第06講 事件的相互獨(dú)立性、條件概率及全概率公式與貝葉斯公式（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率及全概率公式與貝葉斯公式（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第18題,17分獨(dú)立事件的乘法公式利用對(duì)立事件的概率公式求概率求離散型隨機(jī)變量的均值2023年新I卷，第21題,12分利用全概率公式求概率求離散型隨機(jī)變量的均值2023年新Ⅱ卷，第12題,5分獨(dú)立事件的乘法公式獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題利用互斥事件的概率公式求概率2023年全國(guó)甲卷（理），第6題,5分計(jì)算條件概率無2022年新I卷，第20題,12分計(jì)算條件概率獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題2022年新Ⅱ卷，第19題,12分計(jì)算條件概率頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)利用對(duì)立事件的概率公式求概率2021年新I卷，第8題,5分獨(dú)立事件的判斷無2020年全國(guó)甲卷（理），第19題,12分獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用及概率無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-12分【備考策略】1.理解、掌握事件的相互獨(dú)立性關(guān)系及其辨析2.會(huì)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算3.會(huì)條件概率的計(jì)算4.會(huì)全概率及貝葉斯概率的計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合條件概率、全概率及貝葉斯概率綜合考查，需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)知識(shí)講解事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立．互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時(shí)，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對(duì)任意的事件有考點(diǎn)一、獨(dú)立事件的判斷1．（2024·上?！じ呖颊骖}）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立2．（2021·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）有6個(gè)大小相同的小球，其中1個(gè)黑色，2個(gè)藍(lán)色，3個(gè)紅色．采用放回方式從中隨機(jī)取2次球，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取紅球”，乙表示事件“第二次取藍(lán)球”，丙表示事件“兩次取出不同顏色的球”，丁表示事件“與兩次取出相同顏色的球”，則（

）A．甲與乙相互獨(dú)立 B．甲與丙相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．乙與丁相互獨(dú)立1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一枚點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“第二枚點(diǎn)數(shù)大于4”，則與關(guān)系為（

）A．互斥 B．互為對(duì)立 C．相互獨(dú)立 D．相等2．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為5；事件；事件.則下列說法正確的是（

）A．事件與事件為互斥事件 B．事件與事件為互斥事件C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件與事件相互獨(dú)立3．（24-25高三上·陜西安康·開學(xué)考試）（多選）一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和小于5”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于2”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對(duì)立事件C．事件與事件是相互獨(dú)立事件 D．事件與事件是互斥事件4．（2024·廣東珠?！ひ荒＃ǘ噙x）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且，是A，B發(fā)生的概率．，則下列說法正確的是（

）A．若A，B互斥，則B．若，則A，B相互獨(dú)立C．若A，B互斥，則A，B相互獨(dú)立D．與相等考點(diǎn)二、獨(dú)立事件的乘法公式1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測(cè)的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測(cè)的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測(cè)成陽性的概率約為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負(fù)者先著子，則最終甲勝的概率為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.5753．（2024·天津和平·二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為．4．（2022·全國(guó)·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大1．（2024·河南鄭州·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正四面骰子（骰子為正四面體，四個(gè)面上的數(shù)字分別為1，2，3，4），若骰子與桌面接觸面上的數(shù)字為1或2，則再拋鄭一次，否則停止拋擲（最多拋擲2次）．則拋擲骰子所得的點(diǎn)數(shù)之和至少為4的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)成功搭建了國(guó)際首個(gè)通信與智能融合的6G外場(chǎng)試驗(yàn)網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6G項(xiàng)目時(shí)遇到了一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別獨(dú)立攻關(guān).已知甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為．3．（2024·湖南益陽·一模）在某世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊(duì)進(jìn)入了最后的比賽，在第一輪的兩場(chǎng)比賽中，a對(duì)b，c對(duì)d，然后這兩場(chǎng)比賽的勝者將進(jìn)入冠亞軍決賽，這兩場(chǎng)比賽的負(fù)者比賽，決出第三名和第四名.若a對(duì)b、a對(duì)d的勝率均為0.6，a對(duì)c、c對(duì)d的勝率均為0.5，則a獲得冠軍的概率為.考點(diǎn)三、條件概率的計(jì)算1．（2023·全國(guó)·高考真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2024·天津·高考真題）五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.甲選到的概率為；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為．3．（2022·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為4．（2024·安徽安慶·三模）（多選）已知，，，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．5．（2022·全國(guó)·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在某電路上有C，D兩個(gè)獨(dú)立工作的元件，每次通電后，需要更換C元件的概率為0.3，需要更換D元件的概率為0.2，則在某次通電后C，D有且只有一個(gè)需要更換的條件下，C需要更換的概率是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有1000個(gè)蘋果，其中900個(gè)是大果，100個(gè)是小果，現(xiàn)想用一臺(tái)水果分選機(jī)篩選出來．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽出一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）（多選）隨機(jī)事件，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝率均為，小郅勝小睿的勝率為，比賽采用三局兩勝制，第一場(chǎng)比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對(duì)弈，勝者繼續(xù)與上一場(chǎng)輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場(chǎng)比賽，則其為最終獲勝者.(1)若第一場(chǎng)比賽小金輪空，則需要下第四場(chǎng)比賽的概率為多少？(2)求最終小金獲勝的概率.(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率（請(qǐng)用兩種方法解答）.5．（23-24高二下·山西臨汾·期中）某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)據(jù)，如下表:性能指標(biāo)6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值.若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值.(2)若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.03，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件.①求這件零件是次品的概率；②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率；③在①的條件下，若從這批機(jī)器零件中隨機(jī)抽取300件，每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記抽出的零件是次品，且該項(xiàng)性能指標(biāo)恰好在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.考點(diǎn)四、全概率公式及應(yīng)用1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有3種題庫(kù)，題庫(kù)有5000道題，題庫(kù)有4000道題，題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成題庫(kù)的正確率是0.92，題庫(kù)的正確率是0.86，題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是．3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)某工廠購(gòu)進(jìn)10盒同樣規(guī)格的零部件，已知甲廠、乙廠、丙廠分別生產(chǎn)了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)該種零部件的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一個(gè)零部件，則取得的零部件是次品的概率為（

）A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.064．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）（多選）某社區(qū)有甲、乙兩隊(duì)社區(qū)服務(wù)小組，其中甲隊(duì)有3位男士、2位女士，乙隊(duì)有2位男士、3位女士．現(xiàn)從甲隊(duì)中隨機(jī)抽取一人派往乙隊(duì)，分別以事件和表示從甲隊(duì)中隨機(jī)抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示從乙隊(duì)（甲隊(duì)已經(jīng)抽取一人派往乙隊(duì)）中隨機(jī)抽取一人抽到的是男士，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．1．（2024·貴州貴陽·二模）某汽修廠倉(cāng)庫(kù)里有兩批同種規(guī)格的輪胎，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.現(xiàn)從倉(cāng)庫(kù)中任抽取1個(gè)輪胎，則這個(gè)輪胎是合格品的概率是（

）A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.9542．（2024·安徽·一模）有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個(gè)零件，則它是次品的概率（

）A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.05253．（2024·河南·二模）（多選）現(xiàn)有編號(hào)分別為的三個(gè)盒子，其中盒中共20個(gè)小球，其中紅球6個(gè)，盒中共20個(gè)小球，其中紅球5個(gè)，盒中共30個(gè)小球，其中紅球6個(gè).現(xiàn)從所有球中隨機(jī)抽取一個(gè)，記事件：“該球?yàn)榧t球”，事件：“該球出自編號(hào)為的盒中”，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．若從所有紅球中隨機(jī)抽取一個(gè)，則該球來自盒的概率最小4．（2024·江蘇宿遷·三模）某批零件一級(jí)品的比例約為，其余均為二級(jí)品．每次使用一級(jí)品零件時(shí)肯定不會(huì)發(fā)生故障，而在每次使用二級(jí)品零件時(shí)發(fā)生故障的概率為．某項(xiàng)任務(wù)需要使用該零件次（若使用期間出現(xiàn)故障則換一件使用）．(1)某零件在連續(xù)使用3次沒有發(fā)生故障的條件下，求該零件為一級(jí)品的概率；(2)當(dāng)時(shí)，求發(fā)生故障次數(shù)的分布列及期望．考點(diǎn)五、貝葉斯概率公式及應(yīng)用1．（2024·湖南邵陽·三模）甲、乙兩個(gè)工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）越來越多的人喜歡參加戶外極限運(yùn)動(dòng)，據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，兩個(gè)地區(qū)分別有的人參加戶外極限運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)地區(qū)的總?cè)丝跀?shù)的比為．若從這兩個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則此人參加戶外極限運(yùn)動(dòng)的概率為；若此人參加戶外極限運(yùn)動(dòng)，則此人來自地區(qū)的概率為，那么（

）A． B．C． D．3．（2024·貴州遵義·三模）（多選）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.現(xiàn)有甲、乙、丙三臺(tái)車床加工同一件零件，甲車床加工的次品率為，乙車床加工的次品率，丙車床加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起，且甲、乙、丙3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，，設(shè)事件，，分別表示取到的零件來自甲、乙、丙車床，事件B表示任取一個(gè)零件為次品，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.1．（2024·山東濟(jì)南·三模）（多選）某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）（多選）中國(guó)象棋是一種益智游戲，也體現(xiàn)博大精深的中國(guó)文化.某學(xué)校舉辦了一次象棋比賽，李明作為選手參加.除李明之外的其他選手中，甲、乙兩組的人數(shù)之比為，李明與甲、乙兩組選手比賽獲勝的概率分別為0.6，0.5.從甲、乙兩組參賽選手中隨機(jī)抽取一位棋手與李明比賽，下列說法正確的是（

）A．李明與甲組選手比賽且獲勝的概率為B．李明獲勝的概率為C．若李明獲勝，則棋手來自甲組的概率為D．若李明獲勝，則棋手來自乙組的概率為3．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報(bào)率為0.5%，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）春夏之交因晝夜溫差大，細(xì)菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié)．某校高二年級(jí)某組團(tuán)統(tǒng)計(jì)了流感暴發(fā)前的半個(gè)月與流感暴發(fā)后的半個(gè)月的學(xué)生請(qǐng)假情況，得到如下數(shù)據(jù)：因發(fā)燒請(qǐng)假非發(fā)燒請(qǐng)假合計(jì)流感暴發(fā)前1030流感暴發(fā)后30合計(jì)70(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為流感暴發(fā)對(duì)請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．(2)后經(jīng)過了解，在全校因發(fā)燒請(qǐng)假的同學(xué)中男生占比為，且的因發(fā)燒請(qǐng)假的男生需要輸液治療，的因發(fā)燒請(qǐng)假的女生需要輸液治療．學(xué)校隨機(jī)選擇一名因發(fā)燒請(qǐng)假在醫(yī)院輸液的同學(xué)進(jìn)行慰問，求這名同學(xué)是女生的概率．附：．0．050．010．0013．8416．63510．828一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）不透明的袋子里裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)完全相同的乒乓球，有放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件{2個(gè)球的標(biāo)號(hào)互不相同}，事件{取出5號(hào)球}，則（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）假設(shè)是兩個(gè)事件，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．B．C．D．3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）隨著我國(guó)鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號(hào)和復(fù)興號(hào)列車，且和諧號(hào)列車的列次為復(fù)興號(hào)列車的列次的2倍，和諧號(hào)的正點(diǎn)率為0.98，復(fù)興號(hào)的正點(diǎn)率為0.99，今有一列車未正點(diǎn)到達(dá)該站，則該列車為和諧號(hào)的概率為（

）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.84．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第臺(tái)加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第臺(tái)車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件“零件為第i臺(tái)車床加工”，事件“零件為次品”，則（

）A．0.2 B．0.05 C． D．二、多選題5．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，，則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說法正確的是（

）．A．若，則A，B相互獨(dú)立 B．若A，B互斥，則A，B不相互獨(dú)立C．若，則 D．若，則7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（

）A．與相互對(duì)立 B．與相互獨(dú)立C． D．8．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）假設(shè)是兩個(gè)事件，且，，，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則.10．（23-24高二下·廣東廣州·期末）某藥廠用甲、乙兩地收購(gòu)而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，這兩個(gè)地區(qū)的供貨量分別占，，且用這兩地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為，，現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為．一、單選題1．（2024·上海奉賢·三模）如果分別是的對(duì)立事件，下列選項(xiàng)中不能判斷件與事件相互獨(dú)立的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河南南陽·三模）甲袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球；乙袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以，，表示事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球，以表示事件“取出的是白球”，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．事件，，是兩兩互斥的事件 B．事件與事件為相互獨(dú)立事件C． D．二、多選題3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)事件滿足，則下列說法正確的是（

）A．若與互相獨(dú)立，則B．若，則與互相獨(dú)立C．若與互斥，則D．若，則與互斥4．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍(lán)的三個(gè)箱子，其中紅色箱子內(nèi)裝有2個(gè)紅色球，1個(gè)黃色球和1個(gè)藍(lán)色球；黃色箱子內(nèi)裝有2個(gè)紅色球，1個(gè)藍(lán)色球；藍(lán)色箱子內(nèi)裝有3個(gè)紅色球，2個(gè)黃色球．若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同色的箱子中，第二次再?gòu)膭偛欧湃肱c球同色的這個(gè)箱子中任取一個(gè)球，則下列說法正確的是（

）A．若第一次抽到黃色球，那么第二次抽到藍(lán)色球的概率為B．第二次抽到藍(lán)色球的概率為C．如果第二次抽到的是藍(lán)色球，則它最有可能來自紅色箱子D．如果還需將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)箱子內(nèi)，每個(gè)箱子至少放1個(gè)，則不同的放法共有150種三、填空題5．（2024·江蘇蘇州·三模）已知，則.6．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如圖：01若的數(shù)學(xué)期望為，事件：或，事件：或，則；.7．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名同學(xué)在電腦上進(jìn)行答題測(cè)試，每套測(cè)試題可從題庫(kù)中隨機(jī)抽取.在一輪答題中，如果甲單獨(dú)答題，能夠通過測(cè)試的概率是，如果乙單獨(dú)答題，能夠通過測(cè)試的概率是.若甲單獨(dú)答題三輪，則甲恰有兩輪通過測(cè)試的概率為；若在甲，乙兩人中任選一人進(jìn)行測(cè)試，則通過測(cè)試的概率為.（結(jié)果均以既約分?jǐn)?shù)表示）四、解答題8．（2024·浙江·三模）將除顏色外完全相同的紅球2個(gè)、白球3個(gè)放入一盲盒（一種具有隨機(jī)屬性的玩具盒子），現(xiàn)從中不放回取球.(1)若每次取一個(gè)球，求：（?。┣皟纱尉〉郊t球的概率；（ⅱ）第2次取到紅球的概率；(2)若從中取出兩個(gè)球，已知其中一個(gè)球?yàn)榧t球，求：（?。┝硪粋€(gè)也為紅球的概率；（ⅱ）若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機(jī)取一個(gè)球來替換另一個(gè)球，如果從提高取到紅球的可能性出發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.9．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球.(1)若從袋中一次性取出兩個(gè)小球，即取到的紅球個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若從袋中不放回的取3次，每次取一個(gè)小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個(gè)紅球的概率.10．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再?gòu)脑撓渲械瓤赡艹槌鲆粋€(gè)商品，稱為首次檢驗(yàn).將首次檢驗(yàn)的商品放回原來的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品，則通過檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲箱或乙箱的概率均為.(1)求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；(2)在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；(3)將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗(yàn)選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過的概率大.1．（全國(guó)·高考真題）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則