數(shù)學(xué)八年級上冊《軸對稱》單元測試題(附答案)

人教版八年級上冊《軸對稱》單元測試卷(時間：120分鐘滿分：150分)一、單選題（共10題；共28分）1.下列交通標志是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A. B. C. D.3.如圖所示是4×5的方格紙，請在其中選取一個白色的方格并涂黑，使圖中陰影部分是一個軸對稱圖形，這樣的涂法有()A.4種 B.3種 C.2種 D.1種4.下列“表情圖”中，屬于軸對稱圖形的是A. B. C. D.5.下列圖形均是一些科技創(chuàng)新公司標志圖，其中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A.

B.

C.

D.6.（2017廣西河池市）已知等邊△ABC的邊長為12，D是AB上的動點，過D作DE⊥AC于點E，過E作EF⊥BC于點F，過F作FG⊥AB于點G．當G與D重合時，AD的長是（）A.3 B.4 C.8 D.97.已知點P（5，-2）與點Q關(guān)于y軸對稱，則Q點的坐標為（

）A.（-5，2） B.（－5，－2） C.（5，2） D.（5，－2）8.如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.69.正三角形ABC中，BD=CE，AD與BE交于點P，∠APE的度數(shù)為（）.A.45 B.55 C.60 D.7510.把26個英文字母按規(guī)律分成5組，現(xiàn)在還有5個字母D、M、Q、X、Z，請你按原規(guī)律補上，其順序依次為（）①F，R，P，J，L，G，（）②H，I，O，（）③N，S，（）④B，C，K，E，（）⑤V，A，T，Y，W，U，（）A.QXZMD B.DMQZXC.ZXMDQ D.QXZDM二、填空題（共8題；共24分）11.一個等邊三角形一邊長為，則它的周長是_____________．12.如圖，∠BAC=100°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ=________．13.如圖，點E等邊△ABC內(nèi)一點，且EA＝EB，△ABC外一點D滿足BD＝AC，且BE平分∠DBC，則∠D＝__________.14.在平面直角坐標系中．點P（-2，3）關(guān)于x軸的對稱點坐標是15.已知△ABC中，AB=AC，現(xiàn)將△ABC折疊，使點A、B兩點重合,折痕所在的直線與直線AC的夾角為40°，則∠B的度數(shù)為______°．16.如圖，在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于E、F，若∠BAC=130°，則∠EAF=________．17.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若AD=BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為_____．18.如圖，∠MON=30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形．若OA1=1，則△AnBnAn+1的邊長為______．三、解答題（共7題；共47分）19.已知等腰三角形的三邊長A＝5x－1，B＝6－x，C＝4，求x的值．20.如圖，∠ABE=∠ACD=Rt∠，AE=AD，∠ABC=∠ACB.求證：∠BAE=∠CAD．請補全證明過程，并在括號里寫上理由．證明：在△ABC中，∵∠ABC=∠ACB∴AB=（）在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵=AC，=AD∴Rt△ABE≌Rt△ACD（）∴∠BAE=∠CAD（）21.如圖，△ABC中,∠A=68°,∠ABC=43°,BD⊥AC,求∠DBC的度數(shù).22.如圖，點P在∠AOB內(nèi)，點M、N分別是P點關(guān)于OA、OB對稱點，且MN交OA、OB相交于點E，若△PEF的周長為20，求MN的長．23.已知，如圖，是的平分線，，點在上，，，垂足分別是、.試說明：.24.如圖，△ABC中，AC=BC，點D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分線CF于點F．（1）求證：CF∥AB；（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度數(shù)．25.如圖，小河邊有兩個村莊A、B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．（1）若要使水廠到A、B村距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？（2）若要使水廠到A、B村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？四、綜合題（共2題；共21分）26.操作與探究．(1)分別畫出圖①中“”和“”關(guān)于直線l的對稱圖形(畫出示意圖即可)．(2)圖②中小冬和小亮上衣上印的字母分別是什么？(3)把字母“”和“”寫在薄紙上，觀察紙的背面，寫出你看到的字母背影．(4)小明站在五個學(xué)生的身后，這五個學(xué)生正向前方某人用手勢示意一個五位數(shù)，從小明站的地方看(如圖③所示)，這個五位數(shù)是23456.請你判斷出他們示意的真實五位數(shù)是多少？27.如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，AD＝BD＝6厘米．(1)如果點P在線段BC上以3厘米秒速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，1秒鐘時，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，點P運動到BC的中點時，如果△BPD≌△CPQ，此時點Q的運動速度為多少．(2)若點Q以(1)②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

參考答案一、單選題（共10題；共28分）1.下列交通標志是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.[答案]C[解析]試題分析：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，故此選項正確；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選C．點睛：此題主要考查了軸對稱圖形的概念．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．2.下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A. B. C. D.[答案]D[解析][分析]根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．[詳解]A、既不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確．故選D．[點睛]此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后兩部分重合．3.如圖所示是4×5的方格紙，請在其中選取一個白色的方格并涂黑，使圖中陰影部分是一個軸對稱圖形，這樣的涂法有()A.4種 B.3種 C.2種 D.1種[答案]B[解析][分析]結(jié)合圖象根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．[詳解]根據(jù)軸對稱圖形的概念可知，一共有3種涂法，如下圖所示：．故選B．[點睛]本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4.下列“表情圖”中，屬于軸對稱圖形的是A. B. C. D.[答案]D[解析]根據(jù)軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，因此，A、B，C不是軸對稱圖形；D是軸對稱圖形．故選D．5.下列圖形均是一些科技創(chuàng)新公司標志圖，其中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A.

B.

C.

D.[答案]D[解析][分析]根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出．[詳解]A、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后不能與原圖形重合，∴此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、∵此圖形旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合，∴此圖形中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項正確．故選D．[點睛]此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵．6.（2017廣西河池市）已知等邊△ABC的邊長為12，D是AB上的動點，過D作DE⊥AC于點E，過E作EF⊥BC于點F，過F作FG⊥AB于點G．當G與D重合時，AD的長是（）A.3 B.4 C.8 D.9[答案]C[解析][詳解]試題解析：設(shè)AD=x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于點E，EF⊥BC于點F，F(xiàn)G⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴BF=2x，∴BD=x,CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴AE=12﹣CE=4x﹣12，∴AD=2AE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴BD=4．AD=AB-BD=12-4=8,故選C．7.已知點P（5，-2）與點Q關(guān)于y軸對稱，則Q點的坐標為（

）A.（-5，2） B.（－5，－2） C.（5，2） D.（5，－2）[答案]B[解析][分析]平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關(guān)于y軸的對稱點的坐標是（-x，y），即關(guān)于縱軸的對稱點，縱坐標不變，橫坐標變成相反數(shù)；這樣就可以求出Q的對稱點的坐標．[詳解]∵點P（5，-2）與點Q關(guān)于Y軸對稱，∴Q點的坐標為（-5，-2）；故選B．[點睛]本題比較容易，考查平面直角坐標系關(guān)于坐標軸成軸對稱的兩點的坐標之間的關(guān)系．是需要識記的內(nèi)容．8.如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6[答案]B[解析]如圖,AC上截取AE=AN,連接BE,因為∠BAC的平分線交BC于點D,所以∠EAM=∠NAM,在△AME與△AMN中,,所以△AME=△AMN,所以ME=MN,所以BM+MN=BM+ME≥BE,因為BE是點B到直線AC的距離時,BE⊥AC,又AB=,∠BAC=45°,此時,△ABE為等腰直角三角形,所以BE=4,即BE取最小值為4,所以BM+MN的最小值是4,故選B.9.正三角形ABC中，BD=CE，AD與BE交于點P，∠APE的度數(shù)為（）.A.45 B.55 C.60 D.75[答案]C[解析]分析]根據(jù)條件三角形ABC是正三角形可得：AB=BC，BD=CE，∠ABD=∠C可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠BAD=∠CBE，又知∠APE=∠ABP+∠BAP，故知∠APE=∠ABP+∠CBE=∠B．[詳解]解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠APE=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠ABP+∠CBE=∠B=60，故選:C．[點睛]本題考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是能看出∠APE=∠ABP+∠BAP，還要熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)定理．10.把26個英文字母按規(guī)律分成5組，現(xiàn)在還有5個字母D、M、Q、X、Z，請你按原規(guī)律補上，其順序依次為（）①F，R，P，J，L，G，（）②H，I，O，（）③N，S，（）④B，C，K，E，（）⑤V，A，T，Y，W，U，（）A.QXZMD B.DMQZXC.ZXMDQ D.QXZDM[答案]D[解析][分析]根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，判斷出各組的對稱情況，再結(jié)合選項進行判斷即可．[詳解]①組既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，只有Q字母；②既是上下對稱圖形，又是左右對稱圖形；③是中心對稱圖形，只有字母Z；④是上下對稱圖形；⑤是左右對稱圖形；縱觀各選項，只有D選項符合．故選D．[點睛]本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．二、填空題（共8題；共24分）11.一個等邊三角形的一邊長為，則它的周長是_____________．[答案]3A[解析]等邊三角形的邊長為A，進而求出它的周長．解：因為等邊三角形的三邊相等，而等邊三角形的邊長為A，所以它的周長為3A．故答案為3A．12.如圖，∠BAC=100°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ=________．[答案]20°[解析][分析]由MP和NQ分別垂直平分AB和AC，可得PA=PB，AQ=CQ，即可證得∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，又由∠BAC=120°，可求得∠B+∠C的度數(shù)，即可得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)，繼而求得答案．[詳解]∵PM垂直平分AB，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，同理：QC=QA，∴∠C=∠CAQ，∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=80°，∴∠BAP+∠CAQ=80°，∴∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=20°．故答案為20°．[點睛]此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意求得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)是關(guān)鍵．13.如圖，點E是等邊△ABC內(nèi)一點，且EA＝EB，△ABC外一點D滿足BD＝AC，且BE平分∠DBC，則∠D＝__________.[答案]30°[解析]試題解析：（1）連接CE，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，在△BCE與△ACE中，∴△BCE≌△ACE（SSS）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE與△BCE中，∴△BDE≌△BCE（SAS），∴∠BDE=∠BCE=30°．14.在平面直角坐標系中．點P（-2，3）關(guān)于x軸的對稱點坐標是[答案]（-2，-3）．[解析]∵P（-2，3）與P1關(guān)于x軸對稱，∴橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，∴P1的坐標為（-2，-3）．15.已知△ABC中，AB=AC，現(xiàn)將△ABC折疊，使點A、B兩點重合,折痕所在的直線與直線AC的夾角為40°，則∠B的度數(shù)為______°．[答案]65°或25°[解析]分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，如圖1，如圖1：由翻折性質(zhì)可知：EF⊥AB，所以∠A+∠AFE=90°，從而可求得∠A=50°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得∠B=65°；如圖2；由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∠D+∠DAE=90°，故此∠DAE=50°，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可求得∠B=25°．詳解：如圖1：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠A+∠AFE=90°．∴∠A=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠B=×（180°-∠A）=×(180°?50°)=65°；如圖2；由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠D+∠DAE=90°．∴∠DAE=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B+∠C=∠DAE，∴∠B=∠DAE=×50°=25°．故答案為65°或25°.點睛：本題主要考查的是翻折的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于E、F，若∠BAC=130°，則∠EAF=________．[答案]80°[解析][分析]由在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于E、F，易得∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，又由∠BAC=130°，可求得∠B+∠C的度數(shù)，繼而求得答案．[詳解]∵在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于E、F，∴AE=BE，AF=CF，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，∴∠BAE+∠CAF=50°，∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=130°-50°=80°．故答案為80°．[點睛]此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握整體思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．17.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若AD=BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為_____．[答案]30°或150°或90°[解析]試題分析：分兩種情況；①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求解即可．解：①BC為腰，∵AD⊥BC于點D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時，頂角∠C=30°，如圖2，AD在△ABC外部時，頂角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC于點D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴頂角∠BAC=90°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°．故答案為30°或150°或90°．點睛：本題考查了含30°交點直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．18.如圖，∠MON=30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形．若OA1=1，則△AnBnAn+1的邊長為______．[答案]2n-1[解析][分析]根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…進而得出答案．[詳解]∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此類推：△AnBnAn+1的邊長為2n-1．故答案是：2n-1．[點睛]此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．三、解答題（共7題；共47分）19.已知等腰三角形的三邊長A＝5x－1，B＝6－x，C＝4，求x的值．[答案]符合要求的x值為或2[解析][分析]分三種情況求解后利用三角形的三邊關(guān)系驗證．[詳解]若A＝B，則5x－1＝6－x，得x＝，（，，5）符合，若A＝C，則5x－1＝4，得x＝1，（4，5，4）符合，若B＝C，則6－x＝4，得x＝2，（9，4，4）不構(gòu)成三角形，綜上所述，符合要求的x值為或2.[點睛]本題考查了三角形的三邊關(guān)系與等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形的三邊關(guān)系與等腰三角形的性質(zhì).20.如圖，∠ABE=∠ACD=Rt∠，AE=AD，∠ABC=∠ACB.求證：∠BAE=∠CAD．請補全證明過程，并在括號里寫上理由．證明：在△ABC中，∵∠ABC=∠ACB∴AB=（）在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵=AC，=AD∴Rt△ABE≌Rt△ACD（）∴∠BAE=∠CAD（）[答案]AC，在同一個三角形中，等角對等邊，AB，AE，HL，全等三角形對應(yīng)角相等[解析][分析]已知∠ABC=∠ACB，根據(jù)等腰三角形的判定方法可得AB=AC，在Rt△ABE和Rt△ACD中，利用HL證明Rt△ABE≌Rt△ACD，由全等三角形對應(yīng)角相等即可得∠BAE=∠CAD.[詳解]證明：在△ABC中，∵∠ABC=∠ACB∴AB=AC（在同一個三角形中，等角對等邊）在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵AB=AC，AE=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL），∴∠BAE=∠CAD（全等三角形對應(yīng)角相等）.[點睛]本題考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.21.如圖，△ABC中,∠A=68°,∠ABC=43°,BD⊥AC,求∠DBC的度數(shù).[答案]21°[解析]試題分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠C的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得∠DBC的度數(shù)即可.試題解析：在△ABC中，．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-69°=21°．22.如圖，點P在∠AOB內(nèi)，點M、N分別是P點關(guān)于OA、OB的對稱點，且MN交OA、OB相交于點E，若△PEF的周長為20，求MN的長．[答案]20Cm[解析][分析]根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：EP=EM，PF=FN，所以線段MN的長=△PEF的周長，再根據(jù)△PEF的周長為20，即可得出MN的長．[詳解]解：∵點M是P點關(guān)于OA的對稱點，∴EP=EM，∵N是P點關(guān)于OB的對稱點，∴PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周長，∵△PEF的周長為20，∴MN=20Cm.[點睛]此題主要考查了軸對稱的性質(zhì)：對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等．23.已知，如圖，是的平分線，，點在上，，，垂足分別是、.試說明：.[答案]見詳解[解析][分析]根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可．[詳解]證明：∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．[點睛]本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解題的關(guān)鍵．24.如圖，△ABC中，AC=BC，點D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分線CF于點F．（1）求證：CF∥AB；（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度數(shù)．[答案]（1）見解析；（2）20°[解析][詳解]試題分析：（1）根據(jù)三角形的性質(zhì)得到∠B=∠BAC，由三角形外角的性質(zhì)得到∠ACE=∠B+∠BAC，求得∠BAC=，由角平分線的定義得到∠ACF=∠ECF=，等量代換得到∠BAC=∠ACF，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由等量代換得到∠ACF=∠ADF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，由于∠AGD=∠CGF，即可得到結(jié)論．（1）證明：∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，∵∠ACE=∠B+∠BAC，∴∠BAC=，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ECF=，∴∠BAC=∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵∠BAC=∠ACF，∠B=∠BAC，∠ADF=∠B，∴∠ACF=∠ADF，∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，又∵∠AGD=∠CGF，∴∠F=∠CAD=20°．考點：等腰三角形的性質(zhì)；平行線的判定．25.如圖，小河邊有兩個村莊A、B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水．（1）若要使水廠到A、B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？（2）若要使水廠到A、B村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？[答案]（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.[解析]試題分析：（1）欲求到A、B兩地的距離相等，即作出AB的中垂線與EF的交點M即可，交點即為廠址所在位置．（2）利用軸對稱求最短路線的方法得出A點關(guān)于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，即可得出答案．試題解析：（1）如圖所示：作出AB的中垂線與EF的交點M，交點M即為廠址所在位置；（2）如圖所示：作A點關(guān)于直線EF的對稱點A′，再連接A′B交EF于點N，點N即為所求．四、綜合題（共2題；共21分）26.操作與探究．(1)分別畫出圖①中“”和“”關(guān)于直線l的對稱圖形(畫出示意圖即可)．(2)圖②中小冬和小亮上衣上印字母分別是什么？(3)把字母“”和“”寫在薄紙上，觀察紙的背面，寫出你看到的字母背影．(4)小明站在五個學(xué)生的身后，這五個學(xué)生正向前方某人用手勢示意一個五位數(shù)，從小明站的地方看(如圖③所示)，這個五位數(shù)是23456.請你判斷出他們示意的真實五