第五章一元函數的導數及其應用 單元檢測（含解析）-2024-2025學年高二上學期人教A版（2019）選擇性第一冊

第五章一元函數的導數及其應用單元檢測-2024-2025學年高二上學期人教A版（2019）選擇性必修第二冊一、單選題1．若函數在處的導數等于，則的值為（

）A．0 B． C． D．2a2．已知函數關于點中心對稱，則曲線在點，處的切線斜率為（

）A． B． C． D．3．，若，則等于（

）A． B．1 C． D．4．函數和的圖象有公共點P，且在點P處的切線相同，則這條切線的方程為（

）A． B． C． D．5．已知函數在區(qū)間上有極值，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．若關于x的不等式在上恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列選項正確的是（

）A．， B．，C．， D．，8．已知函數在上有且僅有4個零點，則（

）A．B．令，存在，使得為偶函數C．函數在上可能有3個或4個極值點D．函數在上單調遞增三、填空題9．設曲線在處的切線與直線垂直，則10．已知：當無窮大時，的值為，記為.運用上述結論，可得.11．設函數，其中.若對任意的正實數，不等式恒成立，則的最小值為.12．已知且，設函數的導函數為，且，當時，實數的取值范圍是.四、解答題13．已知函數.(1)當時，討論的單調性；(2).（i）當時，求的最小值；（ii）若在上恒成立，求的取值范圍.14．函數的導數記作，即；同時，在區(qū)間上的導數為.若在區(qū)間上，，則稱函數具有性質.若函數的導數為，且函數具有性質，則對于，有，等號當且僅當是線性函數時成立.若函數具有性質，且存在常數m，，使得.(1)證明：具有性質.(2)證明：（i）；（ii）.(3)當，時，函數具有性質，求證：15．若斜率為的兩條平行直線，曲線滿足以下兩條性質：（Ⅰ）分別與曲線至少有兩個切點；（Ⅱ）曲線上的所有點都在之間或兩條直線上．則稱直線為曲線的一對“雙夾線”，把“雙夾線”之間的距離稱為曲線在“方向上的寬度”，記為，已知曲線.(1)判斷時，曲線是否存在“雙夾線”，并說明理由；(2)若，試問：和是否是函數的一對“雙夾線”？若是，求此時的值；若不是，請說明理由；(3)對于任意的正實數，函數是否都存在“雙夾線”？若是，求的所有取值構成的集合；若不是，請說明理由.16．若變量滿足：，且，其中且，則稱是的“型函數”.(1)已知是的“2型函數”，求該函數在點處的切線方程；(2)已知是的“型函數”.（i）求的最小值；（ii）求證：.參考答案：題號12345678答案DDBDBBABCABD1．D【分析】根據給定條件，利用導數的定義直接計算可求解.【詳解】.故選：D.2．D【分析】由題意結合函數圖象變換整理新函數，利用對稱性可得其奇偶性，根據導數與切線斜率的關系，可得答案.【詳解】因為關于點中心對稱，所以函數為奇函數，則，即，且為奇函數，所以，解得，故，且，故切線斜率為.故選：D.3．B【分析】求函數的導函數，由條件列方程求.【詳解】由題意可得：，若，即，則，解得．故選：B．4．D【分析】設切點P的橫坐標為（），先根據導數幾何意義列方程組，可得，再根據導數求其單調性，根據單調性確定其解，最后根據點斜式求切線方程.【詳解】由，，則，，設切點P的橫坐標為（），則根據題意可得，得，即，設，，因為函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，又，所以方程有唯一解，所以切點P坐標為，切線斜率，則切線方程為.故選：D.5．B【分析】求導，根據fx在區(qū)間上有極值，由在區(qū)間上有不等根求解.【詳解】解：因為，所以，因為函數在區(qū)間上有極值，所以在區(qū)間上有變號根，即在區(qū)間上有變號根，令，則，令，得或（舍去），當時，，遞減；當時，，遞增；所以當時，取得極小值，又，，所以，則，又當時，，遞增，無極值，所以實數的取值范圍是，故選：B6．B【分析】由題設易得，整理題設為，設，，結合導數分析函數的單調性，進而轉化問題為在上恒成立，設，，進而結合導數分析的單調性，進而求解即可.【詳解】由題設，顯然，由，即，即，設，，則，而，則函數在上單調遞減，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，設，，則，令，得；令，得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即，又，所以a的取值范圍是.故選：B.7．ABC【分析】對于ABC，由基本初等函數的導數公式即可判斷；對于D，由復合函數的求導法則即可求出函數的導函數，從而得解.【詳解】對于A，，則，故A正確；對于B，，則，故B正確；對于C，，則，故C正確；對于D，，則，故D錯誤.故選：ABC.8．ABD【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，根據在上有且僅有4個零點，可確定，進而解得，再根據其范圍結合函數圖象和平移知識等逐一判斷即可.【詳解】對于A，，，因為在上有且僅有4個零點，所以，解得，∴，故A正確；對于B，，為偶函數，則，即，∵∴取，為偶函數,滿足題意，故B正確；對于C，x∈0,π，∵，，∴函數在上可能有4個或5個極值點，故C不正確；對于D，若，則，∵，∴，∴函數在上單調遞增.故D正確；故選：ABD.9．1【分析】由直線的斜率求出切線的斜率，導函數在切點處的值即為切線斜率，建立等式，求得的值.【詳解】直線的斜率，∵切線與直線垂直，∴切線的斜率，，當時，，∴，故答案為：1.10．.【分析】利用換元法和對數運算性質將所求式子化簡為的結構，即可求得.【詳解】令，則，，則，因為，則.故答案為：.11．【分析】根據不等式恒成立的等價形式，先求得的最小值，然后分離常數得恒成立，令求其最大值，從而得到的取值范圍，進而求得最小值.【詳解】依題意，當時，不等式恒成立，等價于，對于，當時，，，，當時，，，，當且僅當時，，當時，，即，令，，當時，h'x>0，當時，h'x<0，，，的最小值為.故答案為：12．【分析】根據已知求導函數，再構造新函數，應用，兩種情況分類討論求出參數即可.【詳解】，且，令，，若時，單調遞增，則若，則單調遞減，單調遞增，因為存在，所以單調遞增，單調遞減，單調遞增，因為所以分別為y=fx的極大值點和極小值點，不合題意；若時，單調遞減，若，則，單調遞增，單調遞減，因為存在，所以，，即，故，所以，單調遞減，單調遞增，單調遞減，因為所以分別為y=fx的極小值點和極大值點，符合題意；所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是分類討論后求解，得出，對的計算求解.13．(1)在上單調遞減，在0,+∞上單調遞增.(2)（i）；（ii）【分析】（1）求出，就、分類討論后可得函數的單調性.（1）（i）求出，討論其符號可得函數的最小值；（ii）求出函數的三階導數得該函數恒為正，從而就、分類討論二階導數的符號可得的增減性，故可得時不等式恒成立.【詳解】（1），若，則，故當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；若，則，而，若在上恒成立，故同理可得在上單調遞減，在上單調遞增；綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）,當時，，則，其中，因在0,+∞上為增函數，且當時，，故當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；故.（ii），設，則，設，則當時，，故在為增函數，故，若，則即在上恒成立，故即在上為增函數，故，故在上為增函數，故恒成立.若，t2a=2a+而，故在上有且只有一個零點，且當時，，故在為減函數，故時，，故在為減函數，故時，，這與題設矛盾，綜上，.【點睛】思路點睛：含參數的不等式恒成立問題，注意結合端點效應分類討論，有時需要多次求導討論各階導數的符號，從而得到上階導數的單調性，注意兩者之間的對應性.14．(1)證明見解析(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）構造函數，再求導，結合新概念證明即可；（2）運用前問的證明結論，記函數，其導數為Fx.結合新概念，逐個計算證明即可；（3）構造輔助函數，求導，得到具有性質.記函數，其導數為，證明得到，取，，，，可得結論.【詳解】（1）因為，所以，（因為），故具有性質.（2）由（1）得，具有性質.記函數，其導數為Fx.（i）由得，，可得，，得.（ii）由得，，得.（3）構造輔助函數，則，（因為），故具有性質.記函數，其導數為，由得，，得，又，所以，取，，，，可得，.15．(1)存在，理由見解析；(2)是，；(3)答案見解析.【分析】（1）由定義結合三角函數圖像得到“雙夾線”；（2）利用導函數等于斜率，求出的切點坐標，驗證切點個數，在用作差法得出函數圖像在兩直線之間，由定義得出；（3）由（2）的思路可知令即可找到切線方程及切點坐標，再由作差法驗證函數在這兩條直線之間，由定義得出及其范圍.【詳解】（1）曲線：，由正弦函數的圖像可知：和為曲線的一對“雙夾線”，故曲線是存在“雙夾線”.（2）曲線：，，令，即，時，，點是曲線與的一個切點；時，，點是曲線與的一個切點；∴直線與曲線至少存在兩個切點，同理可得時，，點是曲線與的一個切點；時，，點是曲線與的一個切點；∴直線與曲線至少存在兩個切點，令，，則，，∴和是函數的一對“雙夾線”，.（3），則，∵，當時，，則過點的切線方程為：，當時，，過點的切線方程也為：，∴直線與至少存在兩個切點；同理可得，直線與相切于點和，∴直線與至少存在兩個切點；令，，則，，∴在兩條直線之間，故對于任意的正實數，函數都存在“雙夾線”，，的所有取值構成的集合.【點睛】方法點睛：本題出現的一個新的定義，根據定義先通過導函數與直線斜率相等找到至少兩個切點坐標，再由作差法判定曲線一點在兩條直線之間.16．(1)(2)（i）（ii）證明見解析【分析】（1）根據函數的新定義可得到結果；（2）（i）根據函數的新定義以及基本不等式可求得最值；（ii）根據以及得到有關的一個函數，根據導函數判斷單調區(qū)間，求最值，可證明不等