離散系統(tǒng)的極小值原理

極小值原理離散系統(tǒng)的極小值原理目錄離散歐拉公式離散極小值原理隨著數(shù)字計(jì)算機(jī)日益普及，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)日益增多，因此，離散系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的研究顯的十分重要，其原因是，一方面許多實(shí)際問(wèn)題本身就是離散的，另一方面，即時(shí)實(shí)際系統(tǒng)是連續(xù)的，但為了對(duì)連續(xù)系統(tǒng)采用計(jì)算機(jī)控制，需要把時(shí)間整量化，從而得到一離散化系統(tǒng)。1離散歐拉方程當(dāng)控制序列不受約束時(shí)，可以采用離散變分法求解離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，得到離散極值的必要條件——離散歐拉方程。設(shè)描述離散系統(tǒng)的狀態(tài)差分方程為：

（3-1）

式中是離散時(shí)刻的維狀態(tài)；是的維控制向量；是維向量函數(shù)序列，對(duì)于等間隔采樣，，為采樣周期；為數(shù)據(jù)窗口長(zhǎng)度。離散最優(yōu)控制問(wèn)題中，性能指標(biāo)取為如下：（3-2）式中是第個(gè)采樣周期內(nèi)性能指標(biāo)的增量。設(shè)式（3-1）和式（3-2）構(gòu)成的離散最優(yōu)控制問(wèn)題存在極值解，記為和，則在極值解附近的容許軌線和容許控制可以表示為（3-3）式中、和分別是、和的變分。將式（3-3）代入式（3-2）得離散性能泛函：（3-4）當(dāng)不考慮式（3-1）所示的等式約束時(shí)，為了求得上述離散拉格朗日問(wèn)題的極值解，對(duì)式（3-4）取離散一次變分：（3-5）……可得離散泛函極值的必要條件：（3-6）以及（3-7）式（3-6）為向量差分方程，常稱為離散歐拉方程。而式（3-7）則是相應(yīng)的離散橫截條件。[例]設(shè)一階離散系統(tǒng)及其邊界條件為：性能指標(biāo)試求使性能指標(biāo)為極小的最優(yōu)控制序列和相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)序列。[解]應(yīng)用拉格朗日乘子函數(shù)，構(gòu)造廣義離散泛函：則原泛函在狀態(tài)差分方程等式約束下的條件極小問(wèn)題化為廣義泛函的無(wú)條件極小問(wèn)題。這時(shí)：因?yàn)椋核杂呻x散歐拉方程（3-6）可得：其中為待定的常數(shù)。將代入狀態(tài)差分方程，有用迭代法求解上述差分方程，有：代入已知邊界條件，解得：因此，該離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線分別為：總結(jié)應(yīng)用離散歐拉方程求解等式約束和不等式約束的離散極值問(wèn)題比較麻煩，而用離散極小值原理處理這種約束問(wèn)題卻很方便。特別是，當(dāng)控制序列受約束時(shí)，離散變分法不再適用，只能用離散極小值原理或離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)求解離散極小值問(wèn)題。2離散極小值原理龐特里亞金發(fā)表極小值原理時(shí)，只討論了連續(xù)系統(tǒng)的情況。為了獲得離散系統(tǒng)的極小值原理，有人曾經(jīng)從離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)比較接近這一事實(shí)出發(fā)，設(shè)想把連續(xù)極小值原理直接推廣到離散系統(tǒng)中去，但除了采樣周期足夠小的情況外，結(jié)果是失敗的。離散極小值原理的普遍論述比較復(fù)雜，證明過(guò)程也十分冗長(zhǎng)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，下面介紹控制向量序列不受約束情況下的離散極小值原理，然后不加證明地推廣到控制向量序列受約束的情況。離散極小值原理可以敘述如下：

[定理3-7]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)受約束）

[定理3-8]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)自由）[定理3-7]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)受約束）設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程（3-8）性能指標(biāo)（3-9）式中、和都是其自變量的連續(xù)可微函數(shù)，，。控制有不等式約束：，其中為容許控制域。末端狀態(tài)受下列等式約束限制：（3-10）式中

若是使性能指標(biāo)（3-9）為最小的最優(yōu)控制序列，是相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)序列，則必存在維非零常向量和維向量函數(shù)，使得、和滿足如下必要條件：①和滿足下列差分方程（3-11）（3-12）式中離散哈密頓函數(shù)（3-13）②和滿足邊界條件（3-14）（3-15）（3-16）③離散哈密頓函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制取極小值（3-17）若控制變量不受約束，即可以在整個(gè)控制空間中取值，則極值條件為（3-18）[定理3-8]（關(guān)于離散系統(tǒng)末端狀態(tài)自由）設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程性能指標(biāo)式中、和都是其自變量的連續(xù)可微函數(shù)，，?？刂朴胁坏仁郊s束：，其中為容許控制域。末端狀態(tài)自由。若是使性能指標(biāo)為最小的最優(yōu)控制序列，是相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)序列，則必存在維向量函數(shù)，使得、和滿足如下必要條件：①和滿足下列差分方程式中離散哈密頓函數(shù)②和滿足邊界條件③離散哈密頓函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制取極小值若控制變量不受約束，即可以在整個(gè)控制空間中取值，則極值條件為例已知離散系統(tǒng)性能指標(biāo)求使性能指標(biāo)達(dá)到極小的最優(yōu)控制序列。[解]本例，末態(tài)自由，可用定理3-8求解。令離散哈密頓函數(shù)因?yàn)樗约矗阂虼耍焊鶕?jù)狀態(tài)方程可得：根據(jù)已知的，最后求得最優(yōu)軌線、最優(yōu)控制和最優(yōu)性能指標(biāo)為：離散與連續(xù)極小值原理的比較離散系統(tǒng)最優(yōu)