2024-2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊勾股定理提優(yōu)訓(xùn)練100題含答案

2024-2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊勾股定理提優(yōu)訓(xùn)練100題一、單選題1．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，將含45°角的直角三角板．按如圖所示放置，邊AE,AF分別交BC,CD于點M,N，連接MN．則下列結(jié)論：①MN=BM+DN；②當(dāng)M為BC的中點時，N為CD的中點；③當(dāng)M為BC的中點時，△AMN的面積為15；④點A到MN的距離為6．其中正確的結(jié)論為（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④2．如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=7，AD=5，則AC的取值范圍為（）A．3<AC<17 B．3<AC<15 C．1<AC<6 D．2<AC<123．在△ABC中，AD為△ABC的中線，AB=5,AC=3，則AD的取值范圍是（）A．2<AD<8 B．3<AD<5 C．1<AD<4 D．無法確定4．如圖，點C在線段BD上，且AB⊥BD,DE⊥BD,AB=CD,AC=CE，下列說法錯誤的是（）A．△ABC?△CDE B．∠C．∠ACE=90°5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，連接BE，則∠BED的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．135° D．150°6．如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB=4，AC=2，則AD的取值范圍是（）A．1<AD<3 B．2<AD<4 C．2<AD<6 D．2<AD<37．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，小亮同學(xué)用四根相同的火柴棒AB，BC，CD，DE在桌面上擺成如圖所示的圖形，其中點A，C，E在同一直線上，BC⊥CD，若AE=10，則點B，D到直線AE的距離之和為（）A．5 B．26 C．52 D．10二、填空題8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（4，0），點P的坐標(biāo)是（0，3），把線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段PQ，則點Q的坐標(biāo)是．9．如圖，已知點A是反比例函數(shù)y=?4x圖像上的一個動點，連接OA，若將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OB，則過點B的反比例函數(shù)解析式為10．如圖，在△ABC中，AD為中線，且AC=5，AD=6，則AB邊的取值范圍是．11．已知AB=4，AC=2，D是BC的中點，AD是整數(shù)，則AD=．12．在△ABC中，AB=6，AC=4，則BC邊上的中線AD的取值范圍是．13．如圖，AD是△ABC的中線，AB=8，AC=4，則AD的取值范圍是．14．在△ABC中，AD是中線，已知AB=8,AC=6，則中線AD的取值范圍是．15．在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是．16．如圖，直線y=?2x+4與x軸，y軸分別相交于點A、B，四邊形ABCD是正方形，雙曲線y=kx在第一象限經(jīng)過點D，將正方形向下平移m個單位后，點C剛好落在雙曲線上，則m=17．AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，△ABD是等邊三角形，∠DCB＝30°，設(shè)CD＝a，BC＝b，AC＝4，則a+b的最大值為．18．如圖所示，已知AD=CD=210，BD=2，BC=3BD，則AB的長為19．△ABC和△DCE是等邊三角形，則在下圖中，△ACE繞著點旋轉(zhuǎn)度可得到△BCD．20．如圖，△ABC中，D為BC的中點，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于F．若BE=AC，AF=2，CF=8，那么BF的長度為．21．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB=6，AD=4，則AC的取值范圍是．22．在△ABC中，AB=5，BC邊上的中線AD=4，則AC的長m的取值范圍是．23．如圖，在△ABC中，AC=6，中線AD=4，則AB邊的取值范圍是．24．如圖，等邊△ABC的邊長為6，點P沿△ABC的邊從A→B→C運動，以AP為邊作等邊△APQ，且點Q在直線AB下方，當(dāng)點P、Q運動到使△BPQ是等腰三角形時，點Q運動路線的長為．25．如圖，△ABC是等邊三角形，且AB=4，點D在邊BC上，連按AD，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE，BE．則△BED的周長最小值是．26．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D為BC上一點，連接AD.過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點27．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，∠EAF=60°．若AE=3，AF=4，則AB的長為．28．如圖，已知菱形ABCD的邊長2，∠A=60°，點E、F分別在邊AB、AD上，若將△AEF沿直線EF折疊，使得點A恰好落在CD邊的中點G處，則EF=．29．在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，在D在邊BC上（不與點B、C重合），連接AD，將線段AD繞點D旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接BE．作DF⊥BC交AB于點F，若AC=8，DF=2，則線段BE的長為．30．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，點D為BC上一點，過B、C兩點分別作射線AD的垂線，垂足分別為點E，點F．若點F為AE中點，BE＝2，則BC的長為．31．如圖，直線l1，l2，l3分別過正方形ABCD的三個頂點A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距離為1，l2，32．如圖△ABC中，AC=2，AB=7，∠CAB=45°，將BC邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至BD，連AD，則AD=33．如圖所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC邊上的中線AD=6，BC的長為．34．如圖，在△ABC中，AB=BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α度，得到△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC、BC于點D、F，下列結(jié)論：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE，其中正確的是(寫出正確結(jié)論的序號)35．如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，把邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得AD，把邊BC繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得BE，作DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，若AB＝5，EN＝2，則DM＝．36．勾股定理被譽為“幾何明珠”．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖所示，把一個邊長分別為3，4，5的三角形和三個正方形放置在大長方形ABCD中，則該長方形中空白部分的面積為；37．如圖，△ABC中，AB>AC，AD是中線，有下面四個結(jié)論：①△ABD與△ACD的面積相等；②AD<12AB+AC；③若點P是線段AD上的一個動點（點P不與點A，D重合），連接PB，PC，則△ABP的面積比△ACP的面積大；④點P，Q是A，D所在直線上的兩個動點（點P與點Q不重合），若DP=DQ，連接PB，38．如圖所示，在△ABC中，AB=3,AC=4，則BC邊上的中線AD的長x取值范圍是．39．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)是．40．如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=∠NBC＝90°，連接MN，則BD與MN的數(shù)量關(guān)系是．41．在直角三角形ABC中，CA=CB，過點C的直線為l，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E、F，AE=2，BF=3，則EF=42．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點C在x軸上，BC交y軸于M，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)BM=MC，已知C?2,0，點A的橫坐標(biāo)為?6，則點B的坐標(biāo)為43．小李用7塊長為8cm，寬為3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板AB=BC,∠ABC=90°點B在DE上，點A和C分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm．44．將一張矩形紙片（四邊形ABCD）按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C'處，折痕為MN，點D落在點D'處，C'D'交AD于點E．若BM＝3，BC'＝4，AC'＝3，則DN＝．45．如圖，在△ABC中，AB=3,AC=5，AD是邊BC上的中線，AD=2，則△ACB的面積是．46．如圖，在△ABC中，點D為BC的中點，AB=13,AC=5,AD=6，則：（1）∠DAC的度數(shù)為；（2）△ABC的面積是．47．如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE'的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE'C=度．三、解答題48．如圖，AD，AF分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線（1）若∠BED=60°,∠BAD=40°，求∠BAF的度數(shù)．（2）若AB=8,AC=6，求中線AD長的取值范圍．49．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，BD、CE交于點F.（1）求證：BD=CE；（2）求銳角∠BFC的度數(shù).50．如圖，△ABC中，∠BAC=120°，以BC為邊向外作等邊△BCD，把△ABD繞著D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△ECD．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）若AB=6，AC=4，求AD的長．51．在等邊△ABC中，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<30°）得到線段CD，線段CD與線段AB交于點E，射線AD與射線CB交于點F．（1）①依題意補全圖形；②分別求∠CEB和∠AFC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆唬?）用等式表示線段BE，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．52．如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E是邊CD的中點，且EF⊥AE，EF=AE，連接CF，求CF的長．53．如圖，這是某市工業(yè)開發(fā)區(qū)設(shè)計圖紙的局部平面圖，直線AB是一條河流，河旁邊建有一個工廠P，點O，E在直線AB上，O是工廠P的進(jìn)水口，E是污水凈化后的出水口，且PE⊥AB，現(xiàn)計劃在河旁邊工廠P的同側(cè)再建一座工廠Q，設(shè)計要求是：工廠Q也從點O處引水，OQ⊥OP，OQ=OP，污水凈化后的排污出口為AB上的點F處，且FQ⊥AB.（1）請根據(jù)設(shè)計要求把圖形補充完整(不需要尺規(guī)作圖）。（2）已知QF=350米，PE=150米，求兩個出水口E，F(xiàn)之間的距離（不計河的寬度）.54．在一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達(dá)一個高為10米的高臺A，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達(dá)與高臺A水平距離為17米，高為3米的矮臺B，（1）求高臺A比矮臺B高多少米？（2）求旗桿的高度OM；（3）瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN．55．如圖，在等邊△ABC中，放置等邊△DEF，且點D，E分別在AB，BC上，AD=5．連接CF，若CF平分∠ACB，求BE56．八年級數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接BE，寫出圖中一組全等三角形_______________；（2）如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)【理解與應(yīng)用】（3）如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=4，EC=3，求線段BF的長．57．如圖所示，為了測量一幢樓的高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點P，在P處仰望旗桿頂C和樓頂A，兩條視線的夾角正好為90°，量得點P到樓底的距離PB與旗桿的高度相等，都等于8m，量得旗桿與樓之間的距離DB為33m，求樓高AB.58．小明同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板AC=BC,∠ACB=90°，點C（1）試說明：△ADC（2）求兩堵木墻之間的距離.59．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=260．新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做積等三角形．（1）初步嘗試：如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P為AC上一點，當(dāng)AP=______時，△ABP與△CBP為積等三角形；（2）理解運用：如圖2，△ABD與△ACD為積等三角形，若AB=2，AC=5，且線段AD的長度為正整數(shù)，求AD的長．61．已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直線AE與BD交于點F(1)如圖1，若∠ACD＝60°，則∠AFD＝(2)如圖2，若∠ACD＝α，連接CF，則∠AFC＝（用含α的式子表示）(3)將圖1中的△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)如圖3，連接AE、AB、BD，∠ABD＝80°，求∠EAB的度數(shù)62．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC與y軸交于D點，點C的坐標(biāo)為（-2，0），點A的坐標(biāo)為（-6，3），求點D的坐標(biāo)．63．如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，將△BDE沿直線DE折疊，使點B落在點F處，F(xiàn)D向右平移若干單位長度后恰好能與邊AC重合，連結(jié)AF．（1）若∠BDE=35°，求∠C的度數(shù)；（2）若BC=6，求四邊形ACDF的周長．

64．（1）方法呈現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD至點E，使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”．（2）知識運用：如圖2，在△ABC中，D為BC的中點，AB=2，AC=6，且線段AD的長度為整數(shù)．求AD的長度．65．小明同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進(jìn)一步的探究：在一個支架的橫桿的點O處用一根細(xì)繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從OA擺到OB位置，此時過點B作BD⊥OA于點D，當(dāng)小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直（圖中A、B、O、C在同一平面上），過點C作CE⊥OA于點E，測得BD=8cm,（1）求證：∠COE=∠B；（2）求AE的長.66．如圖是一個工業(yè)開發(fā)區(qū)局部的設(shè)計圖，河的同一側(cè)有兩個工廠A和B，AD、BC的長表示兩個工廠到河岸的距離，其中E是進(jìn)水口，D、C為兩個排污口．已知AE=BE，∠AEB=90°，AD⊥DC，BC⊥DC，點D、E、C在同一直線上，AD=150米，BC=350米，求兩個排污口之間的水平距離DC．67．已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線m上，且DE=9cm，∠BDA=∠AEC=∠BAC．（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為___________，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為___________；（2）如圖②，判斷并說明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段EF上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．68．想測量操場上與地面垂直旗桿BD的高度，小強(qiáng)如圖1設(shè)計的方案：在距B點3m地面上M處測出∠DMC=90°，在距地面3m的C點處垂直豎立竹竿AC，測得AB=12m.（1）請你幫小強(qiáng)求出旗桿BD的高度；（2）小明如圖2設(shè)計一個測量方案：測得MB=CB=3米，MA=12米，根據(jù)這些條件能求出旗桿BD的高度嗎?若能請計算求出；若不能請?zhí)砑右粋€條件，使之能夠計算求出，直接寫出添加的條件.69．有兩個三角形，分別為△ABC和△ADE，其中∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.（1）若按如圖(1)所示位置擺放，使得AC與AD重合，連接BD，CE，則BD與CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）在圖(2)中，延長BD交CE于點F，求∠BFC的度數(shù)；（3）若按如圖(3)所示位置擺放，連接BD，CE，且BD與CE交于點F，BD與AC交于點H，請判斷BD與CE之間的關(guān)系，并說明理由.70．【問題提出】如圖1，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四邊形ABCD的面積．【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．（1）如圖2，連接BD，由于AD=CD，所以可將△DCB繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB'，則△BDB'的形狀是．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求四邊形ABCD的面積．（3）如圖3，等邊△ABC的邊長為2，△BDC是頂角為∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，求△AMN的周長．71．已知：如圖，在△ADC中，AD=CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延長線于E，連接BE.（1）求證：CE=CB；（2）若∠CAE=30°，CE=2，求BE的長度。72．在Rt△ABC中，∠C=90°，分別取BC、AC的中點并且同時將這兩個中點繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)依次得到點D、E，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<90°），連接AE、CD、BD，如圖所示．（備用圖）（備用圖）（1）當(dāng)BC=AC時，求證：∠DBC=∠EAC；（2）若BC=AC=4，當(dāng)B、D、E三點共線時，求線段BE的長；（3）當(dāng)∠ABC=30°時，延長BD交AE于點H，連接CH，探究線段BH，AH，CH之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．四、閱讀理解73．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小麗在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長AD到點M，使DM=AD，連接BM，可證△ACD≌△MBD，從而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍．【方法總結(jié)】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，有時需要考慮倍長中線（或與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求集中到同一個三角形中．我們把這種添加輔助線稱為“倍長中線法”．【問題解決】（1）直接寫出圖1中AD的取值范圍：（2）猜想圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）如圖3，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，判斷線段AD和線段EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．74．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了這樣的問題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長AD到點E，使DE=AD，連結(jié)BE．請根據(jù)小明的方法思考：如圖2，由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是選填（SSS，SAS，AAS，ASA）【問題解決】根據(jù)圖2，求出中線AD的取值范圍．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【拓展延伸】如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．五、綜合題75．我們共同來探究下面問題：已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和BCD，連接AD、BE交于點P.（1）如圖1，當(dāng)點C在線段AB上移動時，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是：.（2）圖2，當(dāng)點C在直線AB外，且∠ACB<120°，上面的結(jié)論是否還成立?若成立請證明，不成立說明理由.（3）在(2)的條件下，∠APE的大小是否隨著∠ACB.的大小的變化而發(fā)生變化，若變化，寫出變化規(guī)律，若不變，請求出∠APE的度數(shù).76．已知△ABC中，AB=AC.

（1）如圖1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠（2）如圖2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且77．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點M、N在BC上，點M在點N的左側(cè)，探究線段BM、NC、

（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．

（2）當(dāng)∠BAC＝60°時，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．六、實踐探究題78．問題提出如圖（1），在ΔABC和ΔDEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，點E在ΔABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F.線段AF，BF，CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）問題探究：①先將問題特殊化如圖（2），當(dāng)點D，F(xiàn)重合時，易證ΔACD≌ΔBCE（SAS），請利用全等探究AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不要求寫出理由）；②再探究一般情形如圖（1），當(dāng)點D，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立．（2）問題拓展：如圖（3），在ΔABC和ΔDEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常數(shù)），點E在ΔABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F.直接寫出一個等式，表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系.79．綜合與實賤問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點E為△ABC外一點，AE⊥CE，過B作BF⊥AE，垂足分別為E、F.求證：EF=BF?CE.（1）獨立思考：請證明王老師提出的問題.（2）實踐探究：王老師把原題作如下的更改，并提出新問題，請你解答.如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC上一點，BA=BD，CE⊥AD于E，求證：AD=2CE.問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)進(jìn)一步對上述問題進(jìn)行研究之后發(fā)現(xiàn)：如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC上一點，AE⊥CE，過點A作AM⊥AE，且AM=AE，連接BM.若CE=2，請直接寫出AG的值為.80．綜合與實踐（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，點A、D、E在同一條直線上，連接BE．①求證：AD=BE；將下列解答過程補充完整．證明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)②若∠ACB=50°，則∠AEB的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷AE、BE與CM三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若BE=2，CM=1，請直接寫出四邊形ABEC的面積．81．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．（2）求得AD的取值范圍是．（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．82．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB、AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．83．【問題情景】如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的點，連接AE，作∠EAF=45°．使AF交邊CD于點F，連接EF．猜想：BE+DF=EF．

嘗試探究：見解析；應(yīng)用：①3②3（1）【嘗試探究】如圖②，延長圖①中的CB至點G，使BG=DF，連接AG．小明嘗試證明這個題目的部分過程如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABG=∠D=90°．

∵BG=DF，

∴△ABG≌△ADF，

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF．

……

請你將證明過程補充完整．（2）【應(yīng)用】如圖②，若CE=2BE=4，其他條件不變，解答下列問題．①求DF的長；②連接FG，直接寫出FG的長．84．綜合與實踐：【問題背景】人教版教材九年級上冊P63第10題“探索研究”：等邊△ABD和等邊△ACE，將△ACE繞點A旋轉(zhuǎn)到某一位置，要求觀察圖形，提出問題并加以解決．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，小明連結(jié)BE、CD，并發(fā)現(xiàn)∠ADC與∠ABE的數(shù)量關(guān)系，請你探究后寫出證明過程．（2）如圖2，得知小明的結(jié)論后，小華又連結(jié)DE，已知AC⊥BE，AE=5，BE=12，請你求出DE的長；【拓展探究】（3）如圖3，小穎畫出了等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C在DE上，請你直接寫出CD、CE和BC之間的數(shù)量關(guān)系．85．為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延長AD到M，使DM=AD，連接BM．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】圖1中AC與BM的數(shù)量關(guān)系是___________，位置關(guān)系是___________；（2）【初步應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB=12，AC=5，AD=6.5，判斷△ABC的形狀；（3）【探究提升】如圖3，在△ABC中，若AB=12，AC=8，D為BC邊上的點，且BD=2CD，求AD的取值范圍．七、證明題86．【背景材料】在一次綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個三角形紙片為操作對象，進(jìn)行相關(guān)問題的研究．已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，老師將△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放(點E、A、B在同一條直線上)，發(fā)現(xiàn)BD=CE．接下來讓同學(xué)們以小組為單位開展進(jìn)一步的探究．

（1）【初步探究】志遠(yuǎn)小組在老師基礎(chǔ)上進(jìn)行探究，他們保持△ADE不動，將△ABC按如圖2位置擺放，發(fā)現(xiàn)BD=CE仍然成立，請你幫他們完成證明；（2）【深入探究】勤學(xué)小組剪了兩個大小不同的等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE，將兩個等腰三角形按如圖3位置擺放，請問當(dāng)∠BAC和∠DAE的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論BD=CE仍成立？請說明理由；（3）【拓展應(yīng)用】創(chuàng)新小組保持老師提供的△ADE不動，另剪一個等腰直角△ABC按如圖4位置擺放，∠ABC=90°，BA=BC，若DA與DB關(guān)于沿著過點D的某條直線對稱，AC與DE交于點F，當(dāng)點B在△ADE的斜邊DE上時，連接CD，請證明△CDF為等腰三角形．87．如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，∠B=∠AED=∠C，∠EAD=∠EDA.求證：AB+CD=BC．88．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖1，過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF=BE+CF；（2）過A的直線與斜邊BC相交時，①如圖2，探究線段EF、BE、CF的數(shù)量關(guān)系并加以證明：②如圖3在（2）的條件下，如圖3，直線FA交BC于點H，延長BE交AC于點G，連接BF、FG、HG，若∠AHB=∠GHC，EF=CF=6，EH=2FH，四邊形ABFG的面積是90，則△GHC的面積為___________．89．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線．求證：AB+AC智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（依據(jù)1），∴BE=CA，在△ABE中，AB+BE＞∴AB+AC＞（1）任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．【歸納總結(jié)】上述方法是通過延長中線AD，使DE=AD，構(gòu)造了一對全等三角形，將AB，AC，AD轉(zhuǎn)化到一個三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）任務(wù)二：如圖3，AB=6，AC=8，則AD的取值范圍是；A．6＜AD＜8； B．6≤AD≤8（3）任務(wù)三：利用“倍長中線法”，解決下列問題．如圖4，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為BC中點，求證：AD=190．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．91．如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠D=45°，求∠EGC的大小．92．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，點F為BE中點，連結(jié)DF，CF．（1）如圖1，點D在AC上，請你判斷此時線段DF，CF的關(guān)系，并證明你的判斷；（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45度時，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此時線段CF的長．93．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線.求證：AD＜12(AB+AC94．如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，當(dāng)將△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)時，連線AC與BD之間的大小關(guān)系如何？試猜想并證明你的結(jié)論．95．如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE=EF，求證：AC=BF．96．如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，點A、B、C在同一直線上，AE與BD交于點O，AE、BD分別與CD、CE交于點M、（1）求證：△ACE≌△（2）求證：∠AOD=60°（3）求證：△CMN97．求證：如果三角形一邊上的中線與這條邊所對內(nèi)角的平分線重合，那么這個三角形是等腰三角形．98．如圖，點C在線段AB上，∠A=∠B，AC=BE，AD=BC，F(xiàn)是DE的中點．（1）求證：CF⊥DE；（2）若∠ADC=20°，∠DCB=80°，求∠CDE的度數(shù)．99．如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE，AC=DF，BC=EF.（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度數(shù).100．如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE，（1）求證：∠AEB=∠ADC；（2）連接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度數(shù)．

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】（3，7）9．【答案】y=10．【答案】711．【答案】212．【答案】1<AD<513．【答案】2<AD<614．【答案】1<AD<715．【答案】1<AD<616．【答案】317．【答案】418．【答案】219．【答案】C；逆時針方向；6020．【答案】1221．【答案】2<AC<1422．【答案】3＜m＜1323．【答案】2<AB<1424．【答案】3或925．【答案】4+226．【答案】327．【答案】428．【答案】729．【答案】62或30．【答案】21031．【答案】532．【答案】1033．【答案】234．【答案】①②⑤35．【答案】336．【答案】6037．【答案】①②④38．【答案】0.5<x<3.539．【答案】120°40．【答案】2BD=MN41．【答案】5或142．【答案】2,4???????43．【答案】3644．【答案】345．【答案】646．【答案】90°；3047．【答案】13548．【答案】（1）50°（2）1<AD<749．【答案】（1）證明：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AE=AD、AB=AC，又∵∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠DAB=∠EAC在△EAC和△DAB中，AE=AD∠DAB=∠EAC∴△EAC≌△DAB，（SAS）即可得出BD=CE.（2）解：由（1）△EAC≌△DAB，可得∠ECA=∠DBA，又∵∠DBA+∠DBC=60°，在△BFC中，∠ECA+∠DBC=60°，∠ACB=60°，則∠BFC=180°?∠ACB?(∠ECA+∠DBC)=180°?60°?60°=60°.50．【答案】（1）∠BAD=60°，（2）AD=10．51．【答案】（1）解：①補全圖形，如圖．

②解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°．

∵線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段CD，

∴CA=CD，∠ACD=α．

∴∠CAD=∠CDA=180°?∠ACD2=90°?α2．

∴（2）解：線段BE，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系為CF=BE＋CE．證明：延長EA至點G使得EG=CE，連接CG，如圖．

∴∠G=∠ECG．

∵∠CEB=∠G＋∠ECG=2∠G，∠CEB=60°＋α，

∴∠G=30°+α2．

∵∠AFC=30°+α2，

∴∠G=∠AFC．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°．

∴△ACF≌△CBG．

∴52．【答案】解：如解圖，過點F作FG⊥DC交DC的延長線于點G，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=6，∠D=90°.

∵EF⊥AE，

∴∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠AED=∠GEF+∠AED=90°，

∴∠DAE=∠GEF，

在△ADE和△EGF中，

∠D=∠G∠DAE=∠GEFAE=EF，

∴△ADE≌△EGF(AAS)，

∴AD=EG=6.

∵E為CD的中點，

∴DE=CE=GF=12CD=3，

∴CG=EG-EC=3，

∴53．【答案】（1）解：作圖如下，（2）解：∵PE⊥AB，QF⊥AB，PO⊥OQ，∴∠PEO=∠PFO=∠POQ=90°∴∠POE+∠QOF=90°，∠Q+∠QOF=90°，∴∠POE=∠Q.∵PO=OQ，∴△PEO≌△OFQ(AAS)，∴PE=OF=150米，EO=QF=350米，

∴EF=OE+OF=500米。54．【答案】（1）7米；（2）15m；（3）瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN為2米．55．【答案】解：如圖，在BC上截取EG=BD，連接FG，

∵△ABC和△DEF是等邊三角形，

∴DE=EF，AB=BC，

∠DEF=∠B=∠ACB=60°，

∵∠DEC=∠BDE+∠B=∠DEF+∠FEG，

∴∠BDE=∠FEG，

在△BED和△GFE中，

DE=EF∠BDE=∠FEGBD=EG，

∴△BED≌△GFE(SAS)，

∴∠B=∠EGF=60°，BE=FG，

∵FG平分∠ACB，

∴∠ACF=∠ECF=30°，

∵∠EGF=∠GFC+∠FCG，

∴∠GFC=∠GCF=30°，

∴FG=CG=BE，

∵AB=BC，BD=EG，

∴AD=BE+CG=2BE=5，

∴BE=556．【答案】（1）△ADC≌△EDB（2）1<x<4（3）BF=757．【答案】解：由題意，得∠CDP=∠PBA=∠APC=90°，所以∠DCP+∠CPD=∠BPA+∠CPD=90°.則∠DCP=∠BPA.在△CPD和△PAB中，因為∠CDP=∠PBA，CD=PB，∠DCP=∠BPA，所以△CPD≌△PAB(ASA).所以PD=AB.因為DB=33m，PB=8m，所以AB=PD=33-8=25(m).故樓高AB是25m.58．【答案】（1）證明：由題意得AC∴∴∠ACD+∠BCE=90△∴△ADC（2）解：由題意得AD=2×3=6(∵△∴∴答：兩堵木墻之間的距離為20cm.59．【答案】證明：如圖，在AB上取點E，使得AE=AC，連接ED，∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

在△AED和△ACD中，

AE=AC，∴△AED?△ACD(SAS)，∴∠∵∠C=2∠B，且∴BE=DE，∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD．60．【答案】（1）3（2）2或361．【答案】（1）60°．（2）90°?1262．【答案】解：過A和B分別作AF⊥x軸于F，BE⊥x軸于E，如圖：

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACF＋∠BCE＝90°，

∵AF⊥x軸，BE⊥x軸，

∴∠AFC=∠CEB=90°，

∴∠ACF＋∠CAF＝90°，

∴∠CAF＝∠BCE，

在△AFC和△CEB中，

∠AFC=∠CEB=90°∠CAF=∠BCEAC=BC，

∴△AFC≌△CEB（AAS），

∴FC＝BE，AF＝CE，

∵點C的坐標(biāo)為（-2，0），點A的坐標(biāo)為（-6，3），

∴OC＝2，AF＝CE＝3，OF＝6，

∴CF＝OF-OC＝4，OE＝CE-OC＝2-1＝1，

∴BE＝4，

∴則B點的坐標(biāo)是（1，4），

設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx＋b，

k+b=4?2k+b=0，解得：k=43b=83，

∴直線BC的解析式為：y＝43x＋83，63．【答案】（1）解：由折疊得∠FDE=∠BDE=35°，

∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=35°+35°=70°，

∵FD向右平移若干單位長度后恰好能與邊AC重合，

∴AC//DF，

∴∠C=∠BDF=70°，

∴∠C的度數(shù)是70°．（2）解：∵FD=BD，BC=6，

∴FD+CD=BD+CD=BC=6，

∵AC=FD，AF=CD，

∵AC+FD+AF+CD=2FD+2CD=2(FD+CD)=12，

∴四邊形ACDF的周長為12．64．【答案】（1）2<AD<8；（2）AD=365．【答案】（1）證明：∵OB⊥OC，

∴∠BOC=90°，

∴∠AOB+∠COE=∠BOC=90°，

∵BD⊥OA，

∴在Rt△AOB中，∠AOB+∠B=90∴∠COE=∠B（2）解：在△DOB和△ECO中∠BDO=∠OEC=9∴△DOB?△ECO(∴OE=BD=8cm∴AE=OA?OE=17?8=9，∴AE的長為9cm．66．【答案】兩個排污口之間的水平距離DC為500米67．【答案】（1）BD=AE，CE=AD（2）解：DE=BD+CE，理由如下：由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=AD，∴DE=BD+CE；（3）解：存在，當(dāng)△DAB≌△ECA時，∴AD=CE=2cm,BD=AE=7cm，∴t=1，此時x=2；當(dāng)△DAB≌△EAC時，∴AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,∴t=AD2=綜上：t=1，x=2或t=968．【答案】（1）解：∵∠DMC=90°，

∴∠AMC+∠DMB=90°，

∵∠DBA=90°，

∴∠DMB+∠D=90°，

∴∠AMC=∠D，

根據(jù)題意可得：AC=BM=3m，

在△CAM和△MBD中，

∠AMC=∠D∠A=∠B=90°AC=BM，

∴△CAM≌△MBD（AAS），

∴AM=BD，

∵AM=9m，

（2）解：不能，添加條件：AE⊥MD，

先利用（1）的證明方法證出△MBD≌△CBA，

∴BD=AB=9m.69．【答案】（1）BD=CE（2）在△ABD和△ACE中，因為AD=AE，∠DAB=∠EAC=90°，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).所以∠ABD=∠ACE.又因為∠ADB=∠CDF，所以∠DFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠ABD-∠ADB=∠BAD=90°.所以∠BFC=90°.（3）BD=CE且BD⊥CE.理由如下：因為∠CAB=∠DAE=90°，所以∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠DAB=∠EAC.又因為AD=AE，AB=AC，所以△ABD≌△ACE(SAS).所以BD=CE，∠DBA=∠ECA.因為∠AHB=∠FHC，所以∠BFC=180°-∠FCH-∠FHC=180°-∠HBA-∠AHB=∠CAB=90°.所以BD⊥CE.70．【答案】（1）等邊三角形；（2）9371．【答案】（1）證明：∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

∵AB∥CD，

∴∠DCA=∠CAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∴AC是∠EAB的角平分線，

又∵CE⊥AD，CB⊥AB，

∴CE=CB；（2）解：在Rt△ACE與Rt△ACB中，

∵AC=AC，CE=CB，

∴Rt△ACE≌Rt△ACB（HL），

∴AE=AB．

∵AC是∠EAB的平分線，

∴∠EAB=2∠CAE=60°，

∴△AEB是等邊三角形，

∴BE=AB；

在Rt△ABC中，

∵BC⊥AB，∠CAB=30°，

∴AC=2BC=4，

∴AB=AC2?BC72．【答案】（1）證明：∵BC=AC，D、E分別是BC和AC的中點，

∴CD=AE=12BC=12AC，

又∵∠DCE=∠BCA=90°，即∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE=90°，

∴∠BCD=∠ACE，

（2）解：①如圖，當(dāng)點D在△ABC內(nèi)時，過點C作CF⊥DE，

由（1）可知，若BC=AC，則△CDE為等腰直角三角形，其中CD=12BC=12AC=2，

當(dāng)B、D、E三點共線時，

∴∠BDC=180°-∠CDE=135°，

∴∠BFC=90°，DF=EF=CF=2，

在Rt△BFC中，BF=BC2?CF2=42?（3）解：如圖，過點C作CG⊥CH，交BD于點G，

由（1）同理，∠BCD=∠ACE，

又∵CD=12BC,CE=12AC，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CBD=∠CAE，

由∠BCA=∠GCH=90°，同理可得，∠BCG=∠ACH，

∴△BCG∽△ACH，

∴CGCH=BGAH=BCAC，

又∵∠ABC=30°，

∴tan∠ABC=ACBC=73．【答案】（1）1<AD<5（2）AC∥BM,AC=BM（3）EF=2AD74．【答案】（1）SAS；解：（2）由（1）可知：△ADC≌△EDBSAS∴AC=EB=6，∴AB+BE>AE,AB?BE<AE，∴2<AE<14，即2<2AD<14，∴1<AD<7；（3）證明：延長AD到點H，使得AD=HD，連接BH，如圖所示：同理（1）可得△ADC≌△HDBSAS∴AC=HB,∠H=∠DAC，∵AE=EF，∴∠FAE=∠AFE=∠BFH，∴∠H=∠BFH，∴BF=BH，∴AC=BF．75．【答案】（1）AD＝BE（2）解：AD＝BE成立．

證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形

∴EC＝AC，BC＝DC，

∠ACE＝∠BCD＝60°，

∴∠ACE＋∠ACB＝∠BCD＋∠ACB，

∴∠ECB＝∠ACD，

在△ECB和△ACD中，

EC=AC∠ECB=∠ACDBC=DC，

∴△ECB≌△ACD（SAS），

（3）解：∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°．

如圖2，設(shè)BE與AC交于Q，如圖所示：

由（2）可知△ECB≌△ACD，

∴∠BEC＝∠DAC，

又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP＋∠QAP＋∠APQ＝∠EQC＋∠CEQ＋∠ECQ＝180°

∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，

∴∠APE＝60°．76．【答案】（1）解：證明：∵∠DAE=∴∠DAE+∠在△ACD與△ABE中，AD∴△ACD?△ABE(∴CD=BE．（2）解：解：如圖2：連接BE，∵CD垂直平分AE∴AD=DE，∵∠DAE=∴△ADE是等邊三角形，∴∵△ABE?△ACD（理由同（1）），∴BE=CD=4,∠∴BE⊥DE,DE=AD=3，∴BD=B77．【答案】解：圖②的結(jié)論是BM2+NC2+BM?NC＝MN2．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

以點B為頂點在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點Q作QH⊥BC，垂足為H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝30°，

∴∠BAM+∠QAB＝30°，

即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM；

∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，

∴∠QBH＝60°，

∴∠BQH＝30°，

∴BH=12BQ，QH=32BQ，

∴HM＝BM+BH＝BM+12BQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM+12BQ）2＝QM2，

整理得BM2+BQ2+BM?BQ＝QM2．

∴BM2+NC2+BM?NC＝MN2．

圖③的結(jié)論是：BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．

證明：以點B為頂點在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點Q作QH⊥BC，垂足為H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝60°，

∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM，

在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，

∴BH=12BQ，QH=32BQ，

HM＝BM﹣BH＝BM?12BQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（32BQ）2+（BM?12BQ）2＝QM2，

78．【答案】（1）①如圖(2)，由△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，

∵點D、F重合，

∴BE=AD=AF，

∵△CDE為等腰直角三角形，

∴DE=EF=2CF，

∴BF=BD=BE+ED=AF+2CF，

即BF-AF=2CF②如圖(1)，過點C作CG⊥CF交BF于點G，

由(1)知，△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CAF=∠CBE，BE=AD，∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，

∴∠ACF=∠BCG，

∵∠CAF=∠CBE，BC=AC，

∴△BCG≌△ACF(ASA)，∴GC=FC，BG=AF，故△GCF為等腰直角三角形，則GF=2CF，

則BF=BG+GF=AF+2CF，即BF-AF=2CF；（2）解：BF-kAF=kx2+1·FC，理由如下

如圖(2)，過點C作CG⊥CF交BF于點G，

同理，∠ACD=∠BCF。

又∵BC＝kAC，EC＝kDC，

即BCAC=CECD=k，

∴△ACD∽△BCE，

∴∠CAF=∠CBE，

∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，

∴∠ACF=∠BCG，

∵∠CAF=∠CBE，

∴△BCG∽△ACF，

∴GCCF=BGAF=BCAC=k，79．【答案】（1）證明：∵∠BAC=90°，∴∠1+∠2=90°∵AE⊥CE，BF⊥AE，∴∠CEA=∠AFB=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵AB=AC，∠CEA=∠AFB，∴△AEC≌△BFA，∴CE=AF，AE=BF，∵EF=AE?AF，∴EF=BF?CE.（2）證明：過B作BF⊥AE，由（1）可知△AEC≌△BFA∴AF=CE，∵BA=BD，BF⊥AE，∴AD=2AF，∴AD=2CE.（3）180．【答案】（1）∠BCE???????；50°（2）解：∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°，∴∠DCM=∠CDM=45°，

∴DM=CM，

∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）解：681．【答案】（1）SAS（2）1<AD<7（3）解：延長AD至點G，使GD=AD，連接BG，∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，BD=CD∠ADC=∠GDB∴△ADC≌△GDBSAS∴BG=AC，∵AE=EF，∴∠AFE=∠FAE，∴∠DAC=∠AFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF，∴AC=BF．82．【答案】解：（1）1<AD<5（2）BE+CF>EF，理由如下：延長FD至點M，使DM=DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF，DM=DF∴EM=EF在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM∴BE+CF>EF；（3）AF+CF=AB，理由如下：如圖③，延長AE，DF交于點G∵AB∥CD∴∠BAG=∠G在△ABE和△GCE中CE=BE∴△ABE≌△GEC(AAS)∴CG=AB∵AE是∠BAF的平分線∴∠BAG=∠GAF∴∠FAG=∠G∴AF=GF∵FG+CF=CG∴AF+CF=AB．83．【答案】嘗試探究：見解析；應(yīng)用：①3②3（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，

∴∠ABG=∠D=90°．

∵BG=DF，

∴△ABG≌△ADF，

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF．

∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,

∴∠BAE+∠DAF=45°

∴∠BAG+∠BAE=45°,

即∠GAE=∠EAF,

又AG=AF,AE=AE,

∴△AGE≌△AEF,

∴EF=EG,

∴EF=BE+DF（2）①∵CE=2BE=4,∴BE=2,∴BC=CE+BE=4+2=6=CD,設(shè)DF=x,則CF=6?x,∵EF=DF+BE,∴EF=2+x，在Rt△CEF中，C∴解得，x=3,∴DF=3,84．【答案】（1）證明：∠ADC=∠ABE，理由如下：

∵△ADB與△ACE均為等邊三角形，

∴∠DAB=∠ABD=∠ADB=60°,∠EAC=∠ACE=∠AEC=60°,AD=AB=BD,AE=AC=CE,

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE,

∴△DAC≌△BAE(SAS)，

∴∠ADC=∠ABE；

（2）解：∵△ACE是等邊三角形，BE⊥AC,

∴∠AEB=30°,

由（1）知，△DAC≌△BAE，

∴DC=BE=12,∠ACD=∠AEB=30°,

又∠ACE=60°,

∴∠DCE=∠DCA+ACE=30°+60°=90°,

又CE=AE=5，

∴DE=DC2+CE2=122+52=13；

（3）解：CD2+CE2=BC2，理由如下：

連接BE，如圖，

∵∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=45°

∵∠BAC=∠EAD=90°

∴∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，

AB=AC85．【答案】（1）AC=BM，AC∥BM（2）△ABC是直角三角形；（3）4386．【答案】解：（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE；（2）當(dāng)∠BAC=∠DAE時，BD=CE仍成立．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，（3）如圖，在等腰直角三角形ADE和ABC中，DA=EA，BA=BC，∠BAC=45°，∵DA與DB關(guān)于沿著過點D的某條直線對稱，∴DA=DB，∴EA=DB，∠DAB=∠DBA，∵∠DAE=∠ABC=90°，∴∠DAB+∠BAE=∠DBA+∠CBD=90°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，EA=DB∠BAE=∠CBDBA=BC，∴△ABE≌△BCD(SAS)，∴∠CDB=∠AEB=45°，∵∠DAB=∠DBA，∴∠DBA=(180°?45°)÷2=67.5°，∴∠AFB=180°?∠BAC?∠DBA=180°?45°?67.5°=67.5°，∴∠CFD=∠AFB=67.5°，（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，

∴∠BAD=∠EAC．

在△ABD和△ACE中

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，（2）解：當(dāng)∠BAC=∠DAE時，BD=CE仍成立．

理由：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

（3）證明：如圖，在等腰直角三角形ADE和ABC中，DA=EA，BA=BC，∠BAC=45°，

∵DA與DB關(guān)于沿著過點D的某條直線對稱，

∴DA=DB，

∴E