2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十二章推理與證明算法復(fù)數(shù)第一節(jié)合情推理與演繹推理學(xué)案理含解析

PAGE第一節(jié)合情推理與演繹推理[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)潔的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)覺中的作用.2.了解演繹推理的重要性，駕馭演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)潔推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.以類比推理、歸納推理和演繹推理的推理方法為主，常以演繹推理的方法依據(jù)幾個(gè)人的不同說(shuō)法作出推理推斷進(jìn)行命題．在高考中以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查，屬于中、高檔題，分值為5分.邏輯推理‖學(xué)問梳理‖1．合情推理類型定義特征歸納推理由某類事物的eq\x(1)部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的eq\x(2)全部對(duì)象都具有這些特征的推理由eq\x(3)部分到eq\x(4)整體、由eq\x(5)個(gè)別到eq\x(6)一般類比推理由兩類對(duì)象具有某些eq\x(7)類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知eq\x(8)特征，推出另一類對(duì)象也具有這些eq\x(9)特征的推理由eq\x(10)特別到eq\x(11)特別合情推理歸納推理和類比推理都是依據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、eq\x(12)類比，然后提出eq\x(13)猜想的推理2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理動(dòng)身，推出某個(gè)特別狀況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到eq\x(14)特別的推理．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所探討的特別狀況；③結(jié)論——依據(jù)一般原理，對(duì)特別狀況做出的推斷．?常用結(jié)論歸納推理是由特別到一般，由詳細(xì)到抽象的一種推理形式，通過視察、試驗(yàn)，對(duì)有限的資料歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，歸納推理得出的結(jié)論不確定正確．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)歸納推理得到的結(jié)論不確定正確，類比推理得到的結(jié)論確定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推想空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適．()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就確定正確．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、走進(jìn)教材2．(選修2－2P84A3改編)對(duì)于隨意正整數(shù)n，2n與n2的大小關(guān)系為()A．當(dāng)n≥2時(shí)，2n≥n2B．當(dāng)n≥3時(shí)，2n≥n2C．當(dāng)n≥4時(shí)，2n>n2D．當(dāng)n≥5時(shí)，2n>n2答案：D3．(選修2－2P84A5改編)在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b10＝1，則存在的等式為________________．答案：b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n<19且n∈N*)三、易錯(cuò)自糾4．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(2x＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(2x＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確解析：選C因?yàn)閒(x)＝sin(2x＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確．故選C．5．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶86．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，視察上述結(jié)果，可推想一般的結(jié)論為________．解析：∵f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)>2＝eq\f(4,2)，f(23)>eq\f(5,2)，f(24)>eq\f(6,2)，∴歸納得，f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(類比推理))|題組突破|1．(2025屆江西宜春中學(xué)期中)在平面幾何中有如下結(jié)論：正△ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推廣到空間中可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P－ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A．eq\f(1,64) B．eq\f(1,27)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,8)解析：選B從平面圖形類比到空間圖形，從二維類比到三維，可得到如下結(jié)論：正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑之比為eq\f(1,3)，所以正四面體的內(nèi)切球的體積V1與外接球的體積V2之比eq\f(V1,V2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，故選B．2．若{an}是等差數(shù)列，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，則有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，對(duì)等比數(shù)列{bn}，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，有____________．解析：等差數(shù)列的三項(xiàng)之和類比等比數(shù)列的三項(xiàng)之積，等差數(shù)列中(m－n)ap類比等比數(shù)列中的beq\o\al(m－n,p)，因此有beq\o\al(m－n,p)·beq\o\al(n－p,m)·beq\o\al(p－m,n)＝1.答案：beq\o\al(m－n,p)·beq\o\al(n－p,m)·beq\o\al(p－m,n)＝13.如圖所示，在三棱錐S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分別為α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個(gè)猜想是________．解析：類比三角形中的正弦定理，在四面體S－ABC中，我們猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．答案：eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)?名師點(diǎn)津類比推理的分類及處理方法類別解讀適合題型類比定義在求解由某種熟識(shí)的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解.已知熟識(shí)定義類比新定義類比性質(zhì)從一個(gè)特別式子的性質(zhì)、一個(gè)特別圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時(shí)要仔細(xì)分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)分，深化思索兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵.平面幾何與立體幾何、等差數(shù)列與等比數(shù)列類比方法有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，留意學(xué)問的遷移.已知熟識(shí)的處理方法類比未知問題的處理方法eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(歸納推理))|題組突破|4．德國(guó)聞名數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”．其年幼時(shí)，在對(duì)1＋2＋3＋…＋100的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法，該方法的原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)確定的規(guī)律生成，因此，此方法也被稱為高斯算法．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,2m＋4038)，則f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2018)＝()A．eq\f(m＋2019,2) B．eq\f(m＋2018,2)C．eq\f(m＋2018,4) D．eq\f(m＋2019,4)解析：選C由題意知，f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2018)＝eq\f(1,2m＋4038)＋eq\f(2,2m＋4038)＋…＋eq\f(m＋2017,2m＋4038)＋eq\f(m＋2018,2m＋4038)，①又f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2018)＝eq\f(m＋2018,2m＋4038)＋eq\f(m＋2017,2m＋4038)＋…＋eq\f(2,2m＋4038)＋eq\f(1,2m＋4038)，②①②兩式相加整理得，f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2018)＝eq\f(1,2)×eq\f(（m＋2018）（m＋2019）,2m＋4038)＝eq\f(m＋2018,4).故選C．5．如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，n∈N)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2018a2019)＝()A．eq\f(2018,2019) B．eq\f(2019,2018)C．eq\f(2017,2018) D．eq\f(2018,2017)解析：選C視察圖形可知，每個(gè)圖形中每條邊上有n個(gè)點(diǎn)，所以3條邊上有3n個(gè)點(diǎn)，又三角形圖形的3個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)數(shù)了一次，所以an＝3n－3，n>1，n∈N，則eq\f(9,anan＋1)＝eq\f(9,（3n－3）3n)＝eq\f(1,（n－1）n)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，則eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2018a2019)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2017)－\f(1,2018)))＝1－eq\f(1,2018)＝eq\f(2017,2018).故選C．6．視察下列等式：12＝1；12－22＝－3；12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10；…照此規(guī)律，第n個(gè)等式為________．解析：視察規(guī)律可知，第n個(gè)式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(n（n＋1）,2).答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(n（n＋1）,2)?名師點(diǎn)津歸納推理問題的常見類型及解題策略常見類型解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理視察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解與式子有關(guān)的推理視察每個(gè)式子的特點(diǎn)，找到規(guī)律后可解與圖形改變有關(guān)的推理合理利用特別圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡詄q\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(歸納推理中的創(chuàng)新應(yīng)用))邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題動(dòng)身，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程．主要包括兩類：一類是從特別到一般的推理，推理形式主要有歸納；一類是從一般到特別的推理，推理形式主要有演繹．【例】(2024年全國(guó)卷Ⅱ)在“一帶一路”學(xué)問測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成果進(jìn)行預(yù)料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一個(gè)人預(yù)料正確，那么三人按成果由高到低的次序?yàn)?)A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙[解析]依題意，若甲預(yù)料正確，則乙、丙均預(yù)料錯(cuò)誤，此時(shí)三人成果由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙；若乙預(yù)料正確，此時(shí)丙預(yù)料也正確，這與題意相沖突；若丙預(yù)料正確，則甲預(yù)料錯(cuò)誤，此時(shí)乙預(yù)料正確，這與題意相沖突．綜上所述，三人成果由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙，故選A．[答案]A?名師點(diǎn)津求解此類題目一般利用反設(shè)推理方法，即逐個(gè)確定或否定，結(jié)合條件進(jìn)行推理推斷，從而得出正確結(jié)論．|跟蹤訓(xùn)練|(2025屆重慶七校聯(lián)考)某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動(dòng)車輛限行政策，每輛機(jī)動(dòng)車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今日算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知，下列推想確定正確的是()A．今日是周四 B．