專題14 二次函數(shù)的應(yīng)用（講義）（10題型+5類型）

第14講二次函數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u題型01最大利潤/銷量問題 3題型02方案選擇問題 4題型03拱橋問題 6題型04隧道問題 8題型05空中跳躍軌跡問題 10題型06球類飛行軌跡 12題型07噴泉問題 14題型08圖形問題 17題型09圖形運動問題 20題型10二次函數(shù)綜合問題 23考點要求新課標要求命題預(yù)測二次函數(shù)的應(yīng)用能用二次函數(shù)解決實際問題二次函數(shù)的應(yīng)用在中考中較為常見，其中，二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用多為小題，出題率不高，一般需要根據(jù)題意自行建議二次函數(shù)模型;而利用二次函數(shù)圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數(shù)據(jù)較大，還需根據(jù)實際情況判斷所求結(jié)果是否有合適，需要考生在做題過程中更為細心對待。

用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：審：仔細審題，理清題意；設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題；檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，再根?jù)題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題。【注意】自變量的取決范圍。利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達式設(shè)出動點的坐標或表示出與動點有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點有關(guān)的條件進行計算．利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設(shè)出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關(guān)的線段長或其他點的坐標等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．

題型01最大利潤/銷量問題【例1】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某商店以一定的價格購進甲、乙兩種商品若干千克，銷售統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲商品從開始銷售至銷售的第x天總銷量y1（千克）與x的關(guān)系如圖1所示，且y1是x的二次函數(shù)．乙商品從開始銷售至銷售第x天的總銷量y2kg，y2=ωx，其中(1)分別求出y1，y2與(2)甲、乙兩種商品購進量相差多少；(3)分別求出甲、乙兩種商品哪天銷量最大，并求出最大銷售量是多少．【變式1-1】（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）深圳某公司生產(chǎn)A、B兩種玩具，每個B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生產(chǎn)A種玩具，3600元生產(chǎn)B種玩具，共生產(chǎn)玩具1000個，請解答下列問題：(1)A、B兩種玩具每個的成本分別是多少元？(2)某大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上銷售B玩具，物價部門規(guī)定每個售價不低于進貨價且每個的利潤不允許高于進貨價的50%【變式1-2】（2023·安徽六安·校考二模）某廠家生產(chǎn)一種兒童電動玩具，3月份前4天生產(chǎn)的該兒童玩具售價y（元/個）和銷量t（個）的數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234售價y/（元/個）30323436銷量t/個100120140160從第5天開始工廠對外調(diào)整價格為28元一個，據(jù)統(tǒng)計第5天以后兒童電動玩具銷量t（個）和第x天的關(guān)系為t=?x2+50x?100（5≤x≤20(1)直接寫出銷量t（個）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式，并且求出第5天以后第幾天的銷量最大，最大值為多少？(2)若成本價為20元，求該工廠這些天（按20天計）出售兒童電動玩具得到的利潤W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出第幾天的利潤最大及其最大值．題型02方案選擇問題【例2】（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某工廠接到一批紀念品生產(chǎn)訂單，要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀念品的出廠價為每件20元，設(shè)第x天（0<x≤15）每件產(chǎn)品的成本價是y元，y與x之間關(guān)系為：y=0.5x+7，任務(wù)完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)工人小王第x天生產(chǎn)產(chǎn)品P（件）與x（天）之間的關(guān)系如下圖所示，設(shè)小王第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元．(1)直接寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少？(3)最后，統(tǒng)計還發(fā)現(xiàn)，平均每個工人每天創(chuàng)造的利潤為288元，于是，工廠制定如下獎勵方案：如果一個工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當天可獲得20元獎金，請計算，在生產(chǎn)該批紀念過程中，小王能獲得多少元的獎金？【變式2-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）某公司在甲、乙兩城生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，受原材料產(chǎn)地，上、下游配套工廠等因素影響，生產(chǎn)成本不同．甲城產(chǎn)品的成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為y=ax2+bx+ca≠0，圖象為如圖的虛線所示：乙城產(chǎn)品的成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量(1)求a、b、k的值．(2)若甲、乙兩城一共生產(chǎn)50件產(chǎn)品，請設(shè)計一種方案，使得總生產(chǎn)成本最?。?3)從甲城把產(chǎn)品運往A、B兩地的運費（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系式為：y甲A=nx，y甲B=3x；從乙城把產(chǎn)品運往A、B兩地的運費（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系為：y乙A=x題型03拱橋問題【例3】（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）賽龍舟是中國端午節(jié)的習俗之一，也是一項廣受歡迎的民俗體育運動．某地計劃進行一場劃龍舟比賽，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點O的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.01x?302+9，據(jù)調(diào)查，龍舟最高處距離水面2(1)水面的寬度OA=_______m；(2)要設(shè)計通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m【變式3-1】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和h之間的關(guān)系進行了探究．

下面是小紅的探究過程，請補充完整：(1)經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應(yīng)值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，______是自變量，______是這個變量的函數(shù)；(2)在下面的平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①求該函數(shù)的解析式：②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE=DF，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米?（2≈1.41【變式3-2】（2023·河南安陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，拱形橋的截面由矩形和拋物線組成，矩形長12m，寬4m，以當前水面為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系．其中拱橋的最高點D到水面OB的距離為10m．

(1)求該拋物線的解析式；(2)若一艘貨輪寬為8m，要確保貨輪安全通過拱橋，求其裝完貨物后的最大高度；(3)若要在拱橋拋物線的左右兩側(cè)同樣的高度安裝兩個攝像頭，要求攝像頭到水面的距離不低于6m、不超過8m，請直接寫出兩個攝像頭水平距離的最大值．題型04隧道問題【例4】（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，隧道的截面由拋物線BEC和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長AD為8m，寬AB為2m．以AD所在直線為x軸，線段AD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，拋物線頂點E到坐標原點O的距離為5(1)求這條拋物線的解析式；(2)如果隧道是雙向通道，現(xiàn)有一輛貨車高3.6m，寬2.4m，這輛貨車能否通過該隧道？請通過計算進行說明．【變式4-1】（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，一個橫截面為拋物線形的公路隧道，其最大高度6米，底部寬度OM為12米，現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在的直線為x軸建立直角坐標系．

(1)求這條拋物線的表達式；(2)該隧道設(shè)計為雙向通行道，如果規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于13米的空隙，則通過隧道車輛的高度限制應(yīng)為＿_(3)在隧道修建過程中，需要搭建矩形支架AD?DC?CB（由三段組成）對隧道進行裝飾，其中C、D在拋物線上，A，B在地面OM上，求這個支架總長Z的最大值．【變式4-2】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標系．①此拋物線的函數(shù)表達式為____________________．（函數(shù)表達式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．③已知人行道臺階CE，+題型05空中跳躍軌跡問題【例5】（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）已知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優(yōu)異成績，為研究他從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態(tài)，如圖，以起跳點為原點O，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關(guān)系，記點A為該二次函數(shù)圖象與x軸的交點，點B為該運動員的成績達標點，BC⊥x軸于點C，相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

水平距離x（米）5102030空中飛行的高度y（米）4.560?18(1)請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數(shù)解析式__________________；(2)若該運動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足y=?0.05x2+1.1x，則他第二次跳躍落地點與起跳點平面的水平距離為d=【變式5-1】（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）“兔飛猛進”諧音成語“突飛猛進”．在自然界中，野兔善于奔跑跳躍，“兔飛猛進”名副其實．野兔跳躍時的空中運動路線可以看作是拋物線的一部分．(1)建立如圖所示的平面直角坐標系．通過對某只野兔一次跳躍中水平距離x（單位：m）與豎直高度y（單位：m）進行的測量，得到以下數(shù)據(jù)：水平距離x00.411.422.42.8豎直高度y00.480.90.980.80.480根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問題：①野兔本次跳躍的最遠水平距離為_________m，最大豎直高度為_________m；②求滿足條件的拋物線的解析式；(2)已知野兔在高速奔跑時，某次跳躍的最遠水平距離為3m，最大豎直高度為1m．若在野兔起跳點前方2m處有高為0.8m的籬笆，則野兔此次跳躍_________（填“能”或“不能”）躍過籬笆．【變式5-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）跳臺滑雪是以滑雪板為工具，在專設(shè)的跳臺上以自身的體重通過助滑坡獲得的速度比跳躍距離和動作姿勢的一種雪上競技項目．如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線C1:y=?112x2+76(1)求拋物線C2的函數(shù)解析式；(2)當運動員與點A的水平距離是多少米時，運動員和小山坡到水平線的高度相同；(3)運動員從A點滑出后直至和小山坡到水平線的高度相同時，運動員與小山坡的高度差最大是多少米？題型06球類飛行軌跡【例6】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目，如圖①是一名男生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時起點處高度為2米，當水平距離92米時，實心球行進至最高點：25

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)該市2023年中考體育考試評分標準（男生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于12.4米，此項考試得分為滿分17分，按此評分標準，該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．【變式6-1】（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學(xué)?？级＃┠嘲嗉壴谝淮握n外活動中設(shè)計了一個彈珠投箱子的游戲（長方體無蓋箱子放在水平地面上）．同學(xué)們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個動點，并建立了如圖所示的平面直角坐標系（x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形DEFG為箱子的截面示意圖），某同學(xué)將彈珠從A1,0處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L:y=ax2+bx+32(單位長度為1m)的一部分，且當彈珠的高度為32m

(1)求拋物線L的解析式和頂點坐標．(2)請判斷該同學(xué)拋出的彈珠是否能投人箱子．若能，請通過計算說明原因；若不能，在不改其它條件的情況下，調(diào)整EF的高度，使得彈珠可以投入箱子，請直接寫出EF的取值范圍．【變式6-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方的B處發(fā)出，球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，已知OB=m米，排球場的邊界點A距O點的水平距離OA為18米，球網(wǎng)EF高度為2.4米，且OE=1(1)C點的坐標為________（用含m的代數(shù)式表示）(2)當m=2時，求拋物線的表達式．(3)當m=2時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由．(4)若運動員調(diào)整起跳高度，使球在點A處落地，此時形成的拋物線記為L1，球落地后立即向右彈起，形成另一條與L1形狀相同的拋物線L2，且此時排球運行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為梯形的無蓋排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ=0.5米，MN=2米，NP=89米，若排球經(jīng)過向右反彈后沿L2的軌跡落入回收框MNPQ內(nèi)（下落過程中碰到P、Q點均視為落入框內(nèi)），設(shè)題型07噴泉問題【例7】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度OH為1.5m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度EF=0.5m．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m、高出噴水口0.5m，灌溉車到綠化帶的距離OD為d（單位：

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍【變式7-1】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，噴水池中心為原點建立直角坐標系．(1)求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式；(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到24米（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后噴水池水柱的最大高度．【變式7-2】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考三模）消防車中的高噴消防車，采用曲臂加伸縮結(jié)構(gòu)，頂端裝有消防炮，其液控炮既可噴射水也可噴射泡沫，具有射程遠，流量大的特點．該車主要作業(yè)于油田、高層建筑、石化企業(yè)等地方的滅火救援和處置工作．在一次模擬高層建筑起火救援中，消防炮噴水口A距離地面35米，距離大樓起火側(cè)面20米，噴出水柱呈拋物線形，水柱最高處B距離地面50米，距離大樓起火側(cè)面5米，如圖所示建立平面直角坐標系．

(1)求出水柱所在拋物線的解析式；(2)目前火焰不斷從第17層窗口竄出，若每層樓約2.9米高，窗臺高度約為0.9米，窗頂距離該層地面高度約2.4米，此時水柱能否射入該層窗口？(3)火勢已經(jīng)向上蔓延到距離地面55米處，高噴消防車最后一節(jié)伸縮臂CA按原來方向（與水平方向夾角約為53°）伸長了一截（不超過12米），為阻止火勢進一步蔓延，伸縮臂應(yīng)該伸長幾米？（伸縮臂伸長時間忽略，sin53°≈0.8【變式7-3】（2023·廣東深圳·深圳實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）某公園要在小廣場上建造一個噴泉景觀.在小廣場中央O處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子OA，安置于柱子頂端A處的噴水向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示．為使水流形狀較為美觀，設(shè)計成水流在距OA的水平距離為1米時到達最大高度，此時離地面2.25米．

(1)以點O為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子OA的距離為d米，則d的取值范圍是______________；(3)在平面內(nèi)，把一個圖形上的任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值稱為這兩個圖形的距離．為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為y=?x+4，求光線與拋物線水流之間的距離．題型08圖形問題【例8】（2022·福建南平·統(tǒng)考一模）如圖，某中學(xué)把五育并舉與減負延時服務(wù)相結(jié)合，勞動課準備在校園里利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個矩形茶園ABCD，讓學(xué)生在茶園里體驗種茶活動．現(xiàn)已知校圍墻MN長25米，籬笆40米長（籬笆用完），設(shè)AB長x米，矩形茶園ABCD的面積為S平方米．

(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；(2)當矩形茶園ABCD的面積為200平方米時，求AB的長．【變式8-1】（2022·北京海淀·人大附中?？寄M預(yù)測）數(shù)學(xué)活動課上，老師提出問題：如圖1，有一張長4dm，寬3

下面是探究過程，請補充完整：(1)設(shè)小正方形的邊長為xdm，體積為ydm3，根據(jù)長方體的體積公式得到y(tǒng)(2)確定自變量x的取值范圍是________________；(3)列出y與x的幾組對應(yīng)值．x…1131537195…y…1.32.22.73.02.82.51.50.9…（說明：表格中相關(guān)數(shù)值均精確到0.1）(4)為觀察y與x之間的關(guān)系，建立坐標系（圖2），以x為橫坐標，y為縱坐標，描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點，并用平滑的曲線連接它們；(5)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：要使得長方體盒子的體積最大，小正方形的邊長約為______dm．（精確到0.1）【變式8-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了增加校園綠化，學(xué)校計劃建造一塊邊長為40m的正方形花壇種植“兩花一草”，如圖，取四邊中點，構(gòu)成正方形EFGH(1)經(jīng)了解，甲區(qū)域建造費用為50元/m2，乙區(qū)城建造費用為80元/m2，草坪建造費用為10元/m2，設(shè)每個矩形的面積為xm2，建造總費用為y(2)當建造總費用為74880元時，矩形區(qū)城的長和寬分別為多少米？(3)甲區(qū)域建造費用調(diào)整為40元/m2，乙區(qū)域建造費用調(diào)整為a元/m2（a為10的倍數(shù)），草坪建造單價不變，最后建造總費用為55000元，求【變式8-3】（2023·新疆·二模）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC=8(1)求拋物線解析式；(2)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；(3)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長．【變式8-4】（2023·安徽六安·校聯(lián)考一模）如圖，在邊長2為的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B，C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處，在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA．(1)求證：△CMP∽△BPA．(2)求△CNP的周長．(3)求線段AM長度的最小值．題型09圖形運動問題【例9】（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=9cm,AB=15cm．動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度沿邊AB向終點B勻速運動．以PA為一邊作∠APQ=90°，另一邊PQ與射線AC相交于點Q，以AP,AQ為邊作平行四邊形APMQ．設(shè)點P的運動時間為xs，平行四邊形APMQ與

(1)當點Q在邊AC上時，AQ的長為____________cm；(用含x的代數(shù)式表示)(2)當點M落在邊BC上時，求x的值；(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【變式9-1】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于點D，點P從點A出發(fā)，沿A→C方向以1cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點M，C位于PQ異側(cè)），設(shè)點P的運動時間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為(1)如圖2，當點M落在AB上時，x=_______；(2)求點M落在AD上時x的值；(3)若M點在AD下方時，求重疊部分面積y與運動時間x的函數(shù)表達式．【變式9-2】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3cm，動點P，Q同時出發(fā)，點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線AB?BC?CD運動，點Q從點A出發(fā)以1cm/s的速度沿AC向終點C運動，當點Q到達點C時，P，Q兩點同時停止運動，連結(jié)AP，PQ．設(shè)點P的運動時間為tst>0，△PAQ的面積為

(1)當點P與點C重合時，t=________s；(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當CP=CQ時，直接寫出t的值．【變式9-3】（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？既＃┰凇鰽BC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，點M，點N同時從點A出發(fā)，點M沿邊AB以4cm/s的速度向點B運動，點N從點A出發(fā)，沿邊AC以3cm/s的速度向點C運動，（點M不與A，B重合，點N不與A，

(1)求證：△AMN∽△ABC；(2)當x為何值時，以MN為直徑的⊙O與直線BC相切？(3)把△AMN沿直線MN折疊得到△MNP，若△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？題型10二次函數(shù)綜合問題類型一線段、周長問題【例10】（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax+12?4a經(jīng)過點D?2,3，與x軸交于點A，B兩點，與

(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找到一點E，使得△BCE的周長最小，求出這個最小值；(3)連接AC，在第一象限的拋物線上找一點P，使得點P到x軸的距離和點P到直線AC的距離相等，求點P的坐標．【變式10-1】（2023·廣東湛江·校考一模）拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A?3,0,B(1)求拋物線的解析式(2)在拋物線對稱軸上找一點M，使△MBC的周長最小，并求出點M的坐標和△MBC的周長(3)若點P是x軸上的一個動點，過點P作PQ∥BC交拋物線于點Q，在拋物線上是否存在點Q，使B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點【變式10-2】（2023·廣東潮州·一模）如圖，直線y=?2x+3交x軸于點B，交y軸于點C，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A(1)求拋物線的解析式．(2)P是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，過P作PH⊥BC于H，求PH+2HB的最大值．(3)M是拋物線對稱軸上的一個動點，連接MB，把線段MB沿著直線BC翻折，M的對應(yīng)點M'恰好落在拋物線上，求M【變式10-3】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=14x+?2+k．點A?1,2在拋物線的對稱軸上，B0,54是拋物線與y(1)直接寫出?，k的值；(2)如圖，若點D的坐標為3,m，點Q為y軸上一動點，直線QK與拋物線對稱軸垂直，垂足為點K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個最小值及點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖，連接AD，AC，若∠DAC=60°，求點D的坐標．類型二面積周長問題【例11】（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B

(1)求B，(2)如圖②，點D是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接OD，BC，BD，OD交BC于點E，當【變式11-1】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過原點O(0,0)和點A(4,0)，它的對稱軸交拋物線于點B．C,D兩點在對稱軸上（點C在D的上方），且關(guān)于點B對稱，直線OD交拋物線于點E(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（1），若△OCE的面積為212，求點D(3)如圖（2），若∠OEC=90°，求點D的坐標．【變式11-2】（2022·福建南平·統(tǒng)考一模）已知拋物線y=x2?2ax+(1)記拋物線的頂點為N(p,q)，求q關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于點A,B，在點A,B之間的拋物線上有一動點P．求△PAB的面積的最大值．類型三角度問題【例12】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）已知拋物線L:y=?23x2+bx+c與y軸的交點為C0,2，與x軸的交點分別為A3,0(1)求拋物線的表達式.(2)將拋物線沿x軸向左平移mm>0個單位，所得的拋物線與x軸的左交點為M，與y軸的交點為N，若∠NMO=∠CAO，求m【變式12-1】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=?12x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?12x2+bx+c經(jīng)過(1)求該拋物線的解析式．(2)若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當∠ABD=2∠BAC時，求點D的坐標．(3)已知E，F(xiàn)分別是直線AB和拋物線上的動點，當EF∥OB，且以B，O，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的E點的坐標．【變式12-2】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于點A(?4,0)和點B(2,0)，與y(1)求該拋物線的表達式及點C的坐標；(2)如果點D的坐標為(?8,0)，連接AC、DC，點P為拋物線上一點，當∠OCP=∠DCA時，求點P的坐標．類型四特殊三角形問題【例13】（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測）已知經(jīng)過原點O的拋物線y=?x2+4x與x(1)求點A的坐標及拋物線的對稱軸；(2)點B是OA的中點，點N是y軸正半軸上一點，在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點M，使得△OMN與△OBM全等，且點B與點N為對應(yīng)點，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【變式13-1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）如圖，直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=?x2?2x+3與x軸交于A，B兩點，與y(1)如圖①，連接BC，在y軸上存在一點D，使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點D的坐標；(2)如圖②，在拋物線上是否存在點E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖③，連接BC，在直線AC上是否存在點F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；(4)如圖④，若拋物線的頂點為H，連接AH，在x軸上是否存在一點K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出點K的坐標；若不存在，請說明理由；(5)如圖⑤，在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．類型五特殊四邊形問題【例14】（2022·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y=x?5經(jīng)過點B(1)求拋物線的解析式；(2)直線y=t交拋物線于點P、Q，拋物線的頂點為D，四邊形DPEQ為菱形．①當t=3時，求菱形DPEQ的面積；②當點E落在△ABC內(nèi)部（不含邊上）時，直接寫出t的取值范圍．【變式14-1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線l:x=?1，且與y軸的交點坐標為(0,?1)，直線l與x

(1)求該拋物線的表達式；(2)如圖，點P是該拋物線對稱軸右側(cè)圖象上一動點，過點P作PA⊥x軸，PB⊥l，垂足分別為A，B．設(shè)點P的橫坐標為m．當四邊形APBC為正方形時，求m的值．【變式14-2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，以點C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在⊙C

(1)求出A，B兩點的坐標；(2)試確定經(jīng)過A、B兩點且以點P為頂點的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

第14講二次函數(shù)的應(yīng)用答案解析題型01最大利潤/銷量問題【例1】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某商店以一定的價格購進甲、乙兩種商品若干千克，銷售統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲商品從開始銷售至銷售的第x天總銷量y1（千克）與x的關(guān)系如圖1所示，且y1是x的二次函數(shù)．乙商品從開始銷售至銷售第x天的總銷量y2kg，y2=ωx，其中(1)分別求出y1，y2與(2)甲、乙兩種商品購進量相差多少；(3)分別求出甲、乙兩種商品哪天銷量最大，并求出最大銷售量是多少．【答案】(1)y1=?x(2)甲、乙兩種商品購進量相差75(3)甲乙均在第1天銷量最大，分別是29kg、75【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)y1=ax2+bx，結(jié)合圖象上的點代入計算可以得解；又ω是關(guān)于x的一次函數(shù)，過0，60，20（2）依據(jù)題意，分別依據(jù)頂點式求出兩種商品的最大值，然后作差可以得解；（3）依據(jù)題意，設(shè)第t天，甲、乙商品銷量最大，表示出來后，求出最大值即可得解．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)y1∴4a+2b=5616a+4b=104∴y1又ω是關(guān)于x的一次函數(shù)，過0，60，設(shè)ω=kx+60，∴0=20k+60，解得k=?3，∴ω=?3x+60，∴y2（2）解：由題意得，y1∵?1<0，∴當x=15時，甲商品的最大值為225；又y2∵?3<0，∴當x=10時，乙商品的最大值為300．∴y乙?y即甲、乙兩種商品購進量相差75kg（3）解：第t天，乙商品銷量：?3=3=?6t+63，∴當t=1時，ω乙此時甲商品銷量：?==?2t+31，∴當t=1時，ω甲答：甲乙均在第1天銷量最大，分別是29kg、75【點睛】本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．【變式1-1】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）深圳某公司生產(chǎn)A、B兩種玩具，每個B玩具的成本是A玩具的1.5倍，公司投入1600元生產(chǎn)A種玩具，3600元生產(chǎn)B種玩具，共生產(chǎn)玩具1000個，請解答下列問題：(1)A、B兩種玩具每個的成本分別是多少元？(2)某大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上銷售B玩具，物價部門規(guī)定每個售價不低于進貨價且每個的利潤不允許高于進貨價的50%【答案】(1)A、B兩種玩具每個的成本分別是4元和6元(2)當銷售單價為9元時利潤最大為300元【分析】（1）設(shè)A玩具每個的成本為x元，B玩具每個的成本為1.5x元，根據(jù)“公司投入1600元生產(chǎn)A種玩具，3600元生產(chǎn)B種玩具，共生產(chǎn)玩具1000個”列方程求解，注意分式方程需要驗根；（2）設(shè)銷售單價為a元，則銷售量為：120?20a?8件，根據(jù)題意可得?【詳解】（1）解：設(shè)A玩具每個的成本為x元，B玩具每個的成本為1.5x元．根據(jù)題意得：1600解得：x=4經(jīng)檢驗x=4是原方程的解．∴答：A、B兩種玩具每個的成本分別是4元和6元．（2）解：設(shè)銷售單價為a元，則銷售量為：120?20a?8件；由題可知a≥6且∴根據(jù)題意得：w=∵????20<0

∴????【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，找到題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·安徽六安·?？级＃┠硰S家生產(chǎn)一種兒童電動玩具，3月份前4天生產(chǎn)的該兒童玩具售價y（元/個）和銷量t（個）的數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234售價y/（元/個）30323436銷量t/個100120140160從第5天開始工廠對外調(diào)整價格為28元一個，據(jù)統(tǒng)計第5天以后兒童電動玩具銷量t（個）和第x天的關(guān)系為t=?x2+50x?100（5≤x≤20(1)直接寫出銷量t（個）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式，并且求出第5天以后第幾天的銷量最大，最大值為多少？(2)若成本價為20元，求該工廠這些天（按20天計）出售兒童電動玩具得到的利潤W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出第幾天的利潤最大及其最大值．【答案】(1)銷量t（個）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式為t=20x+80（(2)W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為W=40【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求出銷量t與第x天滿足的關(guān)系式，并根據(jù)第5天以后兒童電動玩具銷量t（套）和第x天的關(guān)系式，由函數(shù)性質(zhì)求出最值；（2）根據(jù)單件利潤×銷售量＝總利潤分段列出函數(shù)解析式，即可由函數(shù)性質(zhì)得到答案．【詳解】（1）解：由表格可知，前4天銷量t與第x天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)t＝kx+b把k+b=1002k+b=120解得k=20b=80∴銷量t與第x天滿足的關(guān)系式為t=20x+80（∵第5天以后兒童電動玩具銷量t（個）和第x天的關(guān)系為t=?x∵?1<0，∴當x<25時，t隨x的增大而增大，∵5≤x≤20，∴當x=20時，t有最大值，最大值為?(20?25)∴銷量t（個）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式為t=20x+80（（2）解：設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=mx+n，把(1,30),(2,32)代入得：m+n=302m+n=32解得m=2n=28∴y與x的函數(shù)解析式為y=2x+28，①當1≤x≤4時，W=(2x+28?20)(20x+80)=40x當x=4時，W有最大值，最大值為40×(4+4)②當5≤x≤20時，W=(28?20)(?x∵?8<0,5≤x≤20，∴當x=20時，W有最大值，最大值為?8×25+4200=4000，∴第20天時W的最大值為4000元．∴W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為W=40【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系求分段函數(shù)的解析式．題型02方案選擇問題【例2】（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“櫻花紅陌上，邂逅在咸安”，為迎接我區(qū)首屆櫻花文化旅游節(jié)，某工廠接到一批紀念品生產(chǎn)訂單，要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀念品的出廠價為每件20元，設(shè)第x天（0<x≤15）每件產(chǎn)品的成本價是y元，y與x之間關(guān)系為：y=0.5x+7，任務(wù)完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)工人小王第x天生產(chǎn)產(chǎn)品P（件）與x（天）之間的關(guān)系如下圖所示，設(shè)小王第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元．(1)直接寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求小王第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少？(3)最后，統(tǒng)計還發(fā)現(xiàn)，平均每個工人每天創(chuàng)造的利潤為288元，于是，工廠制定如下獎勵方案：如果一個工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當天可獲得20元獎金，請計算，在生產(chǎn)該批紀念過程中，小王能獲得多少元的獎金？【答案】(1)P=(2)W=?x2(3)180元【分析】（1）結(jié)合圖象，分段計算，當10≤x≤15時，P=40，當0<x≤10時，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意有：W=P×20?y，結(jié)合（1）的結(jié)果和y=0.5x+7，即可求解，再分別求出當0<x≤10時和當10≤x≤15時，W（3）根據(jù)題意可知：當W>288時，即可獲得獎勵，當0<x≤10時，令W=288，即有?x2+16x+260=288，解得x=2或者x=14，可得當2<x≤10時可以獲得獎勵；當10≤x≤15時，W>288，即有：W=?20x+520>288【詳解】（1）解：結(jié)合圖象，分段計算，當10≤x≤15時，P=40，當0<x≤10時，設(shè)P與x之間的函數(shù)關(guān)系為：P=kx+b，∵10,40，0,20，∴b=2010k+b=40，解得b=20即此時P=2x+20，綜上：P=2x+20（2）根據(jù)題意有：W=P×20?y∵P=2x+200<x≤1040∴W=2x+20整理得：W=?當0<x≤10時，W=?x即當x=8時，W有最大值，最大值為W=324，當10≤x≤15時，W=?20x+520，即W隨著x的增大而減小，∴當x=10時，W有最大值，最大值為W=320，∵320<324，∴當x=8時，W有最大值，最大值為W=324，∴小王第8天創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是324元；（3）根據(jù)題意可知：當W>288時，即可獲得獎勵，當0<x≤10時，令W=288，即有?x解得x=2或者x=14，∵0<x≤10，函數(shù)W=?x∴當W>288時，有2<x≤10，即此時可以獲得獎勵為：20×10?2當10≤x≤15時，W>288，即有：W=?20x+520>288，解得：10≤x<11.6，即此時可以獲得獎勵為：20×2=40（元），∵第10天重復(fù)計算，∴總計獲得的獎勵為：160+40?20=180（元）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式等知識，明確題意，正確得出函數(shù)關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）某公司在甲、乙兩城生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，受原材料產(chǎn)地，上、下游配套工廠等因素影響，生產(chǎn)成本不同．甲城產(chǎn)品的成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為y=ax2+bx+ca≠0，圖象為如圖的虛線所示：乙城產(chǎn)品的成本y（萬元）與產(chǎn)品數(shù)量

(1)求a、b、k的值．(2)若甲、乙兩城一共生產(chǎn)50件產(chǎn)品，請設(shè)計一種方案，使得總生產(chǎn)成本最?。?3)從甲城把產(chǎn)品運往A、B兩地的運費（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系式為：y甲A=nx，y甲B=3x；從乙城把產(chǎn)品運往A、B兩地的運費（萬元）與件數(shù)（件）的關(guān)系為：y乙A=x【答案】(1)a=14，b=1，(2)當甲城生產(chǎn)4件，乙城生產(chǎn)46件時，總成本最小；(3)當n=2時，總運費最小值為64萬元；當n<2時，總運費最小值為4n+56萬元；當n>2時，總運費最小值為64萬元．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象過原點得到c=0，將2,3和1,5（2）由（1）可得甲、乙的函數(shù)表達式，設(shè)生產(chǎn)成本為w，則得到w=1（3）設(shè)從甲城運往A地區(qū)的產(chǎn)品數(shù)量為m件，甲、乙兩城總運費為p，則從甲城運往B地的產(chǎn)品數(shù)量為4?m件，從乙城運往A地的產(chǎn)品數(shù)量為40?m件，從乙城運往B地的產(chǎn)品數(shù)量為10?4+m件，根據(jù)題意列出不等式求出m的取值范圍，再表示出p，根據(jù)判斷即可得到結(jié)果；【詳解】（1）∵y=ax∴c=0，將2,3和1,54代入解析式y(tǒng)=ax②×4?①得：代入①中得a=1∴a=1將2,6代入y=kx中得k=3，∴a=14，b=1，（2）由（1）可得，甲：y=14x設(shè)生產(chǎn)成本為w，則得到w=1∴當x=4時，甲、乙兩城生產(chǎn)這批產(chǎn)品總成本和最少，50?4=46，∴甲城生產(chǎn)4件，乙城生產(chǎn)46件，此時生產(chǎn)成本最小；（3）設(shè)從甲城運往A地區(qū)的產(chǎn)品數(shù)量為m件，甲、乙兩城總運費為p，則從甲城運往B地的產(chǎn)品數(shù)量為4?m件，從乙城運往A地的產(chǎn)品數(shù)量為40?m件，從乙城運往B地的產(chǎn)品數(shù)量為10?4+m件，由題意可得：4?m≥040?m≥0解得：0≤m≤4，∴p=mn+34?m=mn+12?3m+40?m+12+2m，=mn?2m+64，=n?2當0≤n≤2，0≤m≤4時，p隨n的增大而減小，∴m=4時，p的值最小，最小值為4n?2當n>2，0≤m≤4時，p隨n的增大而增大，則m=0時，p的值最小，最小值為64；∴當0≤n≤2時，總運費為4n+56萬元；當n>2時，總運費為64萬元．【點睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)在實際問題當中的應(yīng)用，理解清楚題目中的數(shù)量關(guān)系并明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03拱橋問題【例3】（2023·北京豐臺·統(tǒng)考一模）賽龍舟是中國端午節(jié)的習俗之一，也是一項廣受歡迎的民俗體育運動．某地計劃進行一場劃龍舟比賽，圖1是比賽途中經(jīng)過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點O的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=?0.01x?302+9，據(jù)調(diào)查，龍舟最高處距離水面2(1)水面的寬度OA=_______m；(2)要設(shè)計通過拱橋的龍舟賽道方案，若每條龍舟賽道寬度為9m【答案】(1)60(2)4條．【分析】（1）求出拋物線與x軸的交點坐標即可得到答案；（2）求出當y=5時，x的值，即可求出可設(shè)計賽道的寬度，再根據(jù)每條龍舟賽道寬度為9m【詳解】（1）解：令y=0，則?0.01x?30∴x?302解得x=0或x=60，∴A60∴OA=60m故答案為：60；（2）解：令y=5，得?0.01x?30∴x?30解得x1=10，∴可設(shè)計賽道的寬度為50?10=40m∵每條龍舟賽道寬度為9m∴最多可設(shè)計賽道4條．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋（橫截面如圖所示），跨度AB為4米．在距點A水平距離為d米的地點，拱橋距離水面的高度為h米．小紅根據(jù)學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，對d和h之間的關(guān)系進行了探究．

下面是小紅的探究過程，請補充完整：(1)經(jīng)過測量，得出了d和h的幾組對應(yīng)值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h這兩個變量中，______是自變量，______是這個變量的函數(shù)；(2)在下面的平面直角坐標系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象，解決問題：①求該函數(shù)的解析式：②公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船．為安全起見，公園要在水面上的C，D兩處設(shè)置警戒線，并且CE=DF，要求游船能從C，D兩點之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米?（2≈1.41【答案】(1)d，h(2)見解析(3)①?=?0.5d2+2d+0.88；②C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義進行判斷作答即可（2）①待定系數(shù)法求解析式即可；②令?=2，代入求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，在d和h這兩個變量中，d是自變量，h是這個變量的函數(shù)故答案為：d，h；（2）解：描點，連線，作圖如下；（3）①解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為?=ad把1，2.38，3，解得：a=?0.5b=2∴二次函數(shù)的解析式為?=?0.5d②解：令?=2，得：?0.5d解得d=2±d≈0.7或d≈3.3，∴則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米．【點睛】本題考查了函數(shù)的定義，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于正確的求二次函數(shù)解析式．【變式3-2】（2023·河南安陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，拱形橋的截面由矩形和拋物線組成，矩形長12m，寬4m，以當前水面為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系．其中拱橋的最高點D到水面OB的距離為10m．

(1)求該拋物線的解析式；(2)若一艘貨輪寬為8m，要確保貨輪安全通過拱橋，求其裝完貨物后的最大高度；(3)若要在拱橋拋物線的左右兩側(cè)同樣的高度安裝兩個攝像頭，要求攝像頭到水面的距離不低于6m、不超過8m，請直接寫出兩個攝像頭水平距離的最大值．【答案】(1)y=?(2)22(3)46【分析】（1）根據(jù)點D的坐標為6,10可設(shè)拋物線的解析式為y=ax?62+10，將點A（2）求出寬為8m（3）令y=6時，求解對應(yīng)的一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵矩形AOBC的長為12m，寬為4m，點D到OB的距離為10m．∴點A的坐標為0,4，點D的坐標為6,10．設(shè)拋物線的解析式為y=ax?6把A0,4代入，得4=解得a=?1∴y=?1∴該拋物線的解析式為y=?1（2）解：122當x=2時，y=22∴要確保貨輪安全通過拱橋，其裝完貨物后的最大高度是223（3）解：由圖像可知，函數(shù)值越小，水平距離越大．當y=6時，?解得：x∴兩個攝像頭水平距離的最大值為：6+26【點睛】本題考查了二次函數(shù)與拱橋問題．將實際問題與二次函數(shù)問題建立正確的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．題型04隧道問題【例4】（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，隧道的截面由拋物線BEC和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長AD為8m，寬AB為2m．以AD所在直線為x軸，線段AD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，拋物線頂點E到坐標原點O的距離為5

(1)求這條拋物線的解析式；(2)如果隧道是雙向通道，現(xiàn)有一輛貨車高3.6m，寬2.4m，這輛貨車能否通過該隧道？請通過計算進行說明．【答案】(1)y=?(2)這輛貨運卡車能通過該隧道，理由見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線在坐標系中的特殊位置，可以設(shè)拋物線的一般式，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．（2）把x=±2.4代入（1）所求解析式中求出y的值，再與貨車的高進行比較即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c根據(jù)題意，得A?4由c=516a?4b+c=2解得a=?3∴所求的拋物線的解析式為y=?3（2）解：這輛貨運卡車能通過該隧道，理由如下：當x=±2.4時，y=?3∵3.92>3.6，∴這輛貨運卡車能通過該隧道．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求拋物線解析式有幾種方法，一般式、頂點式、交點式，因題而異，靈活處理．確定拋物線的解析式的關(guān)鍵是會找拋物線上的幾個關(guān)鍵點．【變式4-1】（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，一個橫截面為拋物線形的公路隧道，其最大高度6米，底部寬度OM為12米，現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在的直線為x軸建立直角坐標系．

(1)求這條拋物線的表達式；(2)該隧道設(shè)計為雙向通行道，如果規(guī)定車輛必須在中心線兩側(cè)、距離道路邊緣2米的范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于13米的空隙，則通過隧道車輛的高度限制應(yīng)為＿_(3)在隧道修建過程中，需要搭建矩形支架AD?DC?CB（由三段組成）對隧道進行裝飾，其中C、D在拋物線上，A，B在地面OM上，求這個支架總長Z的最大值．【答案】(1)y=?1(2)3；(3)15．【分析】（1）利用待定系數(shù)法進行求解，即可得到拋物線解析式；（2）把x=2代入y=?x?62+6中，得到y(tǒng)=（3）設(shè)Dx,?16x?62+6，由題意可知，AD=BC=?16x?62+6，D與C【詳解】（1）解：由題意知：拋物線的頂點P6,6設(shè)拋物線的表達式為y=a將0,0代入y=ax?62+6∴a=?1∴拋物線表達式為：y=?1（2）解：把x=2或x=10代入y=?x?62+6∵車輛頂部與隧道有不少于13∴限高為103故答案為：3；（3）解：設(shè)Dx,?∵矩形支架AD?DC?CB，∴DC∥x軸，∴D與C關(guān)于直線x=6對稱，∴DC=26?x∴Z=AD+DC+BC=12?2x+2?∵a<0∴當x=3時，Z有最大值15，【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）按要求解答(1)某市計劃修建一條隧道，已知隧道全長2400米，一工程隊在修了1400米后，加快了工作進度，每天比原計劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計劃每天修多長？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標系．①此拋物線的函數(shù)表達式為________．（函數(shù)表達式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高________米．③已知人行道臺階CE，+【答案】(1)原計劃每天修20米(2)①y=?0.3x【分析】（1）設(shè)原計劃每天修x米，然后根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）①由題意可得E?4,0,F4,0,A?6,0,B6,0,M0,10.8，然后運用待定系數(shù)法解答即可；②車的寬度為4米，令x=4時求得y=6，然后再減去0.5即可解答；③如圖：由CE，DF【詳解】（1）解：設(shè)原計劃每天修x米則根據(jù)題意可得：2400解得：x=?25或x=20經(jīng)檢驗，x=20是分式方程的解．答：原計劃每天修20米．（2）解：①根據(jù)題意可得：C設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a由題意可得：0=36a?6b+c0=36a+6b+c10.8=c所以拋物線的函數(shù)表達式為y=?0.3②∵車的寬度為4米，車從正中通過，∴令x=4時，y=?0.3×16+10.8=6，∴貨車安全行駛裝貨的最大高度為6?0.5=5.5（米）．③如圖：由CE，DF高均為0.3米，則點令y=0.3，則有：0.3=?0.3x2+10.8∴人行道臺階的寬度為：FG=∴人行道寬度設(shè)計達標．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征等知識點，正確求得函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．題型05空中跳躍軌跡問題【例5】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）已知某運動員在自由式滑雪大跳臺比賽中取得優(yōu)異成績，為研究他從起跳至落在雪坡過程中的運動狀態(tài)，如圖，以起跳點為原點O，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，我們研究發(fā)現(xiàn)他在空中飛行的高度y（米）與水平距離x（米）具有二次函數(shù)關(guān)系，記點A為該二次函數(shù)圖象與x軸的交點，點B為該運動員的成績達標點，BC⊥x軸于點C，相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

水平距離x（米）5102030空中飛行的高度y（米）4.560?18(1)請求出第一次跳躍的高度y（米）與水平距離x（米）的二次函數(shù)解析式______；(2)若該運動員第二次跳躍時高度y（米）與水平距離x（米）滿足y=?0.05x2+1.1x，則他第二次跳躍落地點與起跳點平面的水平距離為d=【答案】(1)y=?0.06x(2)d=11+481【分析】（1）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx（2）求出當函數(shù)y=?0.05x2+1.1x的函數(shù)值為y=?18【詳解】（1）解：由題意，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax∵OA=20米，∴A20,0將點A20,0,B10,6代入y=a解得a=?0.06b=1.2則該二次函數(shù)的解析式為y=?0.06x故答案為：y=?0.06x（2）解：對于二次函數(shù)y=?0.05x當y=?18時，?0.05x解得x=11+481或x=11?則d=11+481∵11+481∴11+481即d>30，故答案為：d=11+481【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）“兔飛猛進”諧音成語“突飛猛進”．在自然界中，野兔善于奔跑跳躍，“兔飛猛進”名副其實．野兔跳躍時的空中運動路線可以看作是拋物線的一部分．(1)建立如圖所示的平面直角坐標系．通過對某只野兔一次跳躍中水平距離x（單位：m）與豎直高度y（單位：m）進行的測量，得到以下數(shù)據(jù)：水平距離x00.411.422.42.8豎直高度y00.480.90.980.80.480根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問題：①野兔本次跳躍的最遠水平距離為_________m，最大豎直高度為_________m；②求滿足條件的拋物線的解析式；(2)已知野兔在高速奔跑時，某次跳躍的最遠水平距離為3m，最大豎直高度為1m．若在野兔起跳點前方2m處有高為0.8m的籬笆，則野兔此次跳躍_________（填“能”或“不能”）躍過籬笆．【答案】(1)①2.8，0.98；②y=?0.5(2)能【分析】（1）①根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進行求解即可；②根據(jù)①所求把拋物線解析式設(shè)為頂點式，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）同理求出拋物線解析式，再求出當x=2時，y的值即可得到答案．【詳解】（1）解：①由表格中的數(shù)據(jù)可知，當x=2.8時，y=0，∴野兔本次跳躍的最遠水平距離為2.8m∴滿足題意的拋物線對稱軸為直線x=0+2.8∵拋物線開口向下，∴當x=1.4，y最大，∴由表格數(shù)據(jù)可知最大豎直高度為0.98m，故答案為：2.8，0.98；②由①可知拋物線頂點坐標為1.4，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax?1.4∴a0?1.4∴a=?0.5，∴拋物線解析式為y=?0.5（2）解：∵某次跳躍的最遠水平距離為3m，最大豎直高度為1m，∴此時滿足題意的拋物線頂點坐標為1.5，同理可求出此時拋物線的解析式為y=?4當x=2時，y=?4∵89∴野兔此次跳躍能躍過籬笆，故答案為：能．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意求出對應(yīng)的拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）跳臺滑雪是以滑雪板為工具，在專設(shè)的跳臺上以自身的體重通過助滑坡獲得的速度比跳躍距離和動作姿勢的一種雪上競技項目．如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線C1:y=?112x2+76(1)求拋物線C2的函數(shù)解析式；(2)當運動員與點A的水平距離是多少米時，運動員和小山坡到水平線的高度相同；(3)運動員從A點滑出后直至和小山坡到水平線的高度相同時，運動員與小山坡的高度差最大是多少米？【答案】(1)y=?(2)12(3)8【分析】（1）根據(jù)題意將點(0,3)，(4,7)代入拋物線C2:y=?18x（2）設(shè)運動員與點A的水平距離是m米時，運動員和小山坡到水平線的高度相同，根據(jù)題意得：?18m（3）運動員與小山坡的高度差為h,則?=?1【詳解】（1）把點(0,3)，(4,7)代入拋物線C2c=37=?解得：b=3∴拋物線C2（2）設(shè)運動員與點A的水平距離是m米時，運動員和小山坡到水平線的高度相同，根據(jù)題意得：?1化簡得：m2解得：m=12或m=?4（舍），故運動員與點A的水平距離是12米時，運動員和小山坡到水平線的高度相同；（3）設(shè)運動員與小山坡的高度差為h,則?=?=?=?∵?1∴當x=4時，h有最大值，最大值為83∴運動員從A點滑出后直至和小山坡到水平線的高度相同時，運動員與小山坡的高度差最大是83【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型06球類飛行軌跡【例6】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目，如圖①是一名男生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時起點處高度為2米，當水平距離92米時，實心球行進至最高點：25

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)該市2023年中考體育考試評分標準（男生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于12.4米，此項考試得分為滿分17分，按此評分標準，該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)該生在此項考試中得不到滿分，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y=0，解方程即可．【詳解】（1）根據(jù)題意設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y=a(x?4.5)把(0,2)代入解析式得，2=a(x?4.5)解得：a=?∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y=?（2）該生在此項考試中得不到滿分，理由：當y=0，則，?1解得：x1=12，∵12<12.4，∴該生在此項考試中得不到滿分．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，關(guān)鍵是理解題意把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程為題．【變式6-1】（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學(xué)?？级＃┠嘲嗉壴谝淮握n外活動中設(shè)計了一個彈珠投箱子的游戲（長方體無蓋箱子放在水平地面上）．同學(xué)們受游戲啟發(fā)，將彈珠抽象為一個動點，并建立了如圖所示的平面直角坐標系（x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形DEFG為箱子的截面示意圖），某同學(xué)將彈珠從A1,0處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L:y=ax2+bx+32(單位長度為1m)的一部分，且當彈珠的高度為32m

(1)求拋物線L的解析式和頂點坐標．(2)請判斷該同學(xué)拋出的彈珠是否能投人箱子．若能，請通過計算說明原因；若不能，在不改其它條件的情況下，調(diào)整EF的高度，使得彈珠可以投入箱子，請直接寫出EF的取值范圍．【答案】(1)，y=?12(2)0<EF<0.555【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意可求出OE的長，將點E的橫坐標代入解析式．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，拋物線過點(?2,3將把點A(1,0)，(?2,32)a+b+3解得a=?1∴拋物線L的解析式為y=?1∵y=?1∴頂點坐標為(?1,2)；（2）∵A(1,0)，∴OA=1m∵DA=4.7m∴DO=3.7m即點D(?3.7,0)．∵DE=1m，EF=0.6∴OE=2.7m∴點E(?2.7,0)，F(xiàn)(?2.7,0.6)，G(?3.7,0.6)．當x=?2.7時，y=?1∵0.6>0.555，∴該同學(xué)拋出的彈珠不能投入箱子；若調(diào)整EF的高度，使得彈珠可以投入箱子，EF的取值范圍為0<EF<0.555．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊點解決問題．【變式6-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方的B處發(fā)出，球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，已知OB=m米，排球場的邊界點A距O點的水平距離OA為18米，球網(wǎng)EF高度為2.4米，且OE=1(1)C點的坐標為_（用含m的代數(shù)式表示）(2)當m=2時，求拋物線的表達式．(3)當m=2時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由．(4)若運動員調(diào)整起跳高度，使球在點A處落地，此時形成的拋物線記為L1，球落地后立即向右彈起，形成另一條與L1形狀相同的拋物線L2，且此時排球運行的最大高度為1米，球場外有一個可以移動的縱切面為梯形的無蓋排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ=0.5米，MN=2米，NP=89米，若排球經(jīng)過向右反彈后沿L2的軌跡落入回收框MNPQ內(nèi)（下落過程中碰到P、Q點均視為落入框內(nèi)），設(shè)【答案】(1)6,m+1(2)拋物線的表達式為y=?(3)球能越過球網(wǎng)，球不會出界，理由見解析(4)d=3【分析】（1）拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，OB＝m米，據(jù)此即可得到點C的坐標；（2）當m=2時，得到C6,3,B0,2，設(shè)拋物線的表達式為y＝a（3）由（2）知，當m=2時，拋物線的表達式為y=?136x?62+3，由OA=18，OE=12OA得到OE=1（4）求出L2的表達式為y=?136x?242+1，設(shè)點M的橫坐標為tt≥24，則Qt,0.5，Pt+2,89，當y=0.5時，0.5=?136【詳解】（1）解：∵拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，豎直高度總是比出手點B高出1米，OB＝m米，∴C6,m+1；故答案為：6,m+1；（2）當m=2時，∴C6,3∴設(shè)拋物線的表達式為y＝將點B0,2代入，得2=a解得：a=?1∴拋物線的表達式為y=?1（3）球能越過球網(wǎng)，球不會出界，理由如下：由（2）知，當m=2時，拋物線的表達式為y=?1∵OA=18米，OE=1∴OE=1∵球網(wǎng)EF高度為2.4米，∴F9,2.4當x=9時，y=?1∵2.75>2.4，∴球能越過球網(wǎng)，當y=0時，0=?1解得：x1=6+63∴D6+6∵6+63∴球不會出界；（4）∵球每次出手后的運動軌跡都是形狀相同的拋物線，且拋物線的最高點C到y(tǒng)軸總是保持6米的水平距離，又∵L2是與L∴設(shè)L2的表達式為y=?將點A18,0代入，得解得：?1=12（舍去），∴L2的表達式為y=?設(shè)點M的橫坐標為tt≥24，則Qt,0.5，當y=0.5時，0.5=?1解得：t1=24+32當y=89時，解得：t1∴24≤t≤24+32∴d=24+32【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型07噴泉問題【例7】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度OH為1.5m．可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度EF=0.5m．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m、高出噴水口0.5m，灌溉車到綠化帶的距離OD為d（單位：

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；(2)求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍【答案】(1)y=?18(x?2)(2)(2,0)(3)2≤d≤2【分析】（1）由頂點A(2,2)得，設(shè)y=a(x?2)2+2，再根據(jù)拋物線過點(0,1.5)（2）過點H作HM∥x軸，交上邊緣拋物線于點M，當y=1.5解得：x1=4，x2=0，則M4,1.5（3）根據(jù)EF=0.5，求出點F的坐標，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．【詳解】（1）解：由題意得A(2,2)是上邊緣拋物線的頂點，設(shè)y=a(x?2)又∵拋物線過點(0,1.5)，∴1.5=4a+2，∴a=?1∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y=?1令y=0，則?解得：x1=6∴OC=6米．（2）解：如圖，過點H作HM∥x軸，交上邊緣拋物線于點對于上邊緣拋物線y=?18(x?2)則?解得：x1=4，則M4,1.5∵下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m∴點B是點C向左平移4m由（1）知OC=6米，∴OB=6?4=2(米)∴點B的坐標為(2,0)；（3）解：∵EF=0.5，∴點F的縱坐標為0.5，∴0.5=?18(x?2)∵x>0，∴x=2+23當x>2時，y隨x的增大而減小，∴當2≤x≤6時，要使y≥0.5，則x≤2+23∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x=0時，y=1.5>0.5，∴當0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+23∵DE=3，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，∴d的最大值為2+23再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，∴d的最小值為2，綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤23【點睛】本題是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象的平移，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，噴水池中心為原點建立直角坐標系．(1)求水柱所在拋物線（第二象限部分）的函數(shù)表達式；(2)主師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到24米（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U建改