數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：組合（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、求解組合問題的等價轉(zhuǎn)化方法【例1】有10級臺階,一個人每步上一級、兩級或三級，共7步上完，則不同的走法共有多少種？解析:要首先確定每步一上級、兩級或三級的步數(shù),這可將問題等價轉(zhuǎn)化為方程的解的問題。設(shè)每步上一級的步數(shù)為x，每步上兩級的步數(shù)為y，每步上三級的步數(shù)為z，則(x、y、z∈N）。易知0≤z≤1，可解得或當(dāng)x=4，y=3,z=0時,它等價于將4個相同的黑球、3個相同的白球排成一列，共有=35種排法，則有35種走法.當(dāng)x=5,y=1，z=1時,同理可知有=42種走法.由分類計數(shù)原理，共有35+42=77種走法.二、注意排列組合應(yīng)用題中的形同實(shí)異問題【例2】（1）把6本不同的書平均分放在三只抽屜里,有多少種不同的放法？(2）把6本不同的書平均分放在甲、乙、丙三只抽屜里，有多少種不同的放法？解析：（1）和（2）的主要區(qū)別在于對三只抽屜有沒有編號,（1）中對三只抽屜沒有編號，所以說哪一只抽屜是第一只、第二只或第三只都是可以的.而(2)中對三只抽屜已經(jīng)編了號.問題1有··/=15種放法；問題2有··=90種放法.溫馨提示在排列組合應(yīng)用題中,有不少問題形同實(shí)異，在學(xué)習(xí)中容易發(fā)生混淆。對這樣的題目，如果能經(jīng)常注意對照、類比、辨析,對提高分析問題和解決問題的能力無疑是很有好處的。三、立體幾何中的組合問題的解法【例3】（2005全國高考卷Ⅲ，11)不共面的四個定點(diǎn)到平面α的距離都相等，這樣的平面α共面()A。3個B.4個C。6個D。7個解析：事實(shí)上,平面α可以分為兩類：一類是在平面α的兩側(cè)各有兩個點(diǎn)；另一類是在平面α的兩側(cè)分別有一個點(diǎn)和三個點(diǎn).不共面的四個定點(diǎn)可以構(gòu)成三棱錐（如圖），設(shè)E、F、G、H、M分別是AB、AC、AD、CD、BD的中點(diǎn)，過E、F、G三點(diǎn)的平面α滿足題意，這樣的平面有四個;又過E、F、H、M的平面α也滿足題意，這樣的平面有三個。故適合題設(shè)的平面α共有七個，應(yīng)選D。溫馨提示在近幾年的高考試題中出現(xiàn)了以立體幾何的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為背景的排列、組合、概率問題,這類問題情景新穎,多個知識點(diǎn)交匯在一起,綜合性強(qiáng)，能力要求高，解決這類問題的關(guān)鍵是明確形成幾何圖形的元素,并與排列組合形成對應(yīng)關(guān)系,轉(zhuǎn)化為排列組合問題，同時要注意避免重復(fù)和遺漏。本例中,根據(jù)立體圖形的幾何特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),從而使問題得以解決.各個擊破【類題演練1】8個不加區(qū)別的小球放入四個不同的盒子中,每個盒子至少放一個,共有多少種放法?解析：將8個球擺成一列，設(shè)法分成四部分,則每種分法對應(yīng)一種放法.要想分成四部分,只需用3個隔板將它們隔開。8個球共有7個空隙，選其中3個空隙插隔板，共有=35種分法，故共有35種放法?！咀兪教嵘?】圓周上有n(n≥4)個點(diǎn)，每兩個點(diǎn)連一條弦，這些弦在圓內(nèi)最多有多少個交點(diǎn)？解析：如圖所示，P是圓上四點(diǎn)A、B、C、D所引的弦在圓內(nèi)的惟一交點(diǎn)，即圓內(nèi)接四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，易知,當(dāng)沒有三弦交于圓內(nèi)一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）時,弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個數(shù)最多，且這時弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)與相應(yīng)的圓內(nèi)接四邊形可以建立一一映射，所以這些弦在圓內(nèi)最多有個交點(diǎn)?！绢愵}演練2】（1）把7個不同的玻璃球放在兩個布袋中，有多少種不同的放法？(2）把7個玻璃球放在甲、乙兩個布袋中,有多少種不同的放法？（必須兩個布袋里都有玻璃球）解析：（1）共有++=63(種）；（2）共有2（++）=126（種)。【變式提升2】十件獎品全部贈給九位先進(jìn)工作者，每人至少得一件。如果十件獎品都相同，有多少種不同的贈送方法？解析：如果10件獎品都相同，那么得獎方法只有得2件與1件的區(qū)別,贈2件的方法有9種，也就是贈送的方法一共有種，即9種.【類題演練3】（2005江蘇高考，12）四棱錐的8條棱分別代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱所代表的化工產(chǎn)品在同一倉庫存放是危險的，沒有公共點(diǎn)的棱所代表的化工產(chǎn)品在同一倉庫存放是安全的,現(xiàn)在編號①②③④的四個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，則安全存放的不同方法總數(shù)為()A。96B。48C。24解析:如圖分別用1—8標(biāo)號的棱表示8種不同的化工產(chǎn)品，易知可以兩兩放入同一倉庫的情況如下：(實(shí)質(zhì)就是異面直線配對）故8種產(chǎn)品安全存放有“（1，5)、（2，6)、（3，7）、（4,8）”和“(1，8）、（2，5)、（3，6)、(4，7）”兩種可能，故所求的方法種數(shù)為=48(種），故選B.【變式提升3】在四棱錐P—ABCD中，頂點(diǎn)為P,從其他的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中任取3個，使它們和點(diǎn)P在同一平面上,不同的取法有_______________種。()A.40B。48C。56解析：如圖滿足題設(shè)的取法可分為三類：①在四棱錐的每個側(cè)面上除P點(diǎn)