數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：排列（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、解排列問題的直接求法和間接求法【例1】6個(gè)人排值日，每日一人，甲不排星期一，乙不排星期二，丙不排星期三，共有多少種不同的排法。解析：正面思考，情形太繁多，不易解決,考慮問題的反面，即甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三，其中至少有一種情況發(fā)生.甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三可能排法的集合依次用A、B、C表示。那么,不符合題意的排法共有Card（A∪B∪C)種。因?yàn)镃ard(A∪B∪C)=Card(A）+Card(B）+Card（C）-Card(A∩B)-Card(B∩C)-Card(C∩A）+Card(A∩B∩C）=,所以符合題意的排法共有=426(種)。溫馨提示排列問題大多使用直接法求解.但有些計(jì)數(shù)問題正面情況太繁雜或直接法難以入手，這時(shí)往往從問題的反面考慮更容易解決.因此,在解排列問題時(shí)直接求法和間接求法互相補(bǔ)充.二、允許重復(fù)的排列問題的求法【例2】四本讀物中有三本是相同的，把這四本讀物平均分給四個(gè)人，有多少種不同的分法？解析：設(shè)所求的分法有N種，在每一種分法里，有三人分得的是相同的讀物，一人分得的是不同的讀物,假定其中第二人分得讀物是b，第一、第三、第四人分得的讀物都是a，因?yàn)榘讶静煌臅纸o三人有種方法，所以如果把三本相同的書籍換成三本不同的書籍a(chǎn)1,a2，a3，那么這時(shí)分法的種數(shù)是原來的倍，也就是說，把a(bǔ)1，a2,a3，b四本不同的書籍分給四人的方法種數(shù)(有種）是把a(bǔ),a，a，b四本書分給四人的方法種數(shù)的倍，即=，所以N==4(種）三、樹形圖在解排列問題中的應(yīng)用【例3】某工程由A，B，C，D，E，F(xiàn)，G,H，I9個(gè)工序組成,由眾多的施工隊(duì)施工，當(dāng)工序甲只有在工序乙完成后才能開工時(shí)，我們稱工序乙是工序甲的緊前工序，現(xiàn)在這9個(gè)工序的關(guān)系及所需要工時(shí)(天）如下表:工序ABCDEFGHI緊前工序-AA-C，IB,C,IE,FDD所需工時(shí)622443125試問該工程至少需要多少天才能完成，并給出工序的安排.解析：給出工序的安排，也就是要正確畫出體現(xiàn)工序之間銜接關(guān)系的工程網(wǎng)絡(luò)樹形圖，求出其關(guān)鍵路線,就可知道整個(gè)工程的總工期。依題意畫出工程網(wǎng)絡(luò)樹形圖（如圖）,由圖易知：①→③→④→⑥→⑦所需時(shí)間最長(zhǎng)，它表明整個(gè)工程的總工程至少為4+5+4+1=14（天）。很明顯，在①→②→④→⑥→⑦這條路線上的工序,若有一個(gè)延遲一天，整個(gè)工程就要推遲一天，而不在這條路線上的工序?qū)偣て诰蜎]有這種直接的影響。（樹形圖)溫馨提示近年來，在北京、上海中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽及各地的高考模擬訓(xùn)練中，出現(xiàn)了以工程的工序、工期為題材的所謂“工序網(wǎng)絡(luò)”問題，利用數(shù)形圖能清楚地反映工作的先后順序和相互關(guān)系，使管理者對(duì)全局有一個(gè)完整清晰的了解。因此，學(xué)會(huì)正確有序地使用樹形圖，是解決問題的有力工具.各個(gè)擊破【類題演練1】用0，1，2,3,4，5能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且大于201345的自然數(shù)？解析：用0，1，2，3，4，5組成的六位數(shù)共有(）個(gè)，其中小于或等于自然數(shù)201345的數(shù)可分成兩類，一類是首位數(shù)字是“1”的共有個(gè)，一類是首位數(shù)字是“2”的,只有201345本身一個(gè)。這時(shí)不符合條件的數(shù)就有（+1)個(gè)，因此符合條件的數(shù)共有()-（+1)=479(個(gè)）【變式提升1】有兩排座位,前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位,現(xiàn)安排2人就座,規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐,并且這2人不左右相鄰,那么不同排法的種數(shù)是()A。234B.346C.350解析:直接法，分三類：1)兩人坐前排，按要求有4×4×+6×=44種坐法；2)兩人坐后排，按要求有=110種坐法；3)兩人分別坐在前、后排，有2×8×12=192種坐法.∴共有44+110+192=346種排法，選B.【類題演練2】七名同學(xué)爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍的可能性的種數(shù)為（)A.75B。57C。解析:因一個(gè)同學(xué)可同時(shí)奪得幾項(xiàng)冠軍,故學(xué)生可重復(fù)排列.將7名同學(xué)看做7家“店”，五項(xiàng)冠軍看做5名“客”，都可住進(jìn)7家“店”中任意一家，即每個(gè)“客”有7種住宿選擇。由乘法原理得到共75種.故選A.【變式提升2】一市區(qū)有5條南北向大道，4條東西向大道,一人想從市區(qū)的西北角走到東南角，問有多少種最短的路徑可走？解析：下圖中，1，2,3，4為東西向的大道被5條南北向的大道所截?cái)嗟南鄳?yīng)部分；a，b，c為南北向的大道被4條東西向的大道所截?cái)嗟南鄳?yīng)部分。1234a1a2a3a4ab1b2b3b4bc1c2c3c4c由西北角到東南角需依次經(jīng)過東西向的1,2，3，4與依次經(jīng)過南北向的a，b,c，從而使路徑最短。由此可知，所求路徑等于兩組元素1，2，3，4及a,b，c的全排列，其中數(shù)字大小的次序、文字字母的次序一定,即相當(dāng)于這7個(gè)元素里有4個(gè)元素是相同的，另外有3個(gè)元素是相同的,因此，所求最短路徑數(shù)為N==35。【類題演練3】如圖（甲),有一個(gè)正方體的鐵絲架，把它的側(cè)棱中點(diǎn)I,J，K,L也用鐵絲依次連上，現(xiàn)有一只螞蟻想沿著鐵絲從A點(diǎn)爬到G點(diǎn),問最近的路線一共有幾條?并用字母把這些路線表示出來.(甲)解析：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則其一半為1，這樣從A點(diǎn)到各點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)如圖(乙)所示（圖中括號(hào)標(biāo)記），再逆向追蹤用樹形圖表示路線如圖丙。從而找出從A到G的12條最短路徑：AIEFG，ABJFG，AIJFG，AIEHG，ADLHG，AILHG，ABCKG,ADCKG，ADLKG,AILKG，ABJKG,AIJKG.（乙）(丙）【變式提升3】某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2,a3,a4,a5,4種退熱藥b1,b2,b3,b4，現(xiàn)從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時(shí)進(jìn)行進(jìn)行療效試驗(yàn)，但a1,a2兩