專題15 幾何證明

專題15幾何證明【專題解讀】幾何證明題的一般結(jié)構(gòu)由已知條件和求證目標(biāo)兩部分組成.解答幾何證明題的一般步驟如下：審題，尋找證明的思路，書寫證明過程，最終實(shí)現(xiàn)求證目標(biāo).幾何證明是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，也是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的重要一環(huán).要學(xué)好幾何證明，不但需要我們具有扎實(shí)的基礎(chǔ)、科學(xué)的方法、良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，還需要具有敢于嘗試、不怕挫折的勇氣，更需要有吃苦耐勞、持之以恒的精神.【思維索引】例1.△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作∠ODC=∠AOC，交邊BC于點(diǎn)D.圖1圖2（1）如圖1，求∠BOD的度數(shù)；（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點(diǎn)F.①求證：BF∥OD；②若∠F=50°，求∠BAC的度數(shù)；③若∠F=∠ABC=40°，將△BOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得△B'OD'（0°<<360°），B'D'所在直線與FC平行，請直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度的值.

例2.如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1與∠2互補(bǔ).（1）試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且GHEG，求證：PF/∥GH；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，說明理由.圖1圖2圖3

例3.在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)E在射線AC上運(yùn)動(dòng)，且∠ADE=∠AED，設(shè)∠DAC=n.（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，且n=36°，則∠BAD=_______，∠CDE=______；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，其他條件不變，請猜想∠BAD和∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，其他條件不變，∠BAD和∠CDE還滿足（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎？請畫出圖形，并說明理由. ②③

素養(yǎng)提升1.如圖，，∠1=58°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠FGB的度數(shù)等于（）A.122° B.151° C.116° D.97°（第1題）（第2題）（第3題）2.如圖，直線l∥m，將含有45°角的三角形板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線m上.若∠1=25°，則∠2的度數(shù)為（）A.20° B.35° C.44° D.67°3.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，點(diǎn)A、B是方格紙中的兩個(gè)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱格點(diǎn)），在這個(gè)7×7的方格紙中，找出格點(diǎn)C，使△ABC的面積為3，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè) 4.如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則圖中∠1的度數(shù)是（）A.15° B.22.5° C.30° D.45°5.如圖，AB∥CD，OE平分∠BOC，，∠ABO=，則下列結(jié)論：①∠BOE=；②OF平分∠BOD；③∠POE=∠BOF；④∠POB=2∠DOF，其中不正確的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)（第4題）（第5題）（第6題）6.如圖，長方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E.若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，那么當(dāng)x=_______時(shí)，△APE的面積等于5.7.各邊長度都是整數(shù)、最大邊長為8的三角形共有_______個(gè).8．如圖，點(diǎn)A、C、F、B在同一直線上，CD平分∠ECB，F(xiàn)G//CD．若∠ECA為a，則∠GFB為． （第8題）（第9題）（第10題）9．如圖，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下結(jié)論：①AD//BC；②DB⊥BE：③∠BDC+∠ABC=90°；④∠A+2∠BEC=180°；⑤DB平分∠ADC．其中正確的結(jié)論有：（填序號(hào)）．10．如圖，若平面內(nèi)有點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8，連接P1P3、P2P4、P3P5、P4P6、P5P7、P6P8、P7P1、P8P2，則∠P1+∠P2+∠P3+∠P4+∠P5+∠P6+∠P7+∠P8的度數(shù)是．11．在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線，P是射線AC上任意一點(diǎn)（不與A、D、C三點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，交直線BD于E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，說明∠PDE=∠PED．（2）作∠CPO的角平分線交直線AB于點(diǎn)F，則PF與BD有怎樣的位置關(guān)系？畫出圖形并說明理由．12．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠B=∠C=45°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE=∠AED，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD=60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：如圖2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其它條件不變，試?yán)^續(xù)探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．13．如圖，AC⊥CB，垂足為C點(diǎn)，AC=CB=8cm，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC方向勻速移動(dòng)．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．為方便說明，我們分別記三角形ABC面積為S，三角形PCQ的面積為S1，三角形PAQ的面積為S2，三角形ABP的面積為S3．（1）S3=cm2（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒，S1=，說明理由；（3）請你探索是否存在某一時(shí)刻，使得S1=S2=S3？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

14．某課題研究小組就圖形面積問題進(jìn)行專題研究，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：（1）有一條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于這條邊上的對應(yīng)高之比；（2）有一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；……現(xiàn)請你繼續(xù)對下面問題進(jìn)行探究，探究過程可直接應(yīng)用上述結(jié)論．（S表示面積）問題1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P1、P2三等分邊AB，R1、R2三等分邊AC．經(jīng)探究知四邊形P1P2R2R1的面積恰為△ABC的面積的，請證明．問題2：若有另一塊三角形紙板，可將其與問題1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1、Q2三等分邊DC．請?zhí)骄克倪呅蜳1Q1Q2P2的面積與四邊形ABCD的面積之間的關(guān)系．問題3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求四邊形P2Q2Q3P3的面積.問題4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個(gè)部分，面積分別為S1，S?，S3，S4．請直接寫出含有S1，S?，S3，S4的一個(gè)等式．

專題15幾何證明【思維索引】例1．(1)∠BOD＝90°；(2)．①略②∠BAC＝2∠F＝100°③x＝30°，210°例2．略例3．(1)64°，32°(2)∠BAD＝2∠CDE(3)∠BAD＝2∠CDE【素養(yǎng)提升】1．B；2．A；3．C；4．A；5．A；6．或5；7．20；8．90°－：9．①②③④；10．7