2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對值不等式一不等式3三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式課時作業(yè)含解析新人教A版選修4-5

PAGE第一講不等式和肯定值不等式[課時作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．設(shè)x，y，z>0且x＋y＋z＝6，則lgx＋lgy＋lgz的取值范圍是()A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)解析：∵lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)))3＝23，∴l(xiāng)gx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝2時，取等號．答案：B2．函數(shù)y＝x2·(1－5x)(0≤x≤eq\f(1,5))的最大值為()A.eq\f(4,675) B.eq\f(2,657)C.eq\f(4,645) D.eq\f(2,675)解析：∵0≤x≤eq\f(1,5)，∴1－5x≥0，∴y＝x2·(1－5x)＝eq\f(4,25)[eq\f(5,2)x·eq\f(5,2)x·(1－5x)]≤eq\f(4,25)[eq\f(\f(5,2)x＋\f(5,2)x＋1－5x,3)]3＝eq\f(4,675).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(5,2)x＝1－5x，即x＝eq\f(2,15)時取“＝”，故選A.答案：A3．已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列不等式正確的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π解析：如圖，設(shè)圓柱半徑為R，高為h，則4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R＋R＋h,3)))3＝π，當(dāng)且僅當(dāng)R＝R＝h＝1時取等號．答案：B4．設(shè)a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))，則必有()A．0≤M<eq\f(1,8) B.eq\f(1,8)≤M<1C．1≤M<8 D．M≥8解析：M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,b)－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,c)－1))＝eq\f(b＋ca＋ca＋b,abc)≥eq\f(8\r(bc)·\r(ac)·\r(ab),abc)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立．答案：D5．已知x為正數(shù)，下列各題求得的最值正確的是()A．y＝x2＋2x＋eq\f(4,x3)≥3eq\r(3,x2·2x·\f(4,x3))＝6，∴ymin＝6B．y＝2＋x＋eq\f(1,x)≥3eq\r(3,2·x·\f(1,x))＝3eq\r(3,2)，∴ymin＝3eq\r(3,2)C．y＝2＋x＋eq\f(1,x)≥4，∴ymin＝4D．y＝x(1－x)(1－2x)≤eq\f(1,3)[eq\f(3x＋1－x＋1－2x,3)]3＝eq\f(8,81)，∴ymax＝eq\f(8,81)解析：A，B，D在運用不等式a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)(a，b，c∈R＋)和abc≤(eq\f(a＋b＋c,3))3(a，b，c∈R＋)都不能保證等號成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋eq\f(1,x)＝2＋(x＋eq\f(1,x))≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時取等號．答案：C6．若x>0，則函數(shù)y＝4x2＋eq\f(1,x)的最小值是________．解析：∵x>0，∴y＝4x2＋eq\f(1,x)＝4x2＋eq\f(1,2x)＋eq\f(1,2x)≥3eq\r(3,4x2·\f(1,2x)·\f(1,2x))＝3.當(dāng)且僅當(dāng)4x2＝eq\f(1,2x)(x>0)，即x＝eq\f(1,2)時，取“＝”，∴當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，y＝4x2＋eq\f(1,x)(x>0)的最小值為3.答案：37．若a>2，b>3，則a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)的最小值為________．解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，∴a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,a－2b－3)＋5≥3eq\r(3,a－2·b－3·\f(1,a－2b－3))＋5＝3＋5＝8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝3，b＝4時等號成立)．答案：88．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為________．解析：設(shè)底面邊長為x，高為h，則eq\f(\r(3),4)x2·h＝V，所以h＝eq\f(4\r(3)V,3x2)，又S表＝2·eq\f(\r(3),4)x2＋3xh＝eq\f(\r(3),2)x2＋3x·eq\f(4\r(3)V,3x2)＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(8V,x)))＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4V,x)＋\f(4V,x)))≥eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3,16V2)＝3eq\r(3)×eq\r(3,2V2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝eq\f(4V,x)，即x＝eq\r(3,4V)時，S表最?。鸢福篹q\r(3,4V)9．已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋eq\f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3.證明：因為x>0，y>0，x－y>0，2x＋eq\f(1,x2－2xy＋y2)－2y＝2(x－y)＋eq\f(1,x－y2)＝(x－y)＋(x－y)＋eq\f(1,x－y2)≥3eq\r(3,x－y2\f(1,x－y2))＝3，所以2x＋eq\f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3.10．如圖(1)所示，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，如圖(2)所示，求這個正六棱柱容器的容積最大值．解析：設(shè)正六棱柱容器底面邊長為x(x>0)，高為h，由圖可有2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2·h＝eq\f(3\r(3),2)x2·eq\f(\r(3),2)·(1－x)＝2eq\r(3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(x,2)×eq\f(x,2)×(1－x)≤9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x,2)＋\f(x,2)＋1－x,3)))3＝eq\f(1,3).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,2)＝eq\f(x,2)＝1－x，即x＝eq\f(2,3)時，等號成立．所以當(dāng)?shù)酌孢呴L為eq\f(2,3)時，正六棱柱容器的容積最大，為eq\f(1,3).[B組實力提升]1．已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，則()A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x D．z≤y≤x解析：∵a，b，c∈R＋，∴eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，∴x≥y，又x2＝eq\f(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac,9)，z2＝eq\f(3a2＋3b2＋3c2,9)，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.答案：B2．若實數(shù)x，y滿意xy>0，且x2y＝2，則xy＋x2的最小值是()A．1 B．2C．3 D．4解析：xy＋x2＝eq\f(1,2)xy＋eq\f(1,2)xy＋x2≥3eq\r(3,\f(1,2)xy·\f(1,2)xy·x2)＝3eq\r(3,\f(1,4)x2y2)＝3eq\r(3,\f(4,4))＝3.答案：C3．設(shè)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則函數(shù)y＝4sin2x·cosx的最大值為________．解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8(eq\f(sin2x＋sin2x＋2cos2x,3))3＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64,27)，∴y2≤eq\f(64,27)，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x＝2cos2x，即tanx＝eq\r(2)時，等號成立．∴ymax＝eq\f(8\r(3),9).答案：eq\f(8\r(3),9)4．設(shè)正數(shù)a，b，c滿意a＋b＋c＝1，則eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)的最小值為________．解析：∵a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，∴(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.∴(eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2))·[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥3·eq\r(3,\f(1,3a＋23b＋23c＋2))·3eq\r(3,3a＋23b＋23c＋2)＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時等號成立．即eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)≥1.故eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(1,3b＋2)＋eq\f(1,3c＋2)的最小值為1.答案：15．設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).證明：因為a，b，c為正實數(shù)，由算術(shù)—幾何平均不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立)．所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc.而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)a2b2c2＝3時，等號成立)，所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\r(6,3)時，等號成立)．6．已知某輪船速度為每小時10千米，燃料費為每小時30元，其余費用(不隨速度改變)為每小時480元，設(shè)輪船的燃料費用與其速度的立方成正比，問輪船航行的速度為每小時多少千米時，每千米航行費用總和為最?。馕觯涸O(shè)船速為V千米/小時，燃料費為A元/小時，則依題意有A＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝eq\f(3,100).∴A＝eq\f(3,10