湖南省岳陽市臨湘市第一中學2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（含答案）

2024年上期臨湘市一中高二數(shù)學期中考試時量:90分鐘滿分:120分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知集合，，則（）A．B．C．D．2.若復數(shù)，則（）A．B．C．D．3.設，，若向量，滿足，，且，則（）A．B．C．D．4.若函數(shù)在單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．5.若橢圓：與雙曲線：的離心率之和為，則（）A．B．C．D．6.設圓：和不過第三象限的直線：，若圓上恰有三點到直線的距離均為，則實數(shù)（）A．B．C．D．7.設且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：.則命題甲是命題乙的（）A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8.若，且，，則（）A．B．C．D．二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．若成等差數(shù)列(公差不為零)的一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為,標準差為，中位數(shù)為；數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標準差為，中位數(shù)為，則（）A．B．C．D．10.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，是上一點，則（）A．B．的最大值為C．的取值范圍是D．的取值范圍是11．已知為坐標原點，點，，，，則（）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知為正整數(shù)，若，則.13.已知，，，則的最小值為.14.已知橢圓：，雙曲線：．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓與雙曲線的離心率之和為__________________.四、解答題（本大題共3個小題，共47分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.(13分)不透明的盒中有四個除所標數(shù)字外均相同的球，它們分別標有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機取個球.(1)求取到個標有數(shù)字的球的概率；(2)設為取出的個球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學期望.16.(17分)從4名男生和3名女生中各選2人.(1)共有多少種不同的選法？(2)如果男生甲與女生乙至少要有1人被選中，那么有多少種不同選法？(3)選出的4人參加百米接力賽，男生甲和女生乙同時被選中參賽，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少種不同的安排方法？（用數(shù)字作答）17.(17分)已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.附加題（注：不作考試要求，不計入總分）18．（單選題）點、分別是函數(shù)，圖象上的點，若點、關于原點對稱，則稱點、是一對“關聯(lián)點”.已知，，則函數(shù)，圖象上的“關聯(lián)點”有（）對A．B．C．D．19．（單選題）若函數(shù)與的圖象存在公切線，則實數(shù)的最小值為（）A．B．C．D．20．(多選題)如圖，已知四邊形中，為邊上的一列點，連接交于，點滿足，其中數(shù)列是首項為的正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則下列結論正確的是（）A．B．數(shù)列是等比數(shù)列C．D．21．（多選題）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．為偶函數(shù)B．在上單調遞增C．在上恰有三個零點D．的最大值為22．若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為．23．在銳角中，若，則的最小值為__________.2024年上期臨湘市一中高二數(shù)學期中考試答案時量:90分鐘滿分:120分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知集合，，則（B）A．B．C．D．2.若復數(shù)，則（A）A．B．C．D．3.設，，若向量，滿足，，且，則（C）A．B．C．D．4.若函數(shù)在單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是（B）A．B．C．D．5.若橢圓：與雙曲線：的離心率之和為，則（A）A．B．C．D．6.設圓：和不過第三象限的直線：，若圓上恰有三點到直線的距離均為，則實數(shù)（C）A．B．C．D．7.設且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：.則命題甲是命題乙的（D）A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8.若，且，，則（D）A．B．C．D．二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．若成等差數(shù)列(公差不為零)的一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為,標準差為，中位數(shù)為；數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標準差為，中位數(shù)為，則（ABCD）A．B．C．D．10.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，是上一點，則（CD）A．B．的最大值為C．的取值范圍是D．的取值范圍是11．已知為坐標原點，點，，，，則（AC）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知為正整數(shù)，若，則.13.已知，，，則的最小值為______.14.已知橢圓：，雙曲線：．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓與雙曲線的離心率之和為______.四、解答題（本大題共3個小題，共47分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.(13分)不透明的盒中有四個除所標數(shù)字外均相同的球，它們分別標有數(shù)字，，，，現(xiàn)從中隨機取個球.(1)求取到個標有數(shù)字的球的概率；(2)設為取出的個球上的數(shù)字之和，求的分布列和數(shù)學期望.解：(1)抽到個標有數(shù)字的球的可能情況共有種，從個球中任取個共有種取法，∴取到個標有數(shù)字的球的概率.(2)的所有可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為∴.16.(17分)從4名男生和3名女生中各選2人.(1)共有多少種不同的選法？(2)如果男生甲與女生乙至少要有1人被選中，那么有多少種不同選法？(3)選出的4人參加百米接力賽，男生甲和女生乙同時被選中參賽，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少種不同的安排方法？（用數(shù)字作答）解:（1）根據(jù)題意，從4名男生和3名女生中各選2人，男生有種選法，女生有種選法，故選法有種.（2）根據(jù)題意，分3種情況討論：男生甲被選中，女生乙沒有被選中，有種．男生甲沒有被選中，女生乙被選中，有種，男生甲和女生乙被選中，有種，則共有種選法.（3）男生甲和女生乙同時被選中的選法為種，4人參加百米接力賽的總安排方法為種，甲跑第一棒的安排方法為種，乙跑最后一棒的安排方法為種，甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法為種，甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法為種．17.(17分)已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.解：(1)等比數(shù)列的公比為，則，，兩式相除得，所以，，所以.(2)由(1)得，所以，所以.18．（單選題）點、分別是函數(shù)，圖象上的點，若點、關于原點對稱，則稱點、是一對“關聯(lián)點”.已知，，則函數(shù)，圖象上的“關聯(lián)點”有（C）對A．B．C．D．解析：（法一）根據(jù)題意，設為，圖象上的“關聯(lián)點”，則，即.設，則，解得或（舍去）由，得，其，則方程有個不同實根，故函數(shù)，圖象上的“關聯(lián)點”有對.（法二）令，則，該方程表示圓心為，半徑為的半圓（軸上方）.先作出這個半圓，再作出函數(shù)的圖象，由圖可知，滿足條件的“關聯(lián)點”有對.19．（單選題）若函數(shù)與的圖象存在公切線，則實數(shù)的最小值為（A）A．B．C．D．解析：（法一）設公切線與，圖象分別切于點，，則圖象在處的切線方程為：，即，圖象在處的切線方程為：，即，由上述兩直線重合得，消元可得：，令，則，得在上單調遞增，在上單調遞減，即有，得，故選.（法二）由圖象易知：，分別為上凸和下凸函數(shù)，要使，存在公切線，只需在上恒成立即可，即恒成立，則.20．(多選題)如圖，已知四邊形中，為邊上的一列點，連接交于，點滿足，其中數(shù)列是首項為的正項數(shù)