專題23 圓的基本性質(zhì)（講義）

專題23圓的基本性質(zhì)的核心知識點(diǎn)精講復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解圓心角及其所對的弧、弦之間的關(guān)系；2.理解并運(yùn)用圓周角定理及其推論；3.探索并證明垂徑定理會應(yīng)用垂徑定理解決與圓有關(guān)的問題；4.理解并運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).考點(diǎn)梳理考點(diǎn)1：圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形?？键c(diǎn)2：圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?？键c(diǎn)3：垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長度；有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分考點(diǎn)4：垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答考點(diǎn)5：圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等?？键c(diǎn)6：圓角角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形?？键c(diǎn)7：圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴典例引領(lǐng)【題型1：垂徑定理及推論】【典例1】（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m即時檢測1．（2023?長沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長度為．2．（2023?宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長為（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2023?衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．典例引領(lǐng)【題型2：圓周角和圓心角】【典例2】（2023?廣西）如圖，點(diǎn)A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°即時檢測1．（2023?甘孜州）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023?河南）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．110°典例引領(lǐng)【題型3：弧、弦、圓心角】【典例3】（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°即時檢測1．（2023?泰安）如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點(diǎn)，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2023?棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（）A．32° B．42° C．48° D．52°3．（2023?宜賓）如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，C為的中點(diǎn)．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°4．（2023?牡丹江）如圖，A，B，C為⊙O上的三個點(diǎn)，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．20° B．18° C．15° D．12°典例引領(lǐng)【題型4：圓內(nèi)接四邊形】【典例4】（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°即時檢測1．（2023?朝陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半徑為3，則的長為（）A．π B．2π C．3π D．6π2.（2023?寧夏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AD至點(diǎn)E，已知∠AOC＝140°那么∠CDE＝°．3．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共9小題）1．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．38° B．76° C．80° D．60°2．如圖，△ABC的三點(diǎn)都在⊙O上，AB是直徑，∠BAD＝50°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．55° D．60°3．把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝4cm，則球的半徑長是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，連接AC，若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．110° D．130°5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝35°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．則∠ADC的大小是（）A．130° B．120° C．110° D．100°7．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，則⊙O的半徑長為（）A．2 B．2 C．4 D．108．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．50° B．100° C．130° D．150°9．如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點(diǎn)E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，則所對的圓心角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°二．填空題（共5小題）10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長線上一點(diǎn)，若∠BAD＝105°，則∠DCE的度數(shù)是°．11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，若∠ABD＝62°，則∠C的度數(shù)是．12．如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為cm．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．14．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，則∠ADC＝．三．解答題（共1小題）15．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為多少？能力提升一．選擇題（共10小題）1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．100° B．128° C．104° D．124°2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，則∠OEB的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°3．如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在AB上，若四邊形ACBO為菱形，則∠APB為（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC＝26°，則∠DCA的度數(shù)為（）A．38° B．40° C．42° D．44°5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則BC的長為（）A．5 B．3 C．2 D．16．如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則BC的長是（）A． B．π C．2π D．4π7．如圖，AB為圓O一條弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于點(diǎn)D，在圓上取一點(diǎn)C，連接AC交OD于M，連接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，則AM＝（）A． B． C． D．8．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長線相交于點(diǎn)E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（）A．16° B．24° C．12° D．14°9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACB＝36°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．36° B．45° C．54° D．72°10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°二．填空題（共4小題）11．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠B＝35°，∠APD＝77°，則∠A的大小是度．12．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB，交⊙O于點(diǎn)D，若AB＝6，則BD的長為．13．紹興市是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為m．14．如圖，點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，∠ABD＝70°，C為劣弧BD上一點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)為．三．解答題（共2小題）15．如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．16．圖1是某希望小學(xué)放心食堂售飯窗口外遮雨棚的示意圖（尺寸如圖所示），遮雨棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是遮雨棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．遮雨棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋遮雨棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計算結(jié)果保留π）．真題感知1．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°2．（2023?淄博）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長交⊙O于點(diǎn)E．若AD＝2，DE＝3，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．3．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，則的長為（）A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm4．（2023?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．56° B．33° C．28° D．23°5．（2023?涼山州）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，則OC＝（）A．1 B．2 C．2 D．46．（2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是°．7．（2023?襄陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝度．8．（2023?紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是．9．（2023?永州）如圖，⊙O是一個盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為cm．10．（2023?常德）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是弦AB的中點(diǎn)，D在上，CD⊥AB．“會圓術(shù)”給出長l的近似值s計算公式：，當(dāng)OA＝2，∠AOB＝90°時，|l﹣s|＝．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

專題23圓的基本性質(zhì)的核心知識點(diǎn)精講典例引領(lǐng)【題型1：垂徑定理及推論】【典例1】（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m【答案】B【解答】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，設(shè)主橋拱半徑為Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半徑，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故選：B．即時檢測1．（2023?長沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長度為1．【答案】1．【解答】解：如圖，連接OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OD⊥AB，∴＝，∠OEA＝90°，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，∴OE＝OA＝×2＝1，故答案為：1．2．（2023?宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故選：B．3．（2023?衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于10cm．【答案】10．【解答】解：由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如圖，連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則∠OEC＝90°，∵餐盤與BC邊相切，∴點(diǎn)E為切點(diǎn)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），設(shè)餐盤的半徑為xcm，則OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盤的半徑為10cm，故答案為：10．典例引領(lǐng)【題型2：圓周角和圓心角】【典例2】（2023?廣西）如圖，點(diǎn)A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，∴∠AOB＝80°．故選：D．即時檢測1．（2023?甘孜州）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，故選：C．2．（2023?河南）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】D【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故選：D．典例引領(lǐng)【題型3：弧、弦、圓心角】【典例3】（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵＝，∴∠D＝∠ABC＝40°，故選：B．即時檢測1．（2023?泰安）如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點(diǎn)，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：解法一：如圖，連接OC，∵∠ADC＝115°，∴優(yōu)弧所對的圓心角為2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，∴∠BAC＝∠BOC＝25°，故選：A．解法二：∵∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，故選：A．2．（2023?棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（）A．32° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故選：A．3．（2023?宜賓）如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，C為的中點(diǎn)．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°【答案】A【解答】解：連接OC，如圖：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，∵C為的中點(diǎn)．∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，故選：A．4．（2023?牡丹江）如圖，A，B，C為⊙O上的三個點(diǎn)，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．20° B．18° C．15° D．12°【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵∠AOB＝4∠BOC，∴∠BOC＝30°，∴∠BAC＝∠BOC＝15°．故選：C．典例引領(lǐng)【題型4：圓內(nèi)接四邊形】【典例4】（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°【答案】C【解答】解：∵∠DCE＝65°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠DCB＝180°，∴∠BAD＝65°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故選：C．即時檢測1．（2023?朝陽）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半徑為3，則的長為（）A．π B．2π C．3π D．6π【答案】B【解答】解：∵∠C＝120°，∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，∴∠BOD＝2∠A＝120°，∴的長為＝2π，故選：B．2.（2023?寧夏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AD至點(diǎn)E，已知∠AOC＝140°那么∠CDE＝70°．【答案】70．【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，∴∠CDE＝70°．故答案為：70．3．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【答案】C【解答】解：連接OB，OC，∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故選：C．基礎(chǔ)過關(guān)一．選擇題（共9小題）1．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．38° B．76° C．80° D．60°【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，∴∠AOB＝76°，故選：B．2．如圖，△ABC的三點(diǎn)都在⊙O上，AB是直徑，∠BAD＝50°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠BAD＝∠BCD＝50°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．故選：A．3．把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝4cm，則球的半徑長是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【答案】B【解答】解：EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，設(shè)OF＝x，則ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故選：B．4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，連接AC，若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．110° D．130°【答案】D【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，故選：D．5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝35°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故選：C．6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．則∠ADC的大小是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【答案】B【解答】解：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，故選：B．7．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，則⊙O的半徑長為（）A．2 B．2 C．4 D．10【答案】B【解答】解：連接OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD＝4，∴CE＝DE＝CD＝2，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE為等腰直角三角形，∴OD＝DE＝2，即⊙O的半徑為2，故選：B．8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．50° B．100° C．130° D．150°【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°．故選：B．9．如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點(diǎn)E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，則所對的圓心角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【答案】B【解答】解：如圖，連接OA，OB，OB，OD，∵OA＝OC，∠AOC＝100°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠E＝30°，∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，故選：B．二．填空題（共5小題）10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長線上一點(diǎn)，若∠BAD＝105°，則∠DCE的度數(shù)是105°．【答案】105．【解答】解：∵∠BAD＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．故答案為：105．11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，若∠ABD＝62°，則∠C的度數(shù)是28°．【答案】28°．【解答】解：連接AD，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵∠ABD＝62°，∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°，∴∠C＝∠D＝28°，故答案為：28°．12．如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為2cm．【答案】2．【解答】解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案為2．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為（2，1）．【答案】（2，1）．【解答】解：從圖形可知：A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，3），連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），故答案為：（2，1）．14．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，則∠ADC＝100°．【答案】100°．【解答】解：∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝50°，∵∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故答案為：100°．三．解答題（共1小題）15．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，設(shè)圓O的半徑OA的長為x，則OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．能力提升一．選擇題（共10小題）1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．100° B．128° C．104° D．124°【答案】C【解答】解：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，由圓周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，故選：C．2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，則∠OEB的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】D【解答】解：連接OB、OC，則∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE＝55°，故選：D．3．如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在AB上，若四邊形ACBO為菱形，則∠APB為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：連接CO，∵四邊形ACBO為菱形，∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，∴△OBC與△OAC是等邊三角形，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，故選：C．4．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC＝26°，則∠DCA的度數(shù)為（）A．38° B．40° C．42° D．44°【答案】A【解答】解：連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角為∠B，所對的圓周角為∠ADC，∴∠DCA＝∠B﹣∠BAC＝64°﹣26°＝38°，故選：A．5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則BC的長為（）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：連接OD交AC于F，如圖，∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，∴AF＝CF，∵AB是直徑，∴∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠D＝∠CBE，∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE＝DE，∵∠BEC＝∠DEF，∴△BCE≌△DFE（ASA），∴BC＝DF，∵OF＝BC，∴OF＝DF，∴OF＝OD，設(shè)BC＝x，則OD＝x，∴AB＝2OD＝3x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（3x）2＝（4）2+x2，解得x＝2，BC＝2．故選：C．6．如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則BC的長是（）A． B．π C．2π D．4π【答案】A【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于E，交半圓O于D點(diǎn)，連接AC，如圖，∵半圓O沿BC所在的直線折疊，圓弧BC恰好過圓心O，∴ED＝EO，∴OE＝OB，∵OD⊥BC，∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AC＝3．故選：A．7．如圖，AB為圓O一條弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于點(diǎn)D，在圓上取一點(diǎn)C，連接AC交OD于M，連接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，則AM＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等邊三角形，∵AN⊥OD，∴ON＝DN＝2，∴OA＝OD＝ON+DN＝4，∵M(jìn)平分ON，∴MN＝ON＝1，∵△AOD是等邊三角形，AN⊥OD，∴AN＝OA＝2，∴AM＝＝．故選：A．8．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長線相交于點(diǎn)E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（）A．16° B．24° C．12° D．14°【答案】D【解答】解：∵AF為圓的直徑，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故選：D．9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACB＝36°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．36° B．45° C．54° D．72°【答案】C【解答】解：連接OA，∵∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2∠ACB＝72°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝54°，故選：C．10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，由圓周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，故選：D．二．填空題（共4小題）11．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠B＝35°，∠APD＝77°，則∠A的大小是42度．【答案】42．【解答】解：∵∠B＝35°，∠APD＝77°，∴∠A＝∠D＝∠APD﹣∠B＝77°﹣35°＝42°，故答案為：42．12．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB，交⊙O于點(diǎn)D，若AB＝6，則BD的長為3．【答案】3．【解答】解：連接AD，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形，∴2BD2＝AB2，即2BD2＝36，解得BD＝3．故答案為：3．13．紹興市是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為8m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接OA，∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，∴OD＝8﹣5＝3（m），在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD＝＝＝4（m），∴AB＝2AD＝8（m），故答案為：8．14．如圖，點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，∠ABD＝70°，C為劣弧BD上一點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)為140°．【答案】140°．【解答】解：∵點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，即＝，∴∠ADB＝∠ABD＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝40°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．故答案為：140°．三．解答題（共2小題）15．如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點(diǎn)，則BC＝AB＝1.6（米），設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）過O作OH⊥FE于H，則OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撐桿EF的高度為0.4米．16．圖1是某希望小學(xué)放心食堂售飯窗口外遮雨棚的示意圖（尺寸如圖所示），遮雨棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是遮雨棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．遮雨棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋遮雨棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計算結(jié)果保留π）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接OB，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，交于F，如圖，由垂徑定理，可知：E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴EF是弓形高，∴AE＝AB＝2，EF＝2，設(shè)半徑為R米，則OE＝（R﹣2）米，在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2）2，解得R＝4，∵sin∠AOE＝，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120度．∴的長為＝π（m），∴帆布的面積為π×60＝160π（平方米）．真題感知1．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【答案】D【解答】解：連接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半徑OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故選：D．2．（2023?淄博）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延