì)和應(yīng)用。開放的心態(tài)理解函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，掌握函數(shù)的表示方法，特別要厘清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)；理解極限及其簡單性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限公式，并會利用它們求極限；理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價(jià)無窮小求極限；理解函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。☆☆☆知識目標(biāo)開放的心態(tài)情景與問題引例1我國于1993年10月31日發(fā)布的《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，月收入超過800元為應(yīng)納稅所得額（即個(gè)人所得稅的起征點(diǎn)）.隨著人民生活水平的提高，從2007年1月1日起，個(gè)人所得稅的起征點(diǎn)由800元上調(diào)為1000元，2008年3月1日起，起征點(diǎn)又改為2000元，2011年9月1日起再調(diào)整為3500元.2019年1月1日起施行起征點(diǎn)每月5000元.個(gè)人所得稅稅率表如下：開放的心態(tài)表1-1個(gè)人所得稅稅率表級數(shù)月度應(yīng)納稅所得額稅率（%）1不超過3000元的部分32超過3000元至12000元的部分103超過12000元至25000元的部分204超過25000元至35000元的部分255超過35000元至55000元的部分306超過55000元至80000元的部分357超過80000元的部分45表1-1反映了應(yīng)納稅個(gè)人所得稅額隨個(gè)人收入變化的對應(yīng)關(guān)系.試想某公司員工李先生專項(xiàng)扣除及專項(xiàng)附加扣除后月收入為12000元，那么他每月應(yīng)納個(gè)人所得稅為多少元呢？開放的心態(tài)引例2保險(xiǎn)絲在電路設(shè)備中起過流保護(hù)作用，當(dāng)通過保險(xiǎn)絲的電流小于其額定電流時(shí)，保險(xiǎn)絲不會熔斷，只有在超過其額定電流并達(dá)到熔斷電流時(shí)，保險(xiǎn)絲才會發(fā)熱熔斷.常見保險(xiǎn)絲的熔斷電流

I(A)

和其直徑

D(mn)之間的關(guān)系可見表1-2.表1-2保險(xiǎn)絲熔斷電流表表1-2反映了熔斷電流

I與保險(xiǎn)絲直徑

D

變化的對應(yīng)關(guān)系.根據(jù)該表，當(dāng)直徑

D

取某值時(shí)，對應(yīng)的電流

I值也隨之確定.直徑

D0.150.250.521.021.511.982.402.953.81熔斷電流

I

11.84122030405580開放的心態(tài)引例3

如圖1-1所示，建筑力學(xué)中，直梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，其不同橫截面上的內(nèi)力一般是不同的，即剪力

F

和彎矩

M

是隨截面位置而變化的.由于在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，需要知道各橫截面上剪力的最大值及它們所在的截面位置，因此就必須知道剪力隨截面位置而變化的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而得到內(nèi)力變化規(guī)律.圖1-1剪力圖和彎矩圖

上述引例均給出了不同變量間的對應(yīng)關(guān)系，且當(dāng)一個(gè)變量在一定范圍內(nèi)任意取值時(shí)，都有唯一的另一個(gè)變量的值與之對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù).1.1.1函數(shù)的概念

例1設(shè),

求

解例2絕對值函數(shù)的定義域值域圖1-2符號函數(shù)圖形

圖1-3取整函數(shù)圖形拾趣：想喝一杯現(xiàn)榨橙汁兒么？讓我們來動手制作吧.把一個(gè)橙子放入榨汁機(jī)，啟動榨汁機(jī)，就可以得到一杯橙汁兒；如果想喝蘋果汁，那么放入蘋果就可以得到蘋果汁.我們放入不同的水果，就可以得到不同的果汁.在這個(gè)過程中，榨汁機(jī)有一個(gè)輸入，就是水果.榨汁機(jī)實(shí)現(xiàn)了一個(gè)功能，將輸入的水果榨成汁兒，輸出就是橙汁兒.函數(shù)的英文是function,意思就是功能，實(shí)現(xiàn)某種功能.數(shù)學(xué)上的函數(shù)實(shí)際上就是對輸入的數(shù)實(shí)施一個(gè)作用，生成一個(gè)新的數(shù).可以將函數(shù)看成一個(gè)特殊的榨汁機(jī)(圖1-4),將輸入的數(shù)進(jìn)行處理，處理后得到一個(gè)新的數(shù).由此可看出，函數(shù)有三個(gè)要素，一個(gè)是輸入(對應(yīng)函數(shù)的自變量),一個(gè)是榨汁機(jī)即對應(yīng)法則，一個(gè)是輸出(對應(yīng)函數(shù)值).圖1-4

1.1.2反函數(shù)

啟迪：反函數(shù)是函數(shù)概念的進(jìn)一步深化，反映了函數(shù)概念中兩個(gè)變量(自變量和因變量)既相互對立，又相互依存、相互統(tǒng)一的辯證關(guān)系.同時(shí)，反函數(shù)的引入，也是逆向思維的典型案例，有助于思維方式的拓展和創(chuàng)新性人才的培養(yǎng).

1.1.3

函數(shù)的幾種特性

圖1-5

正切函數(shù)

定義域?yàn)?/p>

,值域?yàn)?/p>

，是奇函數(shù)和周期函數(shù)，周期

在區(qū)間

上單調(diào)增加(如圖1-10所示).

圖1-10余切函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

,值域?yàn)?/p>

,是奇函數(shù)和周期函數(shù)，周期

在區(qū)間

上單調(diào)減少(如圖1-11).正切函數(shù)和余切函數(shù)滿足關(guān)系

圖1-11

圖1-12

圖1-14

圖1-15

圖1-13

圖1-16案例4人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，常需進(jìn)行“分類”學(xué)習(xí)，將研究對象分為“好”與“壞”、“正品”與“次品”等“正類”與“反類”,并利用階躍函數(shù)對分類輸出標(biāo)記為值“0”或“1”.比如，已在多學(xué)科得到交叉應(yīng)用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neuralnetworks)通過模擬生物神經(jīng)系統(tǒng)對真實(shí)世界物體做出交互反應(yīng).神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最基本的成分是神經(jīng)元模型.每個(gè)神經(jīng)元與其他神經(jīng)元相連，當(dāng)它“興奮”時(shí)，就會向相連的神經(jīng)元發(fā)送化學(xué)物質(zhì)，從而改變這些神經(jīng)元內(nèi)的電位.如果某神經(jīng)元的電位超過一個(gè)“閾值”(threshold),那么它就會被激活即“興奮”起來，并向其他神經(jīng)元發(fā)送化學(xué)物質(zhì)(如圖1-17所示).所有神經(jīng)元互相影響、互為輸入輸出、互為因果、互相激活、互相抑制，形成一張網(wǎng)(如圖1-18所示).

圖1-17神經(jīng)元模型

圖

1-18神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)元接收到的輸入值與其閾值進(jìn)行比較，然后通過“激活函數(shù)”進(jìn)行處理并產(chǎn)生神經(jīng)元的輸出.理想的激活函數(shù)是如圖1-19所示的單位階躍函數(shù)或赫維賽德(Heaviside)函數(shù)它將輸入值映射為輸出值“0”或“1”,其中“1”對應(yīng)于神經(jīng)元興奮，“0”對應(yīng)于神經(jīng)元抑制當(dāng)然，由于階躍函數(shù)具有不連續(xù)和不光滑等性質(zhì)，因此實(shí)際中常用對數(shù)幾率函數(shù)(如圖1-20

所示).圖1-19對數(shù)幾率函數(shù)圖1-20階躍函數(shù)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)第二節(jié)極限的概念與計(jì)算情景與問題

李白的古詩《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”描述了詩人看著朋友的小船漸行漸遠(yuǎn)，越來越小，最終消失。這里描述的就是船的無限變化過程，也就是本節(jié)所學(xué)的極限。

引例1中國古代哲學(xué)家莊周在《莊子·天下篇》中引述惠施的話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”

圖1-21

圖1-22Hh

引例43世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù).所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法，劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”,這可視為中國古代極限概念的佳作.劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的周長一直算到了正3072邊形，并由此求出圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值.這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確的數(shù)據(jù).到了南北朝時(shí)期，祖沖之在劉徽的這一基礎(chǔ)上繼續(xù)努力，終于使圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)以后的第七位.在西方，這個(gè)成績是由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)于1593年取得，比祖沖之晚了一千一百多年.觀察以上各例，可以看出它們有一個(gè)共同點(diǎn)，在某變化過程中的兩個(gè)變量，當(dāng)其中一個(gè)變量向著某個(gè)方向在無限趨近時(shí)，另一個(gè)變量無限趨近某個(gè)常數(shù)，這就是我們將要介紹的極限知識

圖1-23

綜合上例及引例2又可得到如下結(jié)論：

0.10.30.70.80.90.95…1.11.31.51.11.31.71.81.91.95…2.12.32.5

（為常量),

1.2.3極限的四則運(yùn)算法則前面求得了一些較簡單函數(shù)的極限，為了求較復(fù)雜函數(shù)的極限，下面引入極限的四則運(yùn)算法則.定理1.2在自變量的同一變化過程中，設(shè)，則(1)=；

(2)

=.特別地，=

(C為常數(shù)).

，.(4).定理1.2中的法則(1)、(2)均可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.例如，若

都存在，則有例3求極限.解

…0.95885110.98506740.99833420.99998330.9999998330.99999999833…表

1-5

x1050100100010000100000100000010000000……y2.5937422.6915882.7048142.7169242.7181462.7182682.7182802.718281……x-10-50-100-1000-10000-100000-1000000-10000000……y2.8679722.7459732.7319992.7196422.7184182.7182952.7182832.718281……表

1-6

圖

1-24案例4校園貸即校園網(wǎng)絡(luò)貸款，是指學(xué)生向一些網(wǎng)絡(luò)貸款平臺或者借貸人申請借款，該借款方式具有手續(xù)簡單、門檻低、金額大、無抵押、辦理方便快捷等特點(diǎn).學(xué)生只需要向平臺或者借款人提供學(xué)生證、身份證、家屬電話或者常用聯(lián)系人，在父母完全不知情的情況下，就可以完成借款.某大學(xué)大二學(xué)生小謝，在某借款平臺校園貸借款幾千元，因無法按時(shí)還款，結(jié)果利滾利越來越多，最終欠下20多萬元.因校園貸導(dǎo)致輟學(xué)、自殺等事件層出不窮.大多數(shù)大學(xué)生貸款網(wǎng)站還款金額為復(fù)利計(jì)算，指將本金產(chǎn)生的利息加入到下個(gè)階段的本金當(dāng)中再計(jì)息的方法，就是俗稱的利滾利.校園貸在貸款項(xiàng)目的實(shí)施中，平臺還會扣除20%的咨詢費(fèi)，借款實(shí)際到賬為8096,但被扣掉的209仍被算為本金，并要計(jì)算利息.

從以上分析我們可以看到當(dāng)年利率一定的情況下，不論計(jì)息次數(shù)如何增加，最終得到的本息和接近定數(shù).按照平臺給出的利率10%計(jì)算，每月結(jié)息一次，貸款的同學(xué)三年后仍需支付實(shí)際貸款額近4倍的本息和.大學(xué)生沒有固定收入，如果不能按時(shí)還款，還需償還相當(dāng)于貸款本金數(shù)倍甚至數(shù)十倍的利息或者滯納金，造成學(xué)生和家庭根本無力承擔(dān)還款重負(fù).貸款放貸人和平臺還會采用各種非法手段向?qū)W生暴力催繳，詆毀名譽(yù)、騷擾恐嚇、威逼抵債等等，給借款學(xué)生造成極大心理壓力或?qū)е录移迫送龅谋瘎?因此，我們一定要樹立正確的價(jià)值觀，不要攀比，不要盲目消費(fèi)更不要透支消費(fèi)，而應(yīng)量力而行，要學(xué)會保護(hù)好自己，認(rèn)清“校園貸”的危害，要意志堅(jiān)定地遠(yuǎn)離校園貸第一章函數(shù)、極限與連續(xù)第三節(jié)無窮小與無窮大情景與問題引例1假設(shè)小王在銀行存入1000元，銀行的年利率為

，試分析隨著存款時(shí)間的增長，本利和將如何變化？分析由條件可得,年后的本利和為:當(dāng)存款時(shí)間無限延長，即當(dāng)時(shí)間時(shí)，本利和變?yōu)?/p>

即當(dāng)存款時(shí)間無限延長時(shí)，本利和將無限增大.情景與問題

引例2某地區(qū)當(dāng)年人口數(shù)為，記t

時(shí)刻的人口為,假設(shè)人口增長率為常數(shù)r，容易得出，試分析若增長率不變，隨著時(shí)間的增長，當(dāng)?shù)厝丝趯⑷绾巫兓?/p>

分析由條件可得當(dāng)時(shí)間無限延長，即當(dāng)時(shí)間時(shí)，人口數(shù)

即若增長率不變，當(dāng)時(shí)間無限延長時(shí)，當(dāng)?shù)厝丝趯o限增大.上述引例中，一種變量不斷減小并最終趨近于零，而另一變量卻不斷增加并最終趨于無窮，這兩個(gè)量分別稱為無窮小量與無窮大量.事實(shí)上，人們對無窮小量的認(rèn)識已經(jīng)經(jīng)歷了幾千年漫長而曲折的過程，正如德國數(shù)學(xué)家希爾伯特所指出的：“無窮!還沒有別的問題如此深地打動人們的心靈；也沒有別的想法如此有效地激發(fā)人的智慧；更沒有別的概念比無窮這個(gè)概念更需要加以闡明.”,他還指出“數(shù)學(xué)是處理無窮的科學(xué)”.1.3.1無窮小量

定義1.9若在自變量x的某一變化過程中，函數(shù)以零為極限，則稱函數(shù)為該自變量條件下的無窮小量（簡稱無窮小）.例如，在引例2中，所以該游戲銷售量是當(dāng)時(shí)間時(shí)的無窮小.再如，因?yàn)椋院瘮?shù)是時(shí)的無窮小.

注意:一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢密切相關(guān)的，例如函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小，而由于，它便不是當(dāng)時(shí)的無窮小.另外，切不可將無窮小與很小的數(shù)（例如千萬分之一）混為一談，因?yàn)闊o窮小是這樣的函數(shù)，在自變量的變化過程中，函數(shù)的絕對值是可以小于任意給定的正數(shù)，而很小的數(shù)無論在自變量的哪種變化趨勢中都不可能趨向于零，因而其絕對值也不可能小于任意給定的正數(shù).定理1.3在自變量ｘ的某種趨向下，函數(shù)以

為極限的充要條件是，其中是無窮小量.

該定理說明了無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系.其結(jié)論是顯然成立的，證明從略.

無窮小還有很好的性質(zhì)，下面不加證明地給出.定理1.4有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.定理1.5有界函數(shù)與無窮小之積仍為無窮小.推論1.1常數(shù)與無窮小之積仍為無窮?。挥邢迋€(gè)無窮小之積仍為無窮小.啟迪：無限個(gè)無窮小的代數(shù)和不一定是無窮小，例如

該例寓意著無限個(gè)微不足道的努力是可以促進(jìn)事物的發(fā)展變化的，甚至可以導(dǎo)致事物的量變到質(zhì)變變化.推展來看，我們每個(gè)人的力量可能是渺小的，但是每個(gè)人都付出一點(diǎn)點(diǎn)力量，無限個(gè)我們的力量匯聚起來，便是勇往直前勢不可擋的中國力量.例1

求.解因?yàn)闀r(shí)，以零為極限，是無窮小量；此時(shí)盡管沒有極限，但其是有界量，故根據(jù)定理1.5可得1.3.2無窮大量定義1.10若在自變量的某一變化過程中，，則稱函數(shù)為該自變量條件下的無窮大量（簡稱無窮大）.例如，在引例3中，所以本利和是當(dāng)時(shí)間時(shí)的無窮大.同樣需要注意的是,一個(gè)變量是否為無窮大是與自變量的變化趨勢密切相關(guān)的，同時(shí)也不可將無窮大量同很大的量（如一億、一萬億等）混為一談.另外，定義中借用極限來表示無窮大，它并不表示函數(shù)存在極限，而恰恰相反，它表示函數(shù)在該自變量條件下沒有極限.無窮大與無窮小之間有一種簡單的關(guān)系，即：定理1.6在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮?。环粗?，如果為無窮小，且，則為無窮大.例如，則；再如，則.1.3.3無窮小的比較我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小的和、差及乘積仍為無窮小.但是，關(guān)于兩個(gè)無窮小的商，卻會出現(xiàn)不同的情況.例如，函數(shù)、、都是時(shí)的無窮小.而，，由此可見，同樣是無窮小，但趨于零的速度有“快”有“慢”.那么，用什么辦法來比較它們之間的“快”與“慢”呢？下面，我們利用無窮小之比的極限，來進(jìn)行無窮小之間的比較，并對兩個(gè)無窮小的關(guān)系進(jìn)行相應(yīng)定義.定義1.11設(shè)及都是在自變量x的同一變化過程中的無窮小.如果，則稱是比高階的無窮小，記作；如果，則稱與是同階無窮??；特別地，當(dāng)時(shí)，則稱與是等價(jià)無窮小，記作.顯然，等價(jià)無窮小是同階無窮小的特殊情形，即的情形.例如，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是比高階的無窮小，反過來也稱是比

低階的無窮?。挥秩纾援?dāng)時(shí)，與是同階無窮?。辉偃?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小,即.定理1.7在自變量的同一變化過程中，的充要條件是.證明從略.定理1.8在自變量的同一變化過程中，，，若或，則或.證明

該定理表明，在求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及（或）分母可用等價(jià)無窮小代換后再求極限.只要用來代替的無窮小選得適當(dāng)，計(jì)算將變得簡單易算.關(guān)于等價(jià)無窮小，有下面兩個(gè)定理：例2求.解當(dāng)時(shí)，，，所以例3求.解

.下面將常用的等價(jià)無窮小代換匯總在一起，以備查用.

案例1某新型產(chǎn)品一上市銷量便迅速上升，然后隨著時(shí)間推移銷量便逐漸減少.其銷量與時(shí)間的關(guān)系為，分析該產(chǎn)品長期銷售前景.解可通過分析當(dāng)時(shí)的極限來預(yù)測長期銷售前景.因?yàn)樗?隨著時(shí)間的推移，人們對該產(chǎn)品越來越失去興趣，轉(zhuǎn)而去購買其他產(chǎn)品.這便揭示了市場經(jīng)濟(jì)的一條規(guī)律：企業(yè)要想長期生存下去，必須不斷開發(fā)新技術(shù)并推出新產(chǎn)品，才能滿足人們不斷增長的新需求.案例2某大型國有企業(yè)選擇A、B兩個(gè)餐廳供應(yīng)1000名員工的午餐,且由員工自由選擇在A廳或B廳進(jìn)餐.有資料表明，在本星期選A廳的員工有10%會在下星期選B廳；而選B廳的員工有30%會在下星期選A廳，請問,隨著時(shí)間的推移,在A廳、B廳進(jìn)餐的員工人數(shù)各自穩(wěn)定在多少人左右，并說明理由.解設(shè)第n個(gè)星期選A廳的人數(shù)為，選B廳的人數(shù)為，則，從而，故，故隨著時(shí)間的推移，在A廳進(jìn)餐的人數(shù)穩(wěn)定在750人左右，在B廳進(jìn)餐的人數(shù)穩(wěn)定在250人左右.案例3100個(gè)細(xì)菌放在培養(yǎng)器中，其中有足夠的食物，但空間有限，對空間的競爭使得細(xì)菌總數(shù)與時(shí)間

的關(guān)系為：問容器中最多能容下多少細(xì)菌?解容器中最多能容下的細(xì)菌量即求當(dāng)時(shí)，的極限．即案例4在某一自然環(huán)境保護(hù)區(qū)內(nèi)放入一群野生動物，總數(shù)為20只，若被精心照料，預(yù)計(jì)野生動物增長規(guī)律滿足：在t年后動物總數(shù)

由以下公式給出

保護(hù)區(qū)中野生動物數(shù)達(dá)到80只時(shí)，沒有精心的照料，野生動物群也將會進(jìn)入正常的生長狀態(tài)，即其群體增長仍然符合上式中的增長規(guī)律.試問：(1)需要精心照料的期限為多少年？(2)在這一自然保護(hù)區(qū)中，最多能供養(yǎng)多少只野生動物？解注意到時(shí)，由公式也可得，可見公式中的是從放入動物后即開始記時(shí)的.(1)由于時(shí)，需要精心照料，令，則.于是可解出：.此即說明，精心照料的期限大約為9年半.(2)隨著時(shí)間的延續(xù)，由于自然環(huán)境保護(hù)區(qū)內(nèi)的各種資源限制，這一動物群不可能無限增大，它會有某一飽和狀態(tài).在這一自然保護(hù)區(qū)中，最多能供養(yǎng)的野生動物數(shù)即求極限.即在這一自然保護(hù)區(qū)中，最多能供養(yǎng)220只野生動物.第一章函數(shù)、極限與連續(xù)第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性情景與問題引例1一天中氣溫的變化是逐漸的,當(dāng)時(shí)間改變很小時(shí),氣溫的變化也很??；當(dāng)時(shí)間改變量趨近于零時(shí),氣溫的變化量也會趨近于零.分析這反映了氣溫連續(xù)變化的特征.引例2生長中動物的重量隨著時(shí)間的變化而連續(xù)變化．當(dāng)時(shí)間的變化很微小時(shí)，動物重量的變化也很微小.分析若令表示時(shí)間的變化量，表示對應(yīng)重量的變化量，則當(dāng)時(shí).

情景與問題引例3觀察圖1-25.分析由圖1-24可以看出，函數(shù)是連續(xù)變化的，它的特點(diǎn)是當(dāng)時(shí)

.引例4導(dǎo)線中的電流通常是連續(xù)變化的，但當(dāng)電流增加到一定的程度，會燒斷保險(xiǎn)絲，電流就突然變?yōu)?.分析

即這時(shí)連續(xù)性被破壞而出現(xiàn)間斷．圖1-25情景與問題引例5觀察圖1-26中的四個(gè)函數(shù)曲線.

分析由圖可知，這四條函數(shù)曲線在處都斷開了.而且不難發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)曲線斷開的原因有：(1)函數(shù)在點(diǎn)無定義，如圖1-26(a)(c)所示；(2)函數(shù)在時(shí)極限不存在，如圖1-26(b)和(c)所示；(3)，如圖1-26(d)所示.

從上面的引例可以看出，有些函數(shù)是連續(xù)變化的，有些函數(shù)在某些點(diǎn)處卻斷開了.這就是函數(shù)的連續(xù)性問題.其實(shí)，在自然界中有許多現(xiàn)象，如植物的生長、河水的流動、受熱后物體的膨脹等等，都是連續(xù)變化著的.那么，怎么準(zhǔn)確定義函數(shù)的連續(xù)，又如何具體去判斷函數(shù)是不是連續(xù)的呢？圖1-26(a)(b)(c)(d)1.4.1函數(shù)的增量定義1.12設(shè)變量從初值變化到終值,則終值與初值之差叫做變量的增量（改變量）,記為,即.一般地,增量可以為正,也可以為負(fù),還可以為零.定義1.13對于函數(shù),設(shè)自變量在點(diǎn)的增量為，即.稱為函數(shù)在點(diǎn)的增量.例1設(shè)某產(chǎn)品的總產(chǎn)量與原材料的使用量有函數(shù)關(guān)系.日常情況下,每天使用原材料20個(gè)單位,這時(shí),若再增加1個(gè)單位的用量,產(chǎn)量的增量是多少?解原材料的增量,產(chǎn)量的增量

1.4.2函數(shù)連續(xù)的定義定義1.14設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

那么就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).

在定義1.14中，設(shè)，則時(shí).又由于

于是，

就相當(dāng)于.因此,函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義可等價(jià)表述為：定義1.15

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，并稱為

的連續(xù)點(diǎn)．由定義1.15可知：函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)在點(diǎn)處有定義，即存在函數(shù)值；(2)存在，即；(3)，即極限值等于函數(shù)值.例如，引例1、引例2、引例3都是函數(shù)連續(xù)的例子.例2設(shè)函數(shù)

討論在處的連續(xù)性．解當(dāng)時(shí)，且，，則

不存在，所以在處不連續(xù)．當(dāng)時(shí)，，且,則有.所以，函數(shù)在處連續(xù)．下面引入左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義1.16設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義.如果函數(shù)在點(diǎn)的左極限存在且等于，即

則稱函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù).如果函數(shù)在點(diǎn)的右極限存在且等于，即則稱函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù).由此可得結(jié)論：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)，即例3設(shè)函數(shù)，討論在

處的連續(xù)性．解這是分段函數(shù)，是其分段點(diǎn)．因，又，

所以函數(shù)在處右連續(xù)，但不左連續(xù)，從而它在處不連續(xù)．定義1.17如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，區(qū)間叫做函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在點(diǎn)右連續(xù)，在點(diǎn)左連續(xù)，那么稱在閉區(qū)間上連續(xù).此時(shí)也稱區(qū)間是函數(shù)的連續(xù)閉區(qū)間.1.4.3函數(shù)的間斷定義1.18若函數(shù)

在點(diǎn)

處不連續(xù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)間斷，并稱點(diǎn)

為函數(shù)

的間斷點(diǎn)．例如，引例4及引例5就是函數(shù)間斷的例子.根據(jù)定義1.18可知，函數(shù)在點(diǎn)處間斷時(shí)必滿足下列情形之一：(1)函數(shù)在處沒有定義；(2)雖然

在處有定義,但極限不存在；(3)函數(shù)

在處有定義,也存在,但

．通常地，我們稱左、右極限都存在的間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn)，其他的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn).(1)當(dāng)

與

都存在，但不相等時(shí)，稱

為

的跳躍間斷點(diǎn)；(2)當(dāng)

存在，但不等于或在

處沒有定義，稱為

可去間斷點(diǎn)．因此，在引例5中，圖1-20中（a）和（d）中的點(diǎn)c

為可去間斷點(diǎn)，（b）中的點(diǎn)c

為跳躍間斷點(diǎn)，（c）中的點(diǎn)c

為第二類間斷點(diǎn).拾趣：諸如時(shí)間流逝、植物高度增長等日常接觸到的事物變化現(xiàn)象，讓人們直覺認(rèn)為所有物體在空間運(yùn)動中的數(shù)量描述均是連續(xù)的，甚至到19世紀(jì)末，人類幾乎沒有去尋找其他類型的運(yùn)動形式.直到20世紀(jì)20年代，物理學(xué)家才發(fā)現(xiàn)直覺上認(rèn)為是連續(xù)運(yùn)動的光，實(shí)際上是由離散的光粒子組成且受熱的原子是以離散的頻率發(fā)射光線的，因此光既有波動性也有粒子性（光的“波粒二象性”），但它不是連續(xù)的.之后由于諸如此類的發(fā)現(xiàn)及在統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)建模等領(lǐng)域間斷函數(shù)的大量應(yīng)用，連續(xù)性問題就成為在理論上和實(shí)踐中都有重大意義的問題之一.對第一類間斷點(diǎn)又可分為：1.4.4連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義和極限的運(yùn)算法則，可以得到下面的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則如果

和

都在點(diǎn)連續(xù)，那么它們的和、差、積、商（分母不為0）都在點(diǎn)連續(xù).復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)連續(xù).

可以證明：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.又由初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算或復(fù)合而成的，可以得到關(guān)于初等函數(shù)連續(xù)性的重要定理：

所有初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的.例4

求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.解因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù)，所以根據(jù)上面的結(jié)論，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是它的定義區(qū)間.故所求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為.注意:

因?yàn)榉侄魏瘮?shù)一般不是初等函數(shù)，所以上述結(jié)論對分段函數(shù)一般不成立.在討論分段函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，要根據(jù)連續(xù)的定義討論分段點(diǎn)的連續(xù)性.

如果是初等函數(shù)，

是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，那么在連續(xù).于是，根據(jù)連續(xù)性的定義，有

這就是說，初等函數(shù)對定義域內(nèi)的點(diǎn)求極限，就是求它在此點(diǎn)的函數(shù)值.例5求.

解

.1.4.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一些重要性質(zhì)，在微積分的理論和實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用，現(xiàn)列舉如下：定理1.9(最大值與最小值定理）如果在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在上必有最大值和最小值.如圖1-27，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在點(diǎn)處取得最小值，在點(diǎn)處取得最大值.又如，函數(shù)

在閉區(qū)間上連續(xù)，它在該區(qū)間上有最大值1(當(dāng))和最小值0(當(dāng)或).

注意:定理中條件“閉區(qū)間”和“連續(xù)”很重要,缺一不可．圖1-27例如，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)沒有最大值和最小值，如圖1-28所示．

又如，函數(shù)

在閉區(qū)間

上不連續(xù)，不存在最大值和最小值，如圖1-29所示．定理1.10(介值定理)如果函數(shù)

在閉區(qū)間上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為

和

，那么對介于

與

之間的任何實(shí)數(shù)，至少存在一點(diǎn)，使.也就是說(如圖1-30所示)，設(shè)函數(shù)在

上連續(xù)，其最大值為，最小值為

，那么，任意的，則至少存在一點(diǎn)，使得.圖1-28圖1-29圖1-30

推論1.2(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且

與異號，則至少存在一點(diǎn)，使得(如圖1-31)．例6證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.證設(shè)

.因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，且在上有定義，所以在閉區(qū)間上連續(xù).又因?yàn)椋?所以，根據(jù)零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)，使即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.圖1-31應(yīng)用與實(shí)踐案例1

分布于y

軸上一點(diǎn)電荷的電勢滿足：其中和都是正的常數(shù)，問在處連續(xù)嗎？分析

，由于當(dāng)時(shí)，是初等函數(shù)，所以連續(xù)，故

所以

.即分布于y

軸上一點(diǎn)電荷的電勢在處連續(xù)．案例2設(shè)冰從-400升到1000所需要的熱量(單位：J)為試問函數(shù)在處是否連續(xù)？若不連續(xù)，指出其間斷點(diǎn)的類型，并解釋其實(shí)際意義．解

，所以不存在，因此函數(shù)

在處不連續(xù)．由于函數(shù)在的左、右極限都存在但不相等，所以為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)．這說明冰化成水時(shí)需要的熱量會突然增加．案例3王華到家附近的一座山上觀看日出，早上8時(shí)從山下家里出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿于山頂一賓館.次日觀日出后，于早上8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到山下家里.試用零點(diǎn)定理分析：王華必在兩天內(nèi)的同一時(shí)刻經(jīng)過同一地點(diǎn).解以時(shí)間

為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下家里到山頂?shù)穆烦?/p>

為縱坐標(biāo)，設(shè)第一天早上8時(shí)的路程為0，山下到山頂?shù)目偮烦虨?/p>

.第一天的行程設(shè)為，則，；第二天的行程設(shè)為，則

，

，又設(shè).

由于、在區(qū)間

上連續(xù)，所以在區(qū)間上連續(xù)，又

，．所以，由零點(diǎn)定理知，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)

使即．

這說明在早上8時(shí)至下午5時(shí)之間存在某一時(shí)刻使得路程相等，即王華一定會在兩天行程中的同一時(shí)刻經(jīng)過路途中的同一地點(diǎn)．新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）引例1：高鐵復(fù)興號高速平穩(wěn)運(yùn)行探究中國如今擁有世界上首條高寒高鐵（哈大高鐵），世界上單條運(yùn)營里程最長的高鐵（京廣高鐵），世界上一次性建成里程最長的高鐵（蘭新高鐵）.截至2021年底，中國高速鐵路運(yùn)營總里程達(dá)4萬公里，已能繞地球赤道一周，居世界第一.列車最高運(yùn)營速度350千米/小時(shí)，居全球首位.高鐵已經(jīng)成為中國科技創(chuàng)新的標(biāo)志性成果，也是中國向世界遞出的一張靚麗的名片（見圖2-1）.在乘坐高速鐵路時(shí)你是否注意到，高鐵列車的所有車門處都有顯示列車速度的顯示屏，乘客可以通過顯示器了解高速鐵路的當(dāng)前運(yùn)行速度，即瞬時(shí)速度(見圖2-2）.那么，如何從數(shù)學(xué)的角度來刻畫這種隨時(shí)間變化的“瞬時(shí)速度”呢？為直觀理解列車運(yùn)行中的瞬時(shí)速度，我們利用數(shù)學(xué)模型對問題進(jìn)行簡要分析.情景與問題假設(shè)物體前進(jìn)中的運(yùn)動方程為，其中(米)表示時(shí)刻(秒)時(shí)物體的位移.通過計(jì)算得出在附近，的取值情況，列表如下：時(shí)刻t344.54.94.954.994.9995S(t)276491.125117.649121.287124.252124.925125ΔS(t)-98-61-33.875-7.351-3.713-0.746-0.07500Δt-2-1-0.5-0.1-0.05-0.01-0.0010ΔS/Δt496167.7573.5174.25374.85074.485/時(shí)刻t55.0015.015.055.15.567S(t)125125.075125.752128.788132.651166.375216343ΔS(t)00.07500.7523.7887.65141.37591218Δt00.0010.010.050.10.512ΔS/Δt/75.01575.15075.75376.5182.7591109從表2-1觀察發(fā)現(xiàn)，隨著趨近于0,也隨之趨近于0,但他們的比值卻越來越接近于常數(shù)75，這個(gè)數(shù)值就是秒時(shí)，物體運(yùn)動的瞬時(shí)速度.值得注意的是，并不是時(shí)間增加的量，而是時(shí)間的改變量，故的值應(yīng)是在的兩側(cè). 將上述過程用極限表示，這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是我們要探究的“導(dǎo)數(shù)”，記為或，即引例2事實(shí)上，高鐵列車不僅快，它還具有卓越的穩(wěn)定性.乘客在乘坐的過程中，不眺望車窗外幾乎感覺不到列車在急速前進(jìn).列車在運(yùn)行中要保持平穩(wěn)，轉(zhuǎn)彎處列車應(yīng)沿著軌道的切線方向前進(jìn).數(shù)學(xué)上切線的方向與切線的斜率密切相關(guān)，那么該如何表示平面曲線上過一點(diǎn)的切線斜率呢？分析平面上圓的切線可定義為“與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線”，但是對于其它曲線以此作為切線的定義就不一定合適了.一般平面曲線切線的定義為，設(shè)有曲線

及

上的一點(diǎn)(如圖2-3所示)，在點(diǎn)

外另取

上一點(diǎn)，作割線.當(dāng)點(diǎn)

沿曲線

趨于點(diǎn)

時(shí)，同時(shí)割線

繞點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置

，直線就稱為曲線

在點(diǎn)

處的切線.圖2-3設(shè)為割線

的傾角，于是割線

的斜率為.當(dāng)點(diǎn)

沿曲線

趨于點(diǎn)

時(shí)，.如果當(dāng)時(shí)，上式的極限存在(設(shè)為)，即,則就是切線的斜率.這里，其中是切線

的傾角.上述2個(gè)引例的實(shí)際意義完全不同，但從解決問題的數(shù)學(xué)模型來看，均可歸結(jié)為類似的極限表達(dá)式，即函數(shù)值的增量與自變量增量商的極限.事實(shí)上，還有很多實(shí)際問題如物體的運(yùn)動速度、電流強(qiáng)度、線密度、比熱、化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)問題.圖2-3設(shè)為割線

的傾角，于是割線

的斜率為.當(dāng)點(diǎn)

沿曲線

趨于點(diǎn)

時(shí)，.如果當(dāng)時(shí)，上式的極限存在(設(shè)為)，即,則就是切線的斜率.這里，其中是切線

的傾角.上述2個(gè)引例的實(shí)際意義完全不同，但從解決問題的數(shù)學(xué)模型來看，均可歸結(jié)為類似的極限表達(dá)式，即函數(shù)值的增量與自變量增量商的極限.事實(shí)上，還有很多實(shí)際問題如物體的運(yùn)動速度、電流強(qiáng)度、線密度、比熱、化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)問題.圖2-32.1.1導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得增量(仍在該領(lǐng)域內(nèi))時(shí),相應(yīng)的函數(shù)取得增量.如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為

,,，或.如果極限不存在,即稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo).注意：定義中式子表示當(dāng)自變量發(fā)生一個(gè)單位的改變量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)改變了個(gè)單位.所以函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也稱作函數(shù)對自變量的變化率，它反映函數(shù)在該點(diǎn)處的變化快慢，這便是導(dǎo)數(shù)的本質(zhì).例1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解當(dāng)由

變到時(shí)，相應(yīng)增量為

所以,..例2已知，試計(jì)算極限：解已知，由導(dǎo)數(shù)定義可得,也有

定義2.2如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱函數(shù)在開區(qū)間可導(dǎo).此時(shí)，對于任一，都對應(yīng)著的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作

，，，或.顯然，導(dǎo)數(shù)的求解式為.需注意的是該式中雖然可以取區(qū)間的任意值，但取極限的過程依賴于，即是常數(shù)，是變量.例3求函數(shù)(為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解

，即.解=，，即.所以.用類似的方法，可求得：.例4設(shè)函數(shù)，求及.例5設(shè)函數(shù)，求.解，故注意到當(dāng)時(shí)，，則，即.例6設(shè)函數(shù)，求.解，則注意到當(dāng)時(shí)，，有，故,即.

2.1.2可導(dǎo)的充要條件定義2.3如果極限值存在，則稱其值為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記為，即

.如果極限值存在，則稱其值為函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)，記為，即

.由極限存在的充要條件知，存在的充分必要條件是及都存在且相等，故有以下結(jié)論：定理2.1函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)

和右導(dǎo)數(shù)

都存在且相等.即

如果函數(shù)

在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)

且左端點(diǎn)

的右導(dǎo)數(shù)

和右端點(diǎn)

的左導(dǎo)數(shù)

都存在，稱

在閉區(qū)間

上可導(dǎo)注意：定理2.1常常用來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo).例7求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).解當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，由，得.2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義由引例2關(guān)于切線斜率問題的討論以及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率，即，其中是切線的傾角(如圖2-4所示).需特別指出的是，如果在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無窮，此時(shí)曲線的切線是過點(diǎn)且垂直于軸的直線.圖2-4由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平面直線的點(diǎn)斜式方程，可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為:

過切點(diǎn)且與切線垂直的直線叫做曲線在點(diǎn)處的法線.點(diǎn)處的法線方程為：例8求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解因?yàn)椋仕笄芯€方程

即,對應(yīng)法線方程為，即.2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理2.2可導(dǎo)函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù).證明從略.例9討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解：由圖2-5可知，函數(shù)在處是連續(xù)的，因?yàn)?，，?/p>

.所以函數(shù)在處是連續(xù)的.又因?yàn)?/p>

，顯然

，故函數(shù)在處不可導(dǎo).圖2-5例10討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解由知在處連續(xù).

但當(dāng)時(shí)，在和之間振蕩變化，故極限不存在，所以在處不可導(dǎo).注意：上述例子說明，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件而非充分條件.

啟迪：在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，數(shù)學(xué)家們一直猜測：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個(gè)點(diǎn)外都是可導(dǎo)的.直到被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”的德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯，于1872年利用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)構(gòu)造出了一個(gè)處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)，才為上述猜測做了一個(gè)否定的終結(jié).這一成果隨即引起數(shù)學(xué)界和思想界的極大震動，并使得經(jīng)典數(shù)學(xué)陷入又一次危機(jī).危機(jī)的產(chǎn)生促使數(shù)學(xué)家們?nèi)ニ妓餍碌姆椒▽@類函數(shù)進(jìn)行研究，從而促成了一門新的學(xué)科“分形幾何”的產(chǎn)生.所謂“分形”，就是指幾何上的一種“形”，它的局部與整體按某種方式具有“自相似性”（如圖2-6）.自然界存在著許多不規(guī)則不光滑的幾何圖形，它們都具有“自相似性”.如云彩的邊界、山峰的輪廓、奇形怪狀的海岸線、蜿蜒曲折的河流、材料的無規(guī)則裂縫、視網(wǎng)膜血管網(wǎng)等等.因此“分形幾何”自產(chǎn)生起，就得到了數(shù)學(xué)家們普遍的關(guān)注，很快就發(fā)展為一門有著廣泛應(yīng)用前景的新的學(xué)科.“分形幾何”的產(chǎn)生啟示我們：科學(xué)研究必須一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，來不得半點(diǎn)馬虎；要正確認(rèn)識挫折，培養(yǎng)面對困難的勇氣和堅(jiān)強(qiáng)的意志，堅(jiān)信“危中有機(jī)”.圖2-6雪花的分形例11設(shè)函數(shù)，問取何值時(shí)，為可導(dǎo)函數(shù)？解只須討論在處可導(dǎo)時(shí)的取值情況.在處，因?yàn)?，，要使在處可?dǎo)，必須，即，由得.所以，當(dāng)時(shí)為可導(dǎo)函數(shù).應(yīng)用與實(shí)踐導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減變化快慢、最大（小）等問題最一般最有效的工具.“導(dǎo)數(shù)”與“變化率”有密切關(guān)系.通常變化率有兩種，其中“平均變化率”是指，表示某個(gè)變量相對于另一個(gè)變量變化的快慢程度，平均變化率越大，表示函數(shù)的平均變化越快.當(dāng)時(shí)則可以得到“瞬時(shí)變化率”，瞬時(shí)變化率其實(shí)就是導(dǎo)數(shù).它表示的是函數(shù)值在某點(diǎn)處的變化趨勢，瞬時(shí)變化率越大，該點(diǎn)處切線的斜率也就越大.案例1設(shè)某商品的總收益是銷售量的函數(shù).求當(dāng)銷售量為50個(gè)單位時(shí)的總收益變化率,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，該問題即是求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).因?yàn)椋?這表示銷售量為50個(gè)單位時(shí),總收益的變化率為60.其經(jīng)濟(jì)意義為：在銷售量為50個(gè)單位時(shí)，如果再多銷售一個(gè)單位,總收益將增加60個(gè)單位.案例2具有PN節(jié)的半導(dǎo)體器件，其電流微變和引起這個(gè)變化的電壓微變之比稱為低頻跨導(dǎo)．一種PN節(jié)的半導(dǎo)體器件，其轉(zhuǎn)移特性曲線方程為，求電壓V時(shí)的低頻跨導(dǎo)．解低頻跨導(dǎo)在V時(shí)的變化率為

.

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

情景與問題引例1電路中某點(diǎn)處的電流是通過該點(diǎn)處的電量關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，如果某一電路中的電量為,求電流函數(shù).分析電流函數(shù)即電量函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即需求解.但是，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義進(jìn)行求解就顯得比較復(fù)雜了.設(shè)想的求解能否在和的基礎(chǔ)上進(jìn)行呢？如果能，將極大簡化求解難度.引例2鋅和稀硫酸發(fā)生化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生硫酸鋅和氫氣，化學(xué)方程式如下：

.在實(shí)驗(yàn)中可以通過測定反應(yīng)產(chǎn)生的體積來觀察化學(xué)反應(yīng)速率.下圖為經(jīng)過測定的的體積隨時(shí)間變化的曲線（如圖2-7）：通過建立數(shù)學(xué)模型，該體積測定曲線符合函數(shù)

.那么如何算出該實(shí)驗(yàn)的瞬時(shí)化學(xué)反應(yīng)速率呢？分析瞬時(shí)化學(xué)反應(yīng)速率即體積測定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即需求解.但是，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義進(jìn)行求解就顯得比較復(fù)雜了.該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能否拆分求解呢？如果能，將極大簡化求解難度.本節(jié)將介紹一些基本的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，利用這些知識可以方便地求出一些復(fù)雜初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).圖2-7的體積隨時(shí)間變化曲線圖抽象推理2.2.1基本求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

定理2.3設(shè)函數(shù)及在點(diǎn)處可導(dǎo)，則與的和、差、積、商（分母不為零）也可導(dǎo)，且(1)；(2)；(3).特別地，當(dāng)時(shí)，.2.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

證設(shè)，則由導(dǎo)數(shù)的定義有

下面以(2)為例加以證明，其他兩條性質(zhì)類似可證.即.特別地，當(dāng)(是常數(shù))時(shí)，.注意：積的求導(dǎo)法則可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)之積的情形.例如

.例1求的導(dǎo)數(shù).解

.例2求的導(dǎo)數(shù).解

.例3求的導(dǎo)數(shù).解

同理可得：

.例4求的導(dǎo)數(shù).解

.同理可得：.顯然，引例1中的電流函數(shù)，為.引例2中化學(xué)實(shí)驗(yàn)的瞬時(shí)化學(xué)反應(yīng)速率為

2.2.3反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.4如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，那么它的反函數(shù)在對應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，且有或.證明從略.例5求的導(dǎo)數(shù).解是的反函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，又，所以，即.特別地，有.例6求的導(dǎo)數(shù).解由于是在區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)，而在該區(qū)間單調(diào)、可導(dǎo)，且，所以，即.類似地，有

.解

由于是在內(nèi)的反函數(shù)，而在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，所以

即.類似地，有.例7求的導(dǎo)數(shù).2