圓的最值模型之瓜豆模型（原卷版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題10圓的最值模型之瓜豆模型一、模型說明問題1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓理由：Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，．問題2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓理由：∵AP⊥AQ，∴Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．模型總結(jié)：條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．二、例題精講例1．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．例2．如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為．例3．如圖，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過程中，到直線距離的最大值是．例4．如圖，在半徑為4的中，弦，B是上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），D是的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則的最大值為．

三、課后訓(xùn)練1．如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．62．如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是．3．如圖，在中，，，，過點(diǎn)作的平行線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線交于點(diǎn)，則的最小值為．4．如圖，已知的半徑為2，弦，點(diǎn)為優(yōu)弧上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長為．5．如圖，是的直徑，C為上一點(diǎn)，且，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，連接．若的半徑為2，則長的最大值是．

6．如圖是半圓O的直徑，點(diǎn)D在半圓O上，，，C是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，的最小值是．

7．如圖，在中，，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作圓，連接交圓于點(diǎn)，則的最小值為．

8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為△A′B′D，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°且α≠180°）．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A′落在線段BC上時(shí)，求A′B的長；(2)連接A′A、A′B，當(dāng)∠BA′B'＝90°時(shí)，求tan∠A′AD；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若△DAA′的重心為G，則CG的最小值＝．9．在菱形中，，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)在的中垂線上時(shí)，把射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交于，連接．如圖①，若，求的長．（2）在（1）的條件下，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖②，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求的最大值．10．如圖1，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使點(diǎn)落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)