2015年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2015年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）（2015?益陽）下列實數(shù)中，是無理數(shù)的為（）A．B．C．0D．﹣32．（5分）（2015?益陽）下列運算正確的是（）A．x2?x3=x6B．（x3）2=x5C．（xy2）3=x3y6D．x6÷x3=x23．（5分）（2015?益陽）某小組5名同學(xué)在一周內(nèi)參加家務(wù)勞動的時間如下表所示，關(guān)于“勞動時間”的這組數(shù)據(jù)，以下說法正確的是（）勞動時間（小時）33.544.5人數(shù)1121A．中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.75B．眾數(shù)是4，平均數(shù)是3.75C．中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.8D．眾數(shù)是2，平均數(shù)是3.84．（5分）（2015?益陽）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）A．三棱錐B．三棱柱C．圓柱D．長方體5．（5分）（2015?益陽）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法錯誤的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BDC．OA=OBD．OA=AD6．（5分）（2015?益陽）下列等式成立的是（）A．+=B．=C．=D．=﹣7．（5分）（2015?益陽）沅江市近年來大力發(fā)展蘆筍產(chǎn)業(yè)，某蘆筍生產(chǎn)企業(yè)在兩年內(nèi)的銷售額從20萬元增加到80萬元．設(shè)這兩年的銷售額的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為（）A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=808．（5分）（2015?益陽）若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第一象限，則m的取值范圍為（）A．m＞1B．m＞0C．m＞﹣1D．﹣1＜m＜0二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上）9．（5分）（2015?益陽）計算：=．10．（5分）（2015?益陽）已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減?。垖懗鲆粋€滿足以上條件的函數(shù)表達(dá)式．11．（5分）（2015?益陽）甲、乙、丙三位好朋友隨機(jī)站成一排照合影，甲沒有站在中間的概率為．12．（5分）（2015?益陽）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則的長為．13．（5分）（2015?益陽）如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案，第1個圖案中有6根小棒，第2個圖案中有11根小棒，…，則第n個圖案中有根小棒．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）14．（8分）（2015?益陽）化簡：（x+1）2﹣x（x+1）．15．（8分）（2015?益陽）如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度數(shù)．四、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）16．（10分）（2015?益陽）如圖，直線l上有一點P1（2，1），將點P1先向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到像點P2，點P2恰好在直線l上．（1）寫出點P2的坐標(biāo)；（2）求直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式；（3）若將點P2先向右平移3個單位，再向上平移6個單位得到像點P3．請判斷點P3是否在直線l上，并說明理由．17．（10分）（2015?益陽）2014年益陽市的地區(qū)生產(chǎn)總值（第一、二、三產(chǎn)業(yè)的增加值之和）已進(jìn)入千億元俱樂部，如圖表示2014年益陽市第一、二、三產(chǎn)業(yè)增加值的部分情況，請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題（1）2014年益陽市的地區(qū)生產(chǎn)總值為多少億元？（2）請將條形統(tǒng)計圖中第二產(chǎn)業(yè)部分補(bǔ)充完整；（3）求扇形統(tǒng)計圖中第二產(chǎn)業(yè)對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)．18．（10分）（2015?益陽）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．（1）求證：AC⊥BD；（2）若AB=14，cos∠CAB=，求線段OE的長．五、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）19．（12分）（2015?益陽）大學(xué)生小劉回鄉(xiāng)創(chuàng)辦小微企業(yè)，初期購得原材料若干噸，每天生產(chǎn)相同件數(shù)的某種產(chǎn)品，單件產(chǎn)品所耗費的原材料相同．當(dāng)生產(chǎn)6天后剩余原材料36噸，當(dāng)生產(chǎn)10天后剩余原材料30噸．若剩余原材料數(shù)量小于或等于3噸，則需補(bǔ)充原材料以保證正常生產(chǎn)．（1）求初期購得的原材料噸數(shù)與每天所耗費的原材料噸數(shù)；（2）若生產(chǎn)16天后，根據(jù)市場需求每天產(chǎn)量提高20%，則最多再生產(chǎn)多少天后必須補(bǔ)充原材料？20．（12分）（2015?益陽）已知點P是線段AB上與點A不重合的一點，且AP＜PB．AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP繞點B順時針也旋轉(zhuǎn)角α得到BP2，連接PP1、PP2．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時，求∠P1PP2的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點P2在AP1的延長線上時，求證：△P2P1P∽△P2PA；（3）如圖3，過BP的中點E作l1⊥BP，過BP2的中點F作l2⊥BP2，l1與l2交于點Q，連接PQ，求證：P1P⊥PQ．六、解答題（本題滿分15分）21．（15分）（2015?益陽）已知拋物線E1：y=x2經(jīng)過點A（1，m），以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B（2，2），點A、B關(guān)于y軸的對稱點分別為點A′，B′．（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B′為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點A不重合的一點，連接OP并延長與拋物線E2相交于點P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比．2015年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）（2015?益陽）下列實數(shù)中，是無理數(shù)的為（）A．B．C．0D．﹣3考點：無理數(shù)．分析：無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．解答：解：A、是無理數(shù)，選項正確；B、是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，選項錯誤；C、是整數(shù)，是有理數(shù)，選項錯誤；D、是整數(shù)，是有理數(shù)，選項錯誤．故選A．點評：此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（5分）（2015?益陽）下列運算正確的是（）A．x2?x3=x6B．（x3）2=x5C．（xy2）3=x3y6D．x6÷x3=x2考點：同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可判斷A；根據(jù)冪的乘方，可判斷B；根據(jù)積的乘方，可判斷C；根據(jù)同底數(shù)冪的除法，可判斷D．解答：解：A、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故A錯誤；B、冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故B錯誤；C、積的乘方等于乘方的積，故C正確；D、通敵數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故D錯誤；故選：C．點評：本題考查了同底數(shù)冪的除法，熟記法則并根據(jù)法則計算是解題關(guān)鍵．3．（5分）（2015?益陽）某小組5名同學(xué)在一周內(nèi)參加家務(wù)勞動的時間如下表所示，關(guān)于“勞動時間”的這組數(shù)據(jù)，以下說法正確的是（）勞動時間（小時）33.544.5人數(shù)1121A．中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.75B．眾數(shù)是4，平均數(shù)是3.75C．中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.8D．眾數(shù)是2，平均數(shù)是3.8考點：中位數(shù)；加權(quán)平均數(shù)；眾數(shù)．分析：根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．解答：解：這組數(shù)據(jù)中4出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為4，∵共有5個人，∴第3個人的勞動時間為中位數(shù)，故中位數(shù)為：4，平均數(shù)為：=3.8．故選C．點評：本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握各知識點的概念．4．（5分）（2015?益陽）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）A．三棱錐B．三棱柱C．圓柱D．長方體考點：由三視圖判斷幾何體．分析：根據(jù)三視圖的知識，正視圖為兩個矩形，左視圖為一個矩形，俯視圖為一個三角形，故這個幾何體為直三棱柱解答：解：根據(jù)圖中三視圖的形狀，符合條件的只有直三棱柱，因此這個幾何體的名稱是直三棱柱．故選：B．點評：本題考查由三視圖確定幾何體的形狀，主要考查學(xué)生空間想象能力及對立體圖形的認(rèn)識．5．（5分）（2015?益陽）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法錯誤的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BDC．OA=OBD．OA=AD考點：矩形的性質(zhì)．分析：矩形的性質(zhì)：四個角都是直角，對角線互相平分且相等；由矩形的性質(zhì)容易得出結(jié)論．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正確，D錯誤，故選：D．點評：本題考查了矩形的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6．（5分）（2015?益陽）下列等式成立的是（）A．+=B．=C．=D．=﹣考點：分式的混合運算．專題：計算題．分析：原式各項計算得到結(jié)果，即可做出判斷．解答：解：A、原式=，錯誤；B、原式不能約分，錯誤；C、原式==，正確；D、原式==﹣，錯誤，故選C點評：此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．7．（5分）（2015?益陽）沅江市近年來大力發(fā)展蘆筍產(chǎn)業(yè)，某蘆筍生產(chǎn)企業(yè)在兩年內(nèi)的銷售額從20萬元增加到80萬元．設(shè)這兩年的銷售額的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為（）A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=80考點：由實際問題抽象出一元二次方程．專題：增長率問題．分析：根據(jù)第一年的銷售額×（1+平均年增長率）2=第三年的銷售額，列出方程即可．解答：解：設(shè)增長率為x，根據(jù)題意得20（1+x）2=80，故選D．點評：本題考查一元二次方程的應(yīng)用﹣﹣求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．（當(dāng)增長時中間的“±”號選“+”，當(dāng)下降時中間的“±”號選“﹣”）．8．（5分）（2015?益陽）若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第一象限，則m的取值范圍為（）A．m＞1B．m＞0C．m＞﹣1D．﹣1＜m＜0考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：利用y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)公式表示出其頂點坐標(biāo)，根據(jù)頂點在第一象限，所以頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都大于0列出不等式組．解答：解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根據(jù)題意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式組的解集為m＞0．故選B．點評：本題考查頂點坐標(biāo)的公式和點所在象限的取值范圍，同時考查了不等式組的解法，難度較大．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上）9．（5分）（2015?益陽）計算：=4．考點：二次根式的乘除法．專題：計算題．分析：原式利用二次根式的乘法法則計算，將結(jié)果化為最簡二次根式即可．解答：解：原式===4．故答案為：4點評：此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．10．（5分）（2015?益陽）已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減?。垖懗鲆粋€滿足以上條件的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=（x＞0），答案不唯一．考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)．專題：開放型．分析：反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則反比例函數(shù)的反比例系數(shù)k＜0；反之，只要k＜0，則反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．解答：解：只要使反比例系數(shù)大于0即可．如y=（x＞0），答案不唯一．故答案為：y=（x＞0），答案不唯一．點評：本題主要考查了反比例函數(shù)y=（k≠0）的性質(zhì)：①k＞0時，函數(shù)圖象在第一，三象限．在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減??；②k＜0時，函數(shù)圖象在第二，四象限．在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大．11．（5分）（2015?益陽）甲、乙、丙三位好朋友隨機(jī)站成一排照合影，甲沒有站在中間的概率為．考點：列表法與樹狀圖法．分析：列舉出所有情況，看甲沒排在中間的情況占所有情況的多少即為所求的概率．解答：解：甲、乙、丙三個同學(xué)排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6種情況，有4種甲沒在中間，所以甲沒排在中間的概率是=．故答案為．點評：本題考查用列舉法求概率，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12．（5分）（2015?益陽）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則的長為．考點：弧長的計算；正多邊形和圓．分析：求出圓心角∠AOB的度數(shù)，再利用弧長公式解答即可．解答：解：∵ABCDEF為正六邊形，∴∠AOB=360°×=60°，的長為=．故答案為：．點評：此題將扇形的弧長公式與多邊形的性質(zhì)相結(jié)合，構(gòu)思巧妙，利用了正六邊形的性質(zhì)．13．（5分）（2015?益陽）如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案，第1個圖案中有6根小棒，第2個圖案中有11根小棒，…，則第n個圖案中有5n+1根小棒．考點：規(guī)律型：圖形的變化類．分析：由圖可知：第1個圖案中有5+1=6根小棒，第2個圖案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3個圖案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n個圖案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．解答：解：∵第1個圖案中有5+1=6根小棒，第2個圖案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3個圖案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…∴第n個圖案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．故答案為：5n+1．點評：此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）14．（8分）（2015?益陽）化簡：（x+1）2﹣x（x+1）．考點：整式的混合運算．分析：利用完全平方公式和整式的乘法計算，進(jìn)一步合并得出答案即可．解答：解：原式=x2+2x+1﹣x2﹣x=x+1．點評：此題考查整式的混合運算，掌握計算方法與計算公式是解決問題的關(guān)鍵．15．（8分）（2015?益陽）如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度數(shù)．考點：平行線的性質(zhì)．分析：由平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到結(jié)論．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=130°，∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°，∴∠2=∠BDC=50°．點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線定義等知識點，解此題的關(guān)鍵是求出∠ABD的度數(shù)，題目較好，難度不大．四、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）16．（10分）（2015?益陽）如圖，直線l上有一點P1（2，1），將點P1先向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到像點P2，點P2恰好在直線l上．（1）寫出點P2的坐標(biāo)；（2）求直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式；（3）若將點P2先向右平移3個單位，再向上平移6個單位得到像點P3．請判斷點P3是否在直線l上，并說明理由．考點：一次函數(shù)圖象與幾何變換；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．分析：（1）根據(jù)“左加右減、上加下減”的規(guī)律來求點P2的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），把點P1（2，1），P2（3，3）代入直線方程，利用方程組來求系數(shù)的值；（3）把點（6，9）代入（2）中的函數(shù)解析式進(jìn)行驗證即可．解答：解：（1）P2（3，3）．（2）設(shè)直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），∵點P1（2，1），P2（3，3）在直線l上，∴，解得．∴直線l所表示的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x﹣3．（3）點P3在直線l上．由題意知點P3的坐標(biāo)為（6，9），∵2×6﹣3=9，∴點P3在直線l上．點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)圖象的幾何變換．在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．17．（10分）（2015?益陽）2014年益陽市的地區(qū)生產(chǎn)總值（第一、二、三產(chǎn)業(yè)的增加值之和）已進(jìn)入千億元俱樂部，如圖表示2014年益陽市第一、二、三產(chǎn)業(yè)增加值的部分情況，請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題（1）2014年益陽市的地區(qū)生產(chǎn)總值為多少億元？（2）請將條形統(tǒng)計圖中第二產(chǎn)業(yè)部分補(bǔ)充完整；（3）求扇形統(tǒng)計圖中第二產(chǎn)業(yè)對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)．考點：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖．分析：（1）用第一產(chǎn)業(yè)增加值除以它所占的百分比，即可解答；（2）算出第二產(chǎn)業(yè)的增加值即可補(bǔ)全條形圖；（3）算出第二產(chǎn)業(yè)的百分比再乘以360°，即可解答．解答：解：（1）237.5÷19%=1250（億元）；（2）第二產(chǎn)業(yè)的增加值為1250﹣237.5﹣462.5=550（億元），畫圖如下：（3）扇形統(tǒng)計圖中第二產(chǎn)業(yè)部分的圓心角為．點評：本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．18．（10分）（2015?益陽）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥AB交AC于點E．（1）求證：AC⊥BD；（2）若AB=14，cos∠CAB=，求線段OE的長．考點：菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形．分析：（1）根據(jù)∠CAB=∠ACB利用等角對等邊得到AB=CB，從而判定平行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直即可證得結(jié)論；（2）分別在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，從而利用OE=AE﹣AO求解即可．解答：解：（1）∵∠CAB=∠ACB，∴AB=CB，∴?ABCD是菱形．∴AC⊥BD；（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB==，AB=14，∴AO=14×=，在Rt△ABE中，cos∠EAB==，AB=14，∴AE=AB=16，∴OE=AE﹣AO=16﹣=．點評：本題考查了解直角三角形及菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊變形的判定與性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，選擇合適的邊角關(guān)系，難度不大．五、解答題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）19．（12分）（2015?益陽）大學(xué)生小劉回鄉(xiāng)創(chuàng)辦小微企業(yè)，初期購得原材料若干噸，每天生產(chǎn)相同件數(shù)的某種產(chǎn)品，單件產(chǎn)品所耗費的原材料相同．當(dāng)生產(chǎn)6天后剩余原材料36噸，當(dāng)生產(chǎn)10天后剩余原材料30噸．若剩余原材料數(shù)量小于或等于3噸，則需補(bǔ)充原材料以保證正常生產(chǎn)．（1）求初期購得的原材料噸數(shù)與每天所耗費的原材料噸數(shù)；（2）若生產(chǎn)16天后，根據(jù)市場需求每天產(chǎn)量提高20%，則最多再生產(chǎn)多少天后必須補(bǔ)充原材料？考點：一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．分析：（1）設(shè)初期購得原材料a噸，每天所耗費的原材料為b噸，根據(jù)“當(dāng)生產(chǎn)6天后剩余原材料36噸，當(dāng)生產(chǎn)10天后剩余原材料30噸．”列出方程組解決問題；（2）最多再生產(chǎn)x天后必須補(bǔ)充原材料，根據(jù)若剩余原材料數(shù)量小于或等于3噸列出不等式解決問題．解答：解：（1）設(shè)初期購得原材料a噸，每天所耗費的原材料為b噸，根據(jù)題意得：．解得．答：初期購得原材料45噸，每天所耗費的原材料為1.5噸．（2）設(shè)再生產(chǎn)x天后必須補(bǔ)充原材料，依題意得：45﹣16×1.5﹣1.5（1+20%）x≤3，解得：x≥10．答：最多再生產(chǎn)10天后必須補(bǔ)充原材料．點評：此題考查一元一次不等式組的實際運用，二元一次方程組的實際運用，找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系與不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．20．（12分）（2015?益陽）已知點P是線段AB上與點A不重合的一點，且AP＜PB．AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP繞點B順時針也旋轉(zhuǎn)角α得到BP2，連接PP1、PP2．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時，求∠P1PP2的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點P2在AP1的延長線上時，求證：△P2P1P∽△P2PA；（3）如圖3，過BP的中點E作l1⊥BP，過BP2的中點F作l2⊥BP2，l1與l2交于點Q，連接PQ，求證：P1P⊥PQ．考點：幾何變換綜合題．分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)題意得出△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，進(jìn)而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；（3）首先連結(jié)QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．解答：（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP1，BP=BP2．∵α=90°，∴△PAP1和△PBP2均為等腰直角三角形，∴∠APP1=∠BPP2=45°，∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣，∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°）=α，在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，又∵∠PP2P1=∠AP2P，∴△P2P1P∽△P2PA．（3）證明：如圖，連接QB．∵l1，l2分別為PB，P2B的中垂線，∴EB=BP，F(xiàn)B=BP2．又BP=BP2，∴EB=FB．在Rt△QBE和Rt△QBF中，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=，由中垂線性質(zhì)得：QP=QB，∴∠QPB=∠QBE=，由（2）知∠APP1=90°﹣，∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣）=90°，即P1P⊥PQ．點評：此題主要考查了幾何變換綜合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解題關(guān)鍵．六、解答題（本題滿分15分）21．（15分）（20