（詳解詳析）2024年河南洛陽(yáng)一模·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁(yè)（共頁(yè)）2024年河南洛陽(yáng)一?！?shù)學(xué)詳解詳析一、選擇題1.A【解析】﹣3的絕對(duì)值是3．2.D【解析】112.5億＝11250000000＝1.125×1010.3.A4.C【解析】2a﹣a＝a，則A選項(xiàng)不符合題意；（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，則B選項(xiàng)不符合題意；（a2b）2＝a4b2，則C選項(xiàng)符合題意；6a2與3a不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并，則D選項(xiàng)不符合題意.5.D【解析】如圖所示，∵EF⊥CD于點(diǎn)F，∴∠EFK＝90°，∵∠E＝50°，∴∠EKF＝90°﹣50°＝40°，∵AB∥CD，∴∠BAK＝∠EKF＝40°，∠AFK＝∠BAF，∵AF平分∠EAB，∴∠BAF

=12∠BAK＝20°，∴∠AFK＝20°，∴∠AFE＝∠EFK+∠AFK＝90°+20°＝6.A【解析】∵關(guān)于x的方程x2﹣x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣8m＞0，解得m

＜18．故m的值可以7.D【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝110°，∴∠D＝180°﹣110°＝70°，由圓周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°.8.B【解析】調(diào)查總?cè)藬?shù)360÷30%＝1200（人），選擇龍門石窟的人數(shù)1200×20%＝240（人）.9.A【解析】∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣6，0），且點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為（﹣3，4），OB＝6，OA＝8．在Rt△ABO中，AB

=62+82=10，∴BC

=12AB=5．如圖，令BC的中點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（

?92，2）．過(guò)點(diǎn)H作x軸的平行線交y軸與點(diǎn)E，則平移后點(diǎn)H在y軸上的點(diǎn)E處，∴△BCD向右平移了

92個(gè)單位長(zhǎng)度．∵CD⊥AB，∠AOD＝90°，∴∠BAO＝∠CDB．在Rt△ABO中，sin∠BAO

=BOAB=35，∴sin∠CDB

=35．在Rt△BCD中，sin∠CDB

=BCBD，∴

5BD=10.C【解析】如圖①，連接AE，交BD于點(diǎn)P′，連接P′C，由對(duì)稱性得AP′＝CP′，∴P′E+P′C＝P′E+P′A＝AE，由兩點(diǎn)之間線段最短得，AE為所求最小值10，設(shè)BE＝x，∵BE＝13BC，∴BC＝3x＝AB，在Rt△ABE中，x2+（3x）2＝（10）2，∴x＝1，∴BC＝3，∴CE＝2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)，如圖②，在Rt△CDE中，DE2＝22+32，∴DE

＝13，∴PC+PE＝DC+DE＝3＋13，∴a＝3＋13

答案圖①

答案圖②二、填空題12.3＜x≤4【解析】令

x?4≤0①x3＞1②，由①得，x≤4，由②得，x＞13.1【解析】一對(duì)夫婦的第一個(gè)孩子有女孩和男孩兩種情況，因此一對(duì)夫婦的第一個(gè)孩子是女孩的概率是

1214.π﹣2【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴以邊BC為直徑的半圓面積

=12π×12

=12π，∴扇形CAE的面積

=45π×22360=12π，∵S△ABC

=12AC·BC＝2，∵陰影部分的面積＝以邊BC為直徑的半圓面積+扇形CAE的面積﹣Rt△ABC的面積，∴15.65【解析】當(dāng)∠DAC＝90°，且點(diǎn)D在AC上方時(shí)，如圖①所示，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵∠DAC＝∠ACM＝∠CMD＝90°，且AC＝AD，∴四邊形ACMD是正方形，∴DM＝MC＝AC=

5，∴BM=

52+5=352．在Rt△BDM中，BD

=

(5)2+(352)2=652；當(dāng)∠DAC＝90°，且點(diǎn)D在AC下方時(shí)，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠DAC＝∠ACN＝∠CND＝90°，且AC＝AD，∴四邊形ACND是正方形，∴CN＝DN＝AC

=5，∴BN

=5-52=52，在Rt△

答案圖①

答案圖②三、解答題16.解：（1）原式

=12+1?1

＝1+23；（2）原式

=x

=117.解：（1）B型號(hào)汽車行駛里程的平均數(shù)是：

2×205+4把這20個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第10，11個(gè)數(shù)據(jù)均為215km，∴中位數(shù)為215km；220km出現(xiàn)了六次，次數(shù)最多，∴眾數(shù)為220km；（2）選擇B型號(hào)汽車．理由如下：A型號(hào)汽車的平均里程、中位數(shù)和眾數(shù)均低于208km，且只有15%的車輛能達(dá)到行程要求，故不建議選擇；B，C型號(hào)汽車的平均里程、中位數(shù)和眾數(shù)都超過(guò)208km，其中B型號(hào)汽車有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充電耽誤時(shí)間，且B型號(hào)汽車比C型號(hào)汽車更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠，故建議選擇B型號(hào)汽車．18.解：（1）將A點(diǎn)代入雙曲線y

=kx（x＜得4

=k解得k＝﹣20，∴反比例函數(shù)的解析式為y

=﹣（2）如圖，MN即為所求，（3）證明：∵AD∥BC，A（﹣5，4），頂點(diǎn)D在y軸上，∴D（0，4），∴OD

=

4，∵C（3，0），∴OC

=

3，∴CD

=32∵BC

=55∴BO＝BC﹣CO

=556?3∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB

=25∴EO＝BO﹣BE

=376∴EC＝EO+OC＝2+3＝5，∵AD＝EC＝5，AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵EC＝CD＝5，∴平行四邊形AECD是菱形．19.解：（1）A，B；【解法提示】當(dāng)購(gòu)物金額為90元時(shí)，在A超市購(gòu)物實(shí)付金額90×0.75＝67.5（元），在B超市購(gòu)物實(shí)付金額90元，∵67.5＜90，∴當(dāng)購(gòu)物金額為90元時(shí)，選擇A超市更省錢；當(dāng)購(gòu)物金額為120元時(shí)，在A超市購(gòu)物實(shí)付金額120×0.75＝90（元），在B超市購(gòu)物實(shí)付金額120﹣40＝80（元），∵90＞80，∴當(dāng)購(gòu)物金額為120元時(shí)，選擇B超市更省錢．（2）當(dāng)0≤x＜200時(shí)，在A超市購(gòu)物實(shí)付金額yA＝0.75x；當(dāng)0≤x＜100時(shí)，在B超市購(gòu)物實(shí)付金額yB＝x；當(dāng)100≤x＜200時(shí)，在B超市購(gòu)物實(shí)付金額yB＝x﹣40；∴在B超市購(gòu)物實(shí)付金額yB

=x當(dāng)x＝0時(shí)，yA＝y(tǒng)B＝0；當(dāng)0＜x＜100時(shí)，yA＜yB；當(dāng)100≤x＜200時(shí)，若yA＜yB，0.75x＜x

﹣40，解得x＞160；若yA＝y(tǒng)B，0.75x＝x

﹣40，解得x＝160；若yA＞yB，0.75x＞x

﹣40，解得x＜160．綜上所述，當(dāng)0＜x＜100或160＜x＜200時(shí)，在A超市購(gòu)物更省錢；當(dāng)x＝0或x＝160時(shí)，在A超市購(gòu)物和B超市購(gòu)物實(shí)付金額一樣多，任選一家即可；當(dāng)100≤x＜160時(shí)，在B超市購(gòu)物更省錢．（3）在B超市購(gòu)物、購(gòu)物金額越大，享受的優(yōu)惠率不一定越大．舉例說(shuō)明如下：當(dāng)在B超市購(gòu)物金額為100元時(shí)，返40元，實(shí)付金額為100

﹣40＝60（元），優(yōu)惠率為

100?60100×100%＝40%；當(dāng)在B超市購(gòu)物金額為160元時(shí)，返40元，實(shí)付金額為160

﹣40＝120（元），優(yōu)惠率為

160∴在B超市購(gòu)物、購(gòu)物金額越大，享受的優(yōu)惠率不一定越大．20.解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥EO，垂足為F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BF，垂足為G，由題意得，F(xiàn)G＝AO，∠OAG＝∠AGB＝90°，∵∠BAO＝120°，∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝30°，∴AB＝2BG，在Rt△AEO中，∠AEO＝50°，EO＝48m，∴∠EAO＝90°﹣∠AEO＝40°，AO＝EO·tan50°≈48×1.20＝57.6（m），AE

=OEco∴∠BAE＝∠BAO﹣∠EAO＝80°，∵∠AEB＝20°，∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝80°，∴∠ABE＝∠BAE＝80°，∴AE＝BE＝75m，在Rt△BEF中，∠BEF＝∠BEA+∠AEO＝70°，∴BF＝BE·sin70°≈75×0.94＝70.5（m），∴BG＝BF﹣FG＝BF﹣AO＝70.5﹣57.6＝12.9（m），∴AB＝2BG＝25.8≈26（m），∴風(fēng)葉AB的長(zhǎng)度約為26m．21.解：（1）由題意得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0.9），∴該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為0.9m，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y＝a（x﹣3）2+0.9，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），∴9a+0.9＝0，解得a＝﹣0.1，∴函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9；（2）取y＝0，第一次訓(xùn)練時(shí)，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9，解得x1＝0（不合題意，舍去），x2＝6，∴l(xiāng)1＝6；第二次訓(xùn)練時(shí)，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，解得x1＝0（不合題意，舍去），x2＝4.4，∴l(xiāng)1＝4.4，∵6＞4.4，∴l(xiāng)1＞l2．22.（1）（﹣1，0），4；【解法提示】根據(jù)“遠(yuǎn)望點(diǎn)”定義，可得半徑為1的⊙O關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)望點(diǎn)”的坐標(biāo)是（﹣1，0），∴⊙O關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)望數(shù)”為1×（1+3）＝4.（2）設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），如圖所示，連接OC并延長(zhǎng)，交⊙C于點(diǎn)H，交直線AB于點(diǎn)G，過(guò)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，設(shè)A（m，0），B（0，n），∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，2），∴OC

=1∵O是⊙C關(guān)于直線AB的“遠(yuǎn)望點(diǎn)”．且⊙C關(guān)于直線AB的“遠(yuǎn)望數(shù)”是5

5，∴OG⊥AB于點(diǎn)G，OC·OG＝5

5，即

5OG＝5

5，∴OG＝5，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣1，2），CD⊥y軸于點(diǎn)D，∴CD＝1，OD＝2，∵CD⊥y軸，OG⊥AB，∴∠ODC＝∠OGB＝90°，∵∠COD＝∠BOG，∴△COD∽△BOG，∴

ODOG=∴n

=5∴B（0，

55同理得△BAO∽△BOG，∴

AOOG=∴m＝﹣5

5，∴A（﹣5

5，0），∴

?55k+∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y

=12x

23.解：（1）在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；等腰三角形三線合一；【解法提示】（1）由題意得，DF＝AD，DA⊥OA，∴∠AOD＝∠FOD（

在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）∵AE＝AD，OA⊥DE，∴OA垂直平分DE，∴OE＝OD，∴OA平分∠EOD（

等腰三角形三線合一），（2）證明：連接BB′，B′M，過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥B′M′于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)B′作B′K⊥BC于點(diǎn)K，如圖①，由折疊得，BP＝PM，∠QPB＝90°，BM＝B′M′，BM′＝B′M，∴BB′＝B′M，BM＝2BP，∴BB′＝BM′，∵BJ⊥B′M′，∴B′J＝JM′，∴∠B′BJ＝∠M′BJ，∴B′M′＝2B′J，∴BP＝B′J，∵BP＝B′K，∴B′K＝B′J，∴BB′平分∠KBJ，∴∠KBB′＝∠JBB′，∴∠KBB′＝∠JBB′＝∠M′B